17专题八　二次函数压轴题类型二　面积问题

1、第二部分第二部分 攻克专题攻克专题 得高分得高分专题八二次函数压轴题专题八二次函数压轴题类型二面积问题类型二面积问题导导方方 法法 指指1. 面积最值问题面积最值问题背景背景作图作图列式列式求解求解有一条边在坐标有一条边在坐标轴上：以在坐标轴上：以在坐标轴上的边为底边轴上的边为底边，过顶点作垂线过顶点作垂线SABCAB|yC|根据函数增根据函数增减性求最值减性求最值12导导方方 法法 指指背景背景作图作图列式列式求解求解没有边在坐标没有边在坐标轴上：过动点轴上：过动点作平行于坐标作平行于坐标轴的直线轴的直线SPACPP|xCxA|根据函数根据函数增减性求增减性求最值最值12背景背景作图作图列式

2、列式求解求解当四边形有两边当四边形有两边在坐标轴上在坐标轴上，过过动点作坐标轴的动点作坐标轴的垂线或连接动点垂线或连接动点与原点与原点S四边形四边形COBPS梯形梯形EOBPSCEPS四边形四边形COBPSPCOSPOB根据函根据函数增减数增减性求最性求最值值导导方方 法法 指指背景背景作图作图列式列式求解求解当四边形有两边当四边形有两边在坐标轴上在坐标轴上，过过动点作坐标轴的动点作坐标轴的垂线或连接动点垂线或连接动点与原点与原点S四边形四边形COBPS梯形梯形EOBPSCEPS四边形四边形COBPSPCOSPOB根据函根据函数增减数增减性求最性求最值值导导方方 法法 指指导导方方 法法 指指

3、2. 面积倍数关系面积倍数关系背景背景问题问题如图如图，平面直角坐标系中平面直角坐标系中，抛物线抛物线l交交x轴于点轴于点A、B，与与y轴交于点轴交于点D，点点C在在x轴下方的图象上轴下方的图象上，AC交交y轴于点轴于点M在抛物线上求一点在抛物线上求一点P，使得使得SACPSACBACB导导方方 法法 指指作图作图求法求法将将AC平移至直线平移至直线a和和b的位置的位置，a、b交交y轴于轴于E、F，过过M作作MGa于于G，MHb于于H，由由MGMH可知可知MEMF，于是于是a、b与与l的交点均为点的交点均为点P求直线求直线AC解析式解析式，再求直线再求直线a的解析式的解析式，由由MEMF确定确

4、定直线直线b的解析式的解析式，再再分别求直线分别求直线a、b与与l的交点坐标的交点坐标导导方方 法法 指指2. 面积倍数关系面积倍数关系背景背景问题问题如图如图，平面直角坐标系中平面直角坐标系中，抛物线抛物线l交交x轴于点轴于点A、B，与与y轴交于点轴交于点D，点点C在在x轴下方的图象上轴下方的图象上，AC交交y轴于点轴于点M在抛物线上求一点在抛物线上求一点P，使得使得SACPSBCP导导方方 法法 指指作图作图求法求法过点过点C作作AB平行线与平行线与l的交点的交点即为点即为点P；取；取AB中点中点E，直线直线CE与与l的交点即为点的交点即为点P由由AEBE可证可证AGEBHE，于是高于是高

5、AGBH导导方方 法法 指指2. 面积倍数关系面积倍数关系背景背景问题问题如图如图，平面直角坐标系中平面直角坐标系中，抛物线抛物线l交交x轴于点轴于点A、B，与与y轴交于点轴交于点D，点点C在在x轴下方的图象上轴下方的图象上，AC交交y轴于点轴于点M在抛物线上求一点在抛物线上求一点P，使得使得SACPk(k为定值为定值，k0)导导方方 法法 指指作图作图求法求法计算出计算出AC的长度及的长度及AC边的高边的高h，将将AC向上或向下平移得到向上或向下平移得到与与AC相距相距h个单位的直线个单位的直线，此此直线与直线与l的交点即为点的交点即为点P由由AC边上的高边上的高h及及AOMMGE，可求可求

