余弦定理公式大全-高中余弦定理公式大全

1、.4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ABC中，当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定

2、理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题4利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；absinA时无解。5利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力练习题1(2006山东)在中，角的对

3、边分别为，已知，则 （ ）A.1B.2C.D.2在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）A. B. C. D.3（2002年上海）在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. (2006全国)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. B. C. D. 5.（2006全国）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_.6.(2006春上海)在中，已知，三角形

4、面积为12，则 .答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得a=c，a=b.4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6. 四、经典例题【例1】(2006天津)如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 解（）： 由余弦定理， （）解：由，且得由正弦定理: 解得。所以，。由倍角公式，且，故.解读思想：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75，

5、c=,(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15 ，c=解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？解 连接BC,由余弦定理得_10_A_?_20_C_BBC2=202+10222010COS120=700 于是,BC=10 30 , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直

6、线前往B处救援 点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】已知O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值解：由已知条件得即有 ，又 当时, 思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质【研讨.欣赏】（2006江西）如图,已知是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过的中心.设.(1) 试将、的面积(分别记为与)表示为的函数;(2) 求的最大值与最小值.解: (1)因为为

7、边长为的正三角形的中心, 所以 由正弦定理 因为,所以当时,的最大值; 当时, 的最小值.提炼总结1掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4边角互化是解三角形的重要手段 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 【选择题】1.（2004浙江）在ABC中，“A30”是“sinA”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充

8、分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（2004全国）ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于 ( )A.B.1+C.D.2+3.下列条件中，ABC是锐角三角形的是 ( )A.sinA+cosA=B.0C.tanA+tanB+tanC0D.b=3，c=3，B=304.(2006全国)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 ( )A. B. C. D. 【填空题】5.（2004春上海）在中，分别是、所对的边。若， 则_6.在锐角ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_.练习简答：1-4.

9、BBCB; 1.在ABC中，A300sinA1sinA；sinA30A150A30答案：B2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.由S=acsin30=ac=，得ac=6.a2+c2=4b212.得cosB=，解得b=1+.答案：B3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC0，A、B、C都为锐角.答案：C5.2; 6.若c最大，由cosC0.得c.又cba=1，1c.【解答题】7.（2004春北京）在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找

10、A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=.解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB.=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.（2005春北京）在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积

11、.解法一：sinA+cosA=cos（A45）=，cos（A45）=.又0A180，A45=60，A=105.tanA=tan（45+60）=2.sinA=sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=.SABC=ACABsinA=23=（+）.解法二：sinA+cosA=，（sinA+cosA）2=.2sinAcosA=.0A180，sinA0，cosA0.90A180.（sinAcosA）2=12sinAcosA=，sinAcosA=.+得sinA=.得cosA=.tanA=2.（以下同解法一）9. （2004全国）已知锐角ABC中，sin（A+B）=，s

12、in（AB）=.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：sin（A+B）=，sin（AB）=，=2.tanA=2tanB.（2）解：A+B，sin（A+B）=.tan（A+B）=，即=.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用

13、，分析和计算能力.10. 在ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以,化简得a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.【探索题】已知A、B、C是ABC的三个内角，y=cotA+.（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.解：（1）y=cotA+=cot A+=cot A+=cotA+cotB