电路基础第5章谐振与非正弦周期电流电路

1、南昌工程学院机械与动力工程系南昌工程学院 http:/2南昌工程学院 http:/3 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 复阻抗与复导纳及其等效变换复阻抗与复导纳及其等效变换 交流电路中的功率交流电路中的功率 功率因数的提高功率因数的提高 复杂正弦电路的稳态分析复杂正弦电路的稳态分析南昌工程学院 http:/4串联谐振电路串联谐振电路并联谐振电路并联谐振电路非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路5.15.1 5.25.2 5.35.3 南昌工程学院 http:/5 含有电感和电容的电路，如果

2、无功功率得到完含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于全补偿，使电路的功率因数等于1 1，即：，即：u u、 i i 同相，便称此电路处于谐振状态。同相，便称此电路处于谐振状态。谐振谐振串联谐振：串联谐振：l l 与与 c c 串联时串联时 u u、i i 同相同相并联谐振：并联谐振：l l 与与 c c 并联时并联时 u u、i i 同相同相 谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。应用非常广泛。谐振概念谐振概念：谐振现象谐振现象南昌工程学院 http:/6rxxtgxxrzxxjrzclclcl1

3、225.1.1 5.1.1 串联谐振的条件和特征串联谐振的条件和特征cur rl lc curului串联谐振电路串联谐振电路iu、 同相同相若令：若令：clxx 0则：则：谐振谐振clxx 串联谐振的条件是：串联谐振的条件是：南昌工程学院 http:/7fccxfllxcl211 2ofcl001clxxlc10lcf210南昌工程学院 http:/8rxxrzzcl22minclxx 01rxxtgclu u、i i 同相同相 rxxcl 当当时时riuxiuxiuccll000 当电源电压一定时：当电源电压一定时：ruiiimax0u uc c 、u ul l将大于将大于电源电压电源电压

4、u u南昌工程学院 http:/9注：串联谐振也被称为注：串联谐振也被称为电压谐振电压谐振当当 时，时，rxrxcl 、uuuclrui 0谐振时：谐振时：urxxruxiuurxxruxiuccccllll00lucuiuurclxx、动画演示动画演示南昌工程学院 http:/10 定义：定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。电压和总电压之比。ucrurxuurlurxuccll001谐振时谐振时: :rcrluuuuqcl001在谐振状态下在谐振状态下, ,若若 r r x xl l、r r x xc c ，q q 则体现了电则体现了电

5、容或电感上电压比电源电压高出的倍数。容或电感上电压比电源电压高出的倍数。南昌工程学院 http:/110i0f20i1f2ffirui 0谐振电流谐振电流:0f谐振频率谐振频率下限截止频率下限截止频率上限截止频率上限截止频率1221fffff通频带通频带南昌工程学院 http:/1200ii(a) (a) 不变，不变，00i变化。变化。(b) (b) 不变，不变， 变化。变化。00i(c) (c) 不变，不变， f变化。变化。00i不变，不变，01020ii00ii南昌工程学院 http:/13结论结论：r r的变化引起的变化引起 变化变化 r r愈大愈大 愈小（选择性差）愈小（选择性差） r

6、 r愈小愈小 愈大（选择性好）愈大（选择性好）0i0i0ir小小r大大不变，不变，00i变化。变化。0i0i0i 0（1） 不变不变 即即lclc不变不变lc10rui 0r r改变改变0i改变改变（2）南昌工程学院 http:/140i分析：分析：（1） 不变不变 即即u、r不变不变rui 0（2） 改变改变0lc10结论结论：lc 的变化引起的变化引起 变化变化 l 变小或变小或 c 变小变小 变大变大 l 变大或变大或 c 变大变大 变小变小00001020ii不变，不变， 变化。变化。00i南昌工程学院 http:/15结论结论：q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐

7、。 q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。qflrf02分析：分析：0i不变，不变， 不变不变0（lc）、）、r 不变，不变，f12如何改变如何改变或或？可以可以证明：证明：可见可见 与与 q 相关。相关。f不变，不变， f变化。变化。0i0不变，不变，00ii20i南昌工程学院 http:/16串联谐振时的阻抗特性串联谐振时的阻抗特性0lrc1容性容性0感性感性022)(clclxxrxxjrzz南昌工程学院 http:/17串联谐振应用举例串联谐振应用举例收音机接收电路收音机接收电路1l2l3lc:1l接收天线接收天线2l与与 c c ：组成谐振电路：组成谐振电路:3l

8、将选择的信号送将选择的信号送 接收电路接收电路南昌工程学院 http:/181l2l3lc 组成谐振电路组成谐振电路 ，选出所需的电台。，选出所需的电台。c - 2l321 eee、 为来自为来自3 3个不同电台（不同频率）个不同电台（不同频率）的电动势信号；的电动势信号；c2l2lr1e2e3e南昌工程学院 http:/19已知：已知：20 h25022lrl、khz8201fc2l2lr1e2e3e解：解：clf21212221lfcpf150102501082021623c如果要收听如果要收听 节目，节目，c c 应配多应配多大？大？1e问题问题（一）：（一）：结论：结论：当当 c c