6、得得ME的长的长，于是便可求于是便可求得平移后的直线解析式得平移后的直线解析式及与及与l的交点坐标的交点坐标导导方方 法法 指指计算出计算出kSABC的值以后的值以后，将将问题转化为上述问题中的面问题转化为上述问题中的面积定值问题积定值问题求法求法问题问题在抛物线上求多在抛物线上求多一点一点P，使得，使得 (k为定值且为定值且k0)ACPABCSkS 例例2如图，已知抛物线如图，已知抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，抛物线的，抛物线的对称轴与抛物线交于点对称轴与抛物线交于点P，与直线，与直线BC交于点交于点M，连，连接接PB、P

7、C.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上是在第一象限内的抛物线上是例例2题图题图典例精讲否存在点否存在点D，使得，使得BCD的面积最大？若存在，求出的面积最大？若存在，求出点点D的坐标及的坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说面积的最大值；若不存在，请说明理由；明理由；(3)抛物线上是否存在点抛物线上是否存在点Q(不与不与P重合重合)，使得，使得QMB与与PMB的面积相等？若存在，求出点的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不的坐标；若不存在，请说明理由存在，请说明理由(1)【自主作答自主作答】(1)解：由题意可知点解：由题意可知点A(1，0)，点，点B(3

8、，0)是抛物线与是抛物线与x轴的两个交点，轴的两个交点，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3；练练热热 身身 小小习习设点设点D的坐标为的坐标为(t，_)，点，点C的坐的坐标为标为(0，_)，已知点，已知点B的坐标为的坐标为(3，0)，则则OB_；点；点P的坐标为的坐标为_，点点M的坐标为的坐标为_，PM_2t22t333(1，4)(1，2)(2)【思维教练思维教练】要求要求BCD面积的最大值，观察发现，面积的最大值，观察发现，SBCD不容易利用底不容易利用底高求出过点高求出过点D作作x轴的垂线交轴的垂线交BC于于H，将，将BCD分成两部分，利用分成两部分，利用SBCD

9、SCDHSBDH，其中将，其中将DH作为底边，由于高的和为定值，即作为底边，由于高的和为定值，即求线段求线段DH的最大值的最大值【自主作答自主作答】(2)解：存在设解：存在设D(t，t 22t3)，如解图，过点，如解图，过点D作作DHx轴交轴交BC于点于点H，连接，连接CD，BD.B(3，0)，C(0，3)，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，H(t，t3)，SBCD DH(xBxC) (t 22t3t3)31212 ，当当t时，即时，即D的坐标为的坐标为 时时，SBCD有最大值，有最大值，且最大面积为且最大面积为 ；22393327=()22228ttt3023 1524（ ， ）278

10、例例2题解图题解图(3)【思维教练思维教练】首先确定顶点首先确定顶点P的坐标，然后根据同的坐标，然后根据同底等高的两个三角形的面积相等，再结合平行线之间底等高的两个三角形的面积相等，再结合平行线之间的距离处处相等来求解即可的距离处处相等来求解即可【自主作答自主作答】(3)解：存在解：存在由由(1)得得P(1，4)，过点，过点P且与且与BC平行的直线与抛物线的平行的直线与抛物线的交点，即为所求交点，即为所求Q点点直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，PM2， 过点过点P且与且与BC平行的直线平行的直线 为为yx32x5，例例2题解图题解图1l联立联立 解得解得 (舍去舍去) ， (2，3)，M

11、(1，2)，设设PM与与x轴交于轴交于E点，点，PMEM2，过点过点E且与且与BC平行的直线平行的直线 为为yx32x1，122221,34xxyy2523yxyxx 1Q2l1Q2523yxyxx 1Q2l2523yxyxx 1Q1Q2l1Q1Q2l1Q2523yxyxx 2l1Q122221,34xxyy2523yxyxx 2l1Q2523yxyxx 122221,34xxyy2523yxyxx 1Q122221,34xxyy2523yxyxx 2l1Q122221,34xxyy2523yxyxx 从而过点从而过点E且与且与BC平行的直线平行的直线l2与抛物线的交点也为所求与抛物线的交点也为所求Q点，点，联立联立 ， 解得解得 2123yxyxx 113172,1172xy 223172,1172xy 23317117317117(,),(,),2222QQ2123yxyxx 23317117317117(,),(,),2222QQ1131