初三第一轮复习教学案 第35课时函数在实际中的应用举例

1、初三第一轮复习 函数在实际中的应用 函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。 例1如图，一位运发动在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地面的距离为3.05米。 1建立如下图的直角坐标系，求抛物线的解析式。 2该运发动身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 分析：1，顶点0，3.5过一点1.5，3.05用顶点式。 2横坐标2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。 解：1由题意知抛物线顶点坐

2、标为0，3.5且过1.5，3.05点， 设y=a(x-0)2+3.5 即y=ax2+3.5， 将1.5, 3.05代入，3.05=2.25a+3.5 2.25a=-0.45 a=- y=-x2+3.5 2当x=-2.5时， y=-0.2(-2.5)2+3.5=2.25 2.25-1.8-0.25=0.20(m) 答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。 说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。 例2某跳水运发动进行10米跳台跳水训练时，身体看成一点在空中的运动路线是如下图坐标系上经过原点O的一条抛物线图中标出的数据为条件。 在跳某个规定动

3、作时，正常情况下，该运发动在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运发动在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否那么就会出现失误。 1求这条抛物线的解析式。2在某次试跳中，测得运发动在空中的运动路线是图中的抛物线，且运发动在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。 分析：挖掘条件，由条件和图形可以知道抛物线过0，02，-10，顶点的纵坐标为。 解：1如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c 由题意知，O、B两点的坐标依次为0，02，-10，且顶点A

4、的纵坐标为。 抛物线对称轴在y轴右侧， 0， 又抛物线开口向下，a0， a=-，b=，c=0 抛物线的解析式为：y=-x2+x 2当运发动在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时， y=(-)()2+=-， 此时运发动距水面高为：10-=5， 因此，此次试跳会出现失误。 例3. 香港今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x-x2, 斜坡的方程是y=x，其中y是垂直高度米，x是与O点的水平距离米 1网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。2在图象中，标出网球所能到达的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切。 分析：1实际上是求A点的坐

5、标；2求出顶点坐标是关键。 解：由方程组， A7，3.5 A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。 2由y=4x-x2=-(x-4)2+8 B(4,8), tan=2. 例4斜坡PQ的坡度i=1，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流的最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30，以O为原点，OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴建立坐标系，求水喷到斜坡上的最低点B与最高点C的距离。 分析：直线PQ是正比例，需一个条件确定k，用i=1，求线段BC应求出B、C坐标，即抛物线与直线交

6、点。 解：过M作MHx轴于H，过A作AGMH于G， RtAGM中，MAG=30，MG=1，AG=，MH=2， M，2 M与M点关于y轴对称， M(-，2， 设以M为顶点的抛物线解析式为y=a(x-)2+2 以M为顶点的抛物线解析式为y=a(x+)2+2 均过A0，1， a=-，a=-， y=-x2+x+1 y=-x2-x+1， 设直线PQ的解析式为y=kx， i=1，C在PQ上，设Cm, m， m=mk，k=， y=x， C舍去负值。 B舍去正值。 CD=，OC=2CD=1+ OB=2|=3+， BC=4+。 例51一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道从正中通过，为保证

7、平安，车顶离隧道顶部至少要0.5米的距离，求货车的限高为多少？ 2假设将1中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？ 分析：题中条件有一条抛物线，要确定这条抛物线必须建立适当的坐标系。为使计算量小，可以过抛物线的对称轴建立坐标系。 解：建立如下图坐标系，抛物线的顶点坐标是0，4，可设抛物线的方程为y=ax2+4. 又抛物线过4，0点， 0=a42+4, a=-. y=-x2+4 (-4x4) (1)当x=1时，y=3.75. 货车限高为3.75-0.5=3.25(m) (2)当x=2时，y=3 故货车限高为3-0.5=2.5米。 例6一个运发动推铅球，铅球刚出

8、手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。 分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。 解：根据题意，建立直角坐标系，如图 可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意， 设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0x10) 将(0, )和(10, 0)代入解析式，得 由，得a=-， 代入，得-(10-h)2+3=0 去分母，整理得h2+16h-80=0 解出h1=-20, h2=4 当h=-20时，y=a(x+20)2

9、+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合0x10的要求，舍去。 当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3 即y=-x2+x+(0x10)。 例7A市场和B市场分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台，从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元。 1设B市运往C市机器x台，求总运费W关于x的函数关系式； 2假设要求总运费不超过9千元，问共有几种调运方案？3求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 分析：此题属于规划调运问题，根据题意可建立问题的函数模型，讨论自变量的取值范围，并由函数的性质，讨论问题的最小值，此题是函数知识的灵活运用。 解：1因为B市场运往C市机器x台，所以B市场运往D市(6-x)台，A市运往C市(10-x)台，A市场运往D市(2+x)台；运费依次为：3x百元、5(6-x)百元、4(10-x)百元、8(2+x)百元. 总运费为W=3x+5(6-x)+4(10-x)+8(2+x)=2x+86 所求函数的表达式为W=2x+86 2由题意，得2x+8690，x2 又B市可总共支援