9、调到调到150 pf 150 pf 时时, ,可收听到可收听到 的节目。的节目。1e南昌工程学院 http:/20 问题问题（二）：（二）：1e信号在电路中产生的电流有多信号在电路中产生的电流有多大？在大？在 c c 上上 产生的电压是多少？产生的电压是多少？v101e pf1501c h2502l 20 2lr已知已知：khz8201f解答：解答：129021flxxcla5 . 021reiv645c1cixu所希望的信号所希望的信号被放大了被放大了6464倍。倍。c2l2lr1e2e3e南昌工程学院 http:/21当当 时时 领先于领先于 ( (容性容性) )clii iuuilici

10、谐振谐振当当 时时 clii 0iliuci理想情况理想情况：纯电感和纯电容并联。：纯电感和纯电容并联。 当当 时时 落后于落后于 ( (感性感性) )clii iuuliciiiulici南昌工程学院 http:/22clxuxucl001lc10lcf210或或liuciclii 5.2.1理想情况下并联谐振频率理想情况下并联谐振频率iulici南昌工程学院 http:/23cclrljxuijxruiurliciicrliii非理想情况下的并联谐振非理想情况下的并联谐振uirliciui、同相时则谐振同相时则谐振南昌工程学院 http:/24uclrljlrrucjljri22221虚部

11、虚部实部实部则则 同相同相 iu虚部虚部=0=0。谐振条件：谐振条件：uirlicicrliii非理想情况下并联谐振条件非理想情况下并联谐振条件南昌工程学院 http:/25002020clrl由上式虚部由上式虚部并联谐振频率并联谐振频率uirlici2220111rlclclrlc得：得：lc10lcf210或或02rlc当当 时时 南昌工程学院 http:/26 i同相。同相。u、电路的总阻抗最大。电路的总阻抗最大。 定性分析定性分析: :iuliciz zulici理想情况下理想情况下谐振时：谐振时：max0zzi南昌工程学院 http:/27总阻抗：总阻抗：rclzzmax0uclrl

12、jlrri2222得：得：irclu2201lrlc代入代入并联谐振电路总阻抗的大小并联谐振电路总阻抗的大小uirlici谐振时虚部为零谐振时虚部为零, ,即即: :ulrri22什么性质什么性质? ?南昌工程学院 http:/28并联谐振并联谐振电路总阻抗：电路总阻抗：rclzzmax00z0r当当时时uu所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。南昌工程学院 http:/29 minizuio外加电压一定时，外加电压一定时，总电流最小。总电流最小。iuliciz zousimaxzzoosoziuumax外加恒流源外加恒流源 时，时，输出电压最

13、大。输出电压最大。si南昌工程学院 http:/30并联支路中的电流可能比总电流大。并联支路中的电流可能比总电流大。支路电流可能支路电流可能大于总电流大于总电流urlicii 电流谐振电流谐振uirlici南昌工程学院 http:/31uirlici 0cuxuicc 0ulrczuirliiqc0iic则则rl 0若若品质因素品质因素-q q : :q q为支路电流和总电流之比。为支路电流和总电流之比。当当 时时, , rl 0crliicr1 0q南昌工程学院 http:/32收音机并联谐振电路，如图所示，已知收音机并联谐振电路，如图所示，已知r r6 6，l l150uh,150uh,以

14、以780pf780pf，并谐振频率。，并谐振频率。uirlici解：解：因远因远大于大于r，故有：，故有：4381078010150126clkhzlcf465107801015021211260南昌工程学院 http:/33并联谐振应用举例belciorrruua/ccvcrlr0uiucr替代后，在谐振替代后，在谐振频率下放大倍数频率下放大倍数将提高。该种频将提高。该种频率的信号得到较率的信号得到较好的放大，起到好的放大，起到选频作用。选频作用。南昌工程学院 http:/345.3 5.3 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效

15、值和平均功率l 重点重点3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 1. 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数南昌工程学院 http:/35非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按

16、周期规律变化按周期规律变化例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号)()(kttftf 南昌工程学院 http:/36例例2 2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波南昌工程学院 http:/37脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 tt例例3 3南昌工程学院 http:/38基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2 2倍频）倍频）直流分量直流分量高次谐波高次谐波)cos()(110 kkkmtkaatf 5.3.1 5.3.1 非正弦周期函数分解为付里叶级数非正弦周期函数分解为付里叶级数 )cos()(1110 taatfm

17、)cos(1nnmtna周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数：)2cos(212tam南昌工程学院 http:/39sincos)(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkakkkkm 111sincos )cos( 也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmababaabaaaa arctansin cos2200 系数之间系数之间的关系为的关系为南昌工程学院 http:/40求出求出a0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数f(t)的展开式。的展开式。 20112011000)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfta

