概率论中几种收敛及其联系1

1、概率论中几种收敛及其联系西北师范大学数学与应用数学专业甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分，内容十分丰富，本文仅介绍依概率 收敛，平均收敛,依分布收敛,a.s收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间 的联系关键词：示性函数概率随机变量收敛分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is richin content, this article describes only the con verge nee in probab

2、ility, the averagecon verge nee, con verge in distributio n, as con verge nee, complete con verge nee, as well asthe infin ite seque nee of events occurred betwee nKey words : in dicator functionprobabilityran dom variablecon verge needistribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。所以首先需要建立必要 的概率不等式。我们以

3、1(A)表示事件A的示性函数，即有1八A;I (A)0,芒A.那么，显然当 A二B时，有I (A) _ I (B).，并且有P(A)二EI (A).定理1(Chebyshev不等式)设g(x)是定义在0,：上的非降的非负值函数，如果对随机变量有Eg(H)oa，那么对任何使得g(a)0的a 0，我们都有P(H a) 0，有p仁n 一勺）兰E -1 | nra_t r，故但是，反之不真.反例如下：例1设概率空间为区间上的几何型概率空间，即有门=0,1,F 二 B0.1,P 二 L 令 = 0 , . c- (0,1 ,而易知,对任何； 0 ,当n时，都有2 P(J 名)兰P(J 0 )= -0 ,

4、 n所以n但是E J - q=Etn 三1 ,所以n不依平均收敛到.在概率极限理论中，研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分 布函数序列的收敛性，下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3设Fn(x), N ?是一列定义在R上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数F (x).使得lim Fn (x) =F (x), x C (F ),n_ ：:则称2n(x)弱收敛到F (x)记为Fn(x) 一 F(x,)并称F (x)是8n(x)?的弱极限。大家注意我们在这里没有使用“分布函数”这个名词。是因为 ：分布函数列的弱极限不一定是分布函数。反例如下：0, x 兰一

5、n;例 2 设 Fn (x) = x n , -n ： x _ n; ，一n :二 N ; F (x)2n2.|1, x n.显然也(x) ?是分布函数序列，并且Fn (x) 二F (x),但是F x却不是分布函数.通过上述两点讨论，我们明确了依分布收敛的含义，从而可以给出如下定义：定义4如果、Fn(x), nN 是一列分布函数，并且存在分布函数F (x)，使得Fn(X)WF(X)，那么我们就称Fn(X)1依分布收敛到F(X)，记为Fn(x)dF (x)。如果Fn(x), n，N 是随机变量序列n,nN 1的分布函数序列，而F x是随机变量的分布函数，则当FnF（x）时，称依分布收敛-, 并记

6、为n.应当注意,依分布收敛只是随即变量的分布函数列之间的收敛关系，它们不能反映随即变量自身间的极限关系，此外，我们还有以下结论：定理3依概率收敛蕴涵依分布收敛.证明设n与的分布函数分别为Fn x和F X 易知,对任何y :： X，有y= y, n-y，n - X in X I：_ X y ,所以F y - Fn X P n-X-y,从而可由；一p, 推知F y lim inf Fn x . T n_Q同理,对任何Z X ,有lim s u pF n x - F z .n,.-如果x C F，联立上述二式，并且令y X ,Z0X，那么就有F x - lim inf Fn x - lim s u

7、pFn x _ F x .所以nimnx =f（x）,- C f，即 n .但是,反过来,我们却有依分布收敛不蕴涵依概率收敛 反例如下：例3设那么n和都服从参数为-的Bernoulli分布所以Fn x二f x ,当然有 Fn X s F X，亦即.但是我们有n w n 1 ,.三：，_ n . N ,亦即对任何0 ： ； c.故而对任何；.0当n. 时，有P0 C ZE)=P(J Kc + g)+P(n 兰 C E)=1 Fn(C + g)+Fn(C E+0 戸 0 ,即有nC .(2)P n -三1 ,-n N,(2)P n -三1 ,-n N,接下来，让我们再介绍概率极限理论中一种重要的收

