211随机变量及其分布

1、ch2 ch2 随机变量的分布和数字特征随机变量的分布和数字特征2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布引例引例: :.,:)(观观察察其其出出现现的的点点数数掷掷一一颗颗骰骰子子11 e,6543211.:)(数数位位时时间间内内收收到到的的呼呼唤唤次次某某地地区区电电话话交交换换台台在在单单22 e,32102.,:)(测测试试它它的的寿寿命命只只在在一一批批灯灯泡泡中中任任意意取取一一33 e03tt.,:)(的的情情况况观观察察其其正正面面和和反反面面出出现现抛抛一一枚枚均均匀匀硬硬币币44 e,反面反面正面正面4)(x出现正面出现正面出现反面出现反面10.,:)(直直到到首首

2、次次出出现现正正面面为为止止抛抛一一枚枚均均匀匀硬硬币币55 e),( ,),(),( ,正正反反反反正正反反反反正正反反正正52.1.1 2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念.)(.)(,.,:一一个个实实值值函函数数上上的的是是定定义义在在则则与与之之对对应应都都有有唯唯一一的的实实数数如如果果对对于于每每一一个个是是其其样样本本空空间间是是一一个个随随机机试试验验设设xxxedef.,)(xx简简记记为为为为随随机机变变量量那那么么我我们们称称这这种种变变量量)(x000100101143210001001011.,个个基基本本特特征征具具有有变变异异性性和和随随机机性性两两表表示示

3、或或随随机机变变量量常常用用zyx例例1 1:.:连续进行两次射击连续进行两次射击随机试验随机试验e.)(.,),(),(),(),(表表示示击击中中目目标标的的次次数数表表示示击击中中目目标标表表示示未未击击中中目目标标其其中中样样本本空空间间x10110110004321)(x211043211.1.定义定义例例2 2:,:个球个球中任取中任取个白球个白球和和个黑球个黑球从含有从含有随机试验随机试验33232121bbbaae.)(,个个球球中中所所含含黑黑球球个个数数表表示示取取出出样样本本空空间间310321x)(x)(x),(1211baa),(2212baa),(3213baa),

4、(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb2221111110)( ,)(,11xxxx可记为可记为可记为可记为一般的一般的,:10542黑黑球球取取出出的的球球中中最最多多有有一一个个事事件件中中如如例例a)(1xa)(y)(y),(1211baa),(2212baa),(3213baa),(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb1112222223注1.1.随机试验的随机变量并不是唯一的随机试验的随

5、机变量并不是唯一的, ,是人为定义是人为定义的的.2.2.随机变量把试验的每一个结果可唯一对应一随机变量把试验的每一个结果可唯一对应一个实数个实数, ,但是一个实数并不对应唯一的试验结果但是一个实数并不对应唯一的试验结果. .)(,也也是是一一个个随随机机变变量量则则球球个个数数表表示示所所取取出出球球中中所所含含白白若若令令同同理理yy变异性与变异性与随机性随机性2. 2. 随机变量的分类随机变量的分类.:)(个个值值是是有有限限个个或或无无穷穷可可列列随随机机变变量量的的所所有有可可能能取取离离散散型型1.,:)2(是是连连续续型型随随机机变变量量其其中中最最简简单单的的列列举举所所有有可

6、可能能取取值值不不能能一一一一非非离离散散型型.,:甚甚至至于于整整个个实实数数轴轴上上的的某某个个区区间间其其取取值值可可能能充充满满实实数数轴轴连连续续型型随随机机变变量量2.1.2 2.1.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布.,:.为为离离散散型型随随机机变变量量则则称称个个或或无无穷穷可可列列个个的的所所有有可可能能取取值值是是有有限限如如果果随随机机变变量量定定义义xx1).(,), 2 , 1(,:. 2列列简简称称分分布布律律的的概概率率分分布布又又称称的的概概率率函函数数为为称称可可能能取取的的一一切切值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量概概率率函函数数的