18、akkt系数的计算：系数的计算：南昌工程学院 http:/41利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化（1）偶函数）偶函数 t/2t t/2f(t)0 )()( kbtftf t/2t t/2f(t)0 katftf )()(（2）奇函数）奇函数（3）奇谐波函数）奇谐波函数0 )2()(22 kkbattftftf (t)t/2t南昌工程学院 http:/42tt/2tsimi周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为： tttttitis2 020 )(m211020mttmsoid

19、titdttiti /)( 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量： 201) (sin)(tdtktibskk为偶数为偶数k为奇数为奇数 kitkkimm20)cos1(0南昌工程学院 http:/430sin12)(cos)(2020 tkkitdtktiamsk kibabamkkkk222 （k为奇数）为奇数）0arctan kkkba si的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttiiimms 南昌工程学院 http:/44ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解南昌工程学院 htt

20、p:/45)5sin513sin31(sin22tttiiimmstt/2tsimiis01si3si5si等效电源等效电源is01si3si5si南昌工程学院 http:/46)5sin513sin31(sin22tttiiimmstt/2tsimi 753 akm0矩形波的频谱图矩形波的频谱图南昌工程学院 http:/47 20200)(cos 0)(sinttdkttdk5.3.2 5.3.2 有效值、平均值有效值、平均值1.1. 三角函数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 （2）sin2、cos2 在一个周期内的

21、积分为在一个周期内的积分为 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk南昌工程学院 http:/48（3 3） 三角函数的正交性三角函数的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 南昌工程学院 http:/492. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(kkkmtkiiti 10若若则有效值则有效值: )(cos)(tdtkiittdtititkkkmt20100211 南昌工程学院 http:/50 12202kkmiii 周期函数的有效值为直流分量及各周期函数的有效值为直流分量及

22、各次谐波分量有效值平方和的方根次谐波分量有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：利用三角函数的正交性得： 222120 iiii结论结论例：非正弦周期电压例：非正弦周期电压u( t )10 + 70coswt+40cos3wt的有效值。的有效值。南昌工程学院 http:/513. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值00)(1idttititav 则其平均值为：则其平均值为：正弦量的平均值为正弦量的平均值为0 0)cos()(kkktkiiti 10若若南昌工程学院 http:/525.3.3 5.3.3 非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 tdtiutp01

23、)cos()(ukkkmtkuutu 10)cos()(ikkkmtkiiti 10利用三角函数的正交性，得利用三角函数的正交性，得：.)( cos210100 pppiuiupikukkkkkk 南昌工程学院 http:/53平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100 iuiuiup结论结论南昌工程学院 http:/54 5.3.4 5.3.4 非正弦周期交流电路的计算非正弦周期交流电路的计算1. 计算步骤计算步骤（2 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计

24、算；（注意分别应用相量法计算；（注意: :交流各谐波的交流各谐波的 x xl l、x xc c不同，对直流不同，对直流c c 相当于开路、相当于开路、l l相于短路。相于短路。）（1 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；成若干种频率的谐波信号；（3 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。南昌工程学院 http:/552. 计算举例计算举例例例1 1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u, u, 已知：已知：sticlrm 28. 6 a157pf1000 mh1 20 、tt/2tsimi

25、rlcusi解解（1 1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：)5sin51 3sin31(sin22 tttiiimms staim28.6,157 代入已知数据：代入已知数据：南昌工程学院 http:/56直流分量直流分量a5.78215720iim a 10014.357.1221 mmii基波最大值基波最大值a205115 mmii五次谐波最大值五次谐波最大值rad/s101028.614.32266 t 角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值aiimm 3.333113 a5 .780 si 电流源各频率的谐波分量为：电流源各频率的谐波分量为：a10sin10061

26、tis a103sin310063 tis a105sin510065 tis 南昌工程学院 http:/57mv57.1105.7820600 sriu （2 2） 对各种频率的谐波分量单独计算：对各种频率的谐波分量单独计算：（a) a) 直流分量直流分量 is0 作用作用ris0u0电容断路，电感短路电容断路，电感短路: :a5 .780si（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261lc rlcusi k50)()()()(1rclrxxxxjrjxjxrzclclcl xlr南昌工程学院 http:/58k50)(1 zmv2

27、500050210100(6111 ） ziua10sin10061tis (c)(c)三次谐波作用三次谐波作用tis63103sin3100 03333119.895 .374)()()3(clclxxjrjxjxrz k.31010333301010001031313611261 lkc 0613319.895 .3742103 .33)3( ziusmv2.89247.120 南昌工程学院 http:/59(d)(d)五次谐波作用五次谐波作用a105sin510065 tis 53.893 .208)5()()5(55551clclxxjrjxjxrz k)k(.5101055201010001051513611261 lc mv53.892166.453.893 .20821020)5(6155 zius南昌工程学院 http:/60 (3) (3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：各谐波分量计算结果瞬时值迭加：mv).sin(. ).sin(. sin.