8、敛，就是几乎必然收敛定义5设随机变量和随机变 量序列n, n. N?定义在同一个概率空间JF,P上，如果P | lim n）二 C ） 1,（ 1）-jpc就说a.s收敛到，记为： a.s.由于对固定的来说,nC）就是数列，因此所谓lim ：（）= C），就是对n任何； 0，都存在k N，使得只要n k，就有因此，我们可以用事件的语言把（1）表示为nC )(2)P n -三1 ,-n N,(2)P n -三1 ,-n N,p n u n(|.m 士k 生 n j（2）中的不是可列交，但是可以将其改写为如下的等价形式:；01)=1.m丿(2)运用对偶原理，可知(3)等价于p u n u(| J,

9、m _1k _0 n _k显然,(4)成立，当且仅当-m = N .而(5)成立，当且仅当k 才 n -kk 才 n -k注意到odU (Rn -勺曲，k E Nn主是下降的事件序列，所以由概率的上连续性知，(6)等价于/ oO、lim P U ( 色呂)=0, V 0.(7)n_JpCJ丿，则得充分必要总结上述讨论，我们得到： 定理5如果随机变量和随机变量序列定义在同一个概率空间上 条件是(7)成立.由定理5可以立即得到：定理6如果a.s.则必有；卩证明：由于 a.s故由(7)得，对-a . 0 ,对-；.0，存在K ,当k - K时，有P U 徉n-fza)v E， 乜士丿又因为故pgn

10、-Aa)“ 仏住n -,a)Lj ln 士丿因此，由依概率收敛的定义知.对于Lr收敛与a.s收敛,我们有:定理7 Lr收敛与a.s收敛互不蕴涵.我们来看例中的随机变量序列 n，n. N ?与匚=0,不难证明有limnr-因此； a.s .但是我们已经证明n不依平均收敛于，故a.s收敛不蕴含Lr收敛.反过来的例子如下：例4仍将F,P取为区间0,1上的几何概型空间，定义-0，令产n= Imm 12 n ：: 2k 才 n -kk 才 n -k但是,只要不难看出，对任何r “，都有En -厂=En 0，故：n不是有理数，那么都有无限多个n使得；-=1，故n不a.s收敛于-.另外，由a.s收敛我们还可

11、引入另一种收敛，即完全收敛.定义6设是n ?随机变量序列,是随机变量.如果对任一 :0,有瓦 pqj -q*)立， n 土那么就称随机变量序列1完全收敛于随即变量.显然完全收敛蕴涵a.s收敛.因为事件序列的无穷多次发生和随机变量的a.s收敛之间有着密切的关系，所以接下来我们介绍无穷次发生的概念以及它与a.s收敛的关系.定义7设:An, n. N 是概率空间-,F,P中的一列事件，如果存在无穷多个n,使得 An,我们就称事件序列An?无穷多次发生，记作lAn,i.O丄上述定义中的i.o.是英语词汇infinitely often的缩写.关于事件序列的无穷多 次发生，我们有：定理8如果An,nN

12、是概率空间 JF,P中的一列事件，则QO QO?An,i.o.,An.k W n 证明易知，入，i.o.也 存在无穷多个n ，使得 An二 对任何k N，存k 才 n -k在 n _ N，使得 An 二Ak 才 n -k运用上述概念与前面的讨论，我们可得：定理9设n，n. N 为一列随机变量，为随机变量.则n a.s收敛于的充分必 要条件是对 于E 0，有 三ZE,i .0.)=0.f qQ、证明:因为 St a.s.二 lim Pu 徑 n -巴 z)=0 0.Z g丿f OQ OQqQpg U (|n q二)1=0，妣：0.(因U (|：n E )， N是下降的事件序列所 k n zkn 土以由概率的上连续性可知)uPgn_q U.O.)=0,Pg0 .综上所述，我们可知随机变量序列中以上几种收敛之间有着如下关系：1. L r收敛与a.s收敛互不蕴涵；2. Lr收敛与a.s收敛都蕴涵依概率收敛；但依概率收敛不蕴涵Lr收敛和a.s收 敛；3. 依概率收敛蕴涵依分布收敛；但依分布收敛不蕴涵依概率收敛；4. 对于退化的随机变量，有打JC二nC ；5. 完全收敛蕴涵a.s收敛;但a.s收敛不蕴涵完全收敛；6. 对于事