7、的定定义义xxkpxxpxxkkkxpkxxx21kppp21.,些些值值时时的的概概率率一一切切可可能能取取值值以以及及取取这这的的就就是是要要找找出出量量的的分分布布律律要要求求一一个个离离散散型型随随机机变变从从定定义义可可知知x: )(概率分布表概率分布表式式也可以写成如下表格形也可以写成如下表格形例例3 3:.的概率分布的概率分布中随机变量中随机变量求例求例x2.,:个个数数这这的的可可能能取取值值为为基基本本事事件件总总数数为为解解321035xc210335332332,:,.,kccckxpxcckkxkkkk的的概概率率分分布布为为所所以以个个基基本本事事件件则则含含有有个个

8、黑黑球球个个球球中中有有表表示示取取出出的的事事件件103106101210px:其其概概率率分分布布表表为为3. 3.离散型随机变量概率分布的性质离散型随机变量概率分布的性质)()()(,)(:归一性归一性非负性非负性基本性质基本性质122101nnnnpnxxpp.,随随机机变变量量的的概概率率分分布布散散型型则则一一定定可可以以成成为为一一个个离离满满足足上上面面两两式式若若某某一一数数列列反反之之np例例4 4:.,.,概概率率分分布布这这个个随随机机变变量量的的求求取取到到球球上上号号码码反反比比的的概概率率与与球球上上的的号号码码成成假假定定取取到到各各个个球球从从中中任任取取一一

9、个个的的球球若若干干个个袋袋中中有有标标号号为为x4321),(,:04321144321nnnxppxn则则个值个值共共可取可取解解2512112251432141,:,:解得解得即即质质则由概率函数的基本性则由概率函数的基本性nnp:,的的概概率率分分布布表表如如下下得得到到中中代代入入到到将将xpn251225325425625124321px的概率？的概率？码不超过码不超过思考：取到的球上的号思考：取到的球上的号3252225425625123213xpxpxpxp大部分情况，我们往往关注随机变量的取值落入某一范大部分情况，我们往往关注随机变量的取值落入某一范围的概率，尤其对于连续型随

10、机变量（因为不可数）围的概率，尤其对于连续型随机变量（因为不可数）.2.1.3 2.1.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.1.分布函数的定义分布函数的定义.)()(,:为随机变量的分布函数为随机变量的分布函数则称函数则称函数是任意一个随机变量是任意一个随机变量设设xxpxfrxxdef易见，离散型随机变量概率函数与分布函数的关系易见，离散型随机变量概率函数与分布函数的关系xxkkpxxpxf)(例例5 5:.的分布函数的分布函数中随机变量中随机变量求例求例x2:中中求求出出的的分分布布律律已已在在例例解解3x103106101210px21211071010100 xxxxxxpxf

11、x)(:的分布函数为的分布函数为则则110721101x)(xfp41.,反反之之亦亦成成立立时时的的概概率率跳跳跃跃度度是是取取值值为为的的可可能能取取值值是是其其跳跳跃跃点点数数函函数数是是右右连连续续的的阶阶梯梯函函离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布kkkpxxx例例6 6:.)(的概率分布的概率分布求求的分布函数的分布函数设随机变量设随机变量xxxxxxxfx2120210210325515021102101512025px解解：2. 2. 分布函数的性质分布函数的性质)()(,:.21211xfxfxx则则若若单调不减性单调不减性)()()()(:,:212121xfbpapx

12、fbaxxxxbxxapr由概率的性质由概率的性质则则若若记记事实上事实上10102)(lim)(,)(lim)(,)(.xffxffxfxx且且)()(lim)(,:.,)(:.xfyfxfrxxfxy003即即续续的的且且在在其其间间断断点点处处是是右右连连有有至至多多可可列列个个间间断断点点右右连连续续性性.,),(,机变量的分布函数机变量的分布函数则一定可以称为某个随则一定可以称为某个随条性质条性质若满足上述若满足上述一个实值函数一个实值函数反之反之条性质条性质有上述有上述随机变量的分布函数具随机变量的分布函数具33rxxf)()(afaxpaxp112)()(axpafaxp3)()(0114afaxpaxp例例7 7:.,),()(34210xpxpxxfxxnn及及求求的正整数求和的正整数求和一切不大于一切不大于其中求和是对其中求和是对如图如图的分布函数的分布函数已知随机变量已知随机变量4321321)()()(afbfaxpbxpbxap13. 3.由分布