高等数学教学课件5.5

1、科学出版社三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 第五节二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 定积分的积分法 第五五章 一、直接利用牛顿直接利用牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 科学出版社例例1.1. 求定积分121d1xx的值.解：解：121d1xxarctan1 arctan( 1)()442 根据基本积分和牛顿莱布尼茨公式，一、直接利用牛顿一、直接利用牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式由牛顿莱布尼茨公式，为求被积函数的原函数或不定积分的问题 .求定积分的问题可以归结得11arctan|x科学出版社例例2.2. 求求定积分31| 2|dxx解：解：由于被积函数有绝对值，22|2

2、|22xxxxx由定积分的区间可加性，31|2|dxx2211(2)2xx114522先将绝对值去掉，再分区间积分. 因为得21(2) dxx32(2) dxx322(2 )2xx科学出版社例例3. 计算201 sindxx解：解：0|cos|dxx20cosdxx220sin|sin|xx20cosdxx22( cos ) dxx原式科学出版社 ( )dftt二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 设函数, ,)(bacxf函数)(tx满足： (1), ,)(1ct (2) 在,上,)(bta;)(,)(ba( )dbaf xx)(t则且有原函数f (x)；( )( )f bf a(

3、( )( ( )ff 从左到右使用这个公式，相当于不定积分的第二类换元法； 从右到左使用公式，相当于不定积分的第一类换元法. ( ) d ( )ftt科学出版社1) 当 , 即区间换为，时,定理 仍成立 .2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 当从右到左使用换元公式时，可以用凑微分法，f)(t)(dttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t而不必变动积分限.( ( )( ( )ff 注注:科学出版社例例4. 计算).0(d022axxaa解解: 令sin ,xat则,dcosdttax 0 x xa 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21

4、(22tta0242a20ttdcos2o22xayxyas且0;t 当时，.2t 时，科学出版社例例5. 计算40+2d .21xxx解解: 令21,tx则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x3.t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 133221;t 且 科学出版社例例6.( ),f xa a设在上可积证证:(1) 若, )()(xfxf0( )d2( )daaaf xxf xx( )daaf xx(2) 若, )()(xfxf( )d0aaf xx0( )daf xx0( )daf xxttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()

5、(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零xt 令则 则 科学出版社计算1211sind1xxx解：解：21sin1xx其中211x是偶函数，2sin1xx是奇函数，1211d1xx102arctan|x211x所以120d21xx原式=121sind1xxx2例例7.2sin1,xx科学出版社例例8.8. 证明：若f在0,1上可积，则2200(sin )d(cos )dfxxfxx证：证：令,2xt20(sin )dfxx20(cos )dftt则20sin()d2ftt ,0时当x,2x0.t ;2tddxt 因此20(cos )dfxx科学出版社例

6、例9.9. 计算2330sincosd2sincosxxixxx解：解：由例 8 可得2330cossind2cossinxxixxx因而0.i 例例10.计算20cosd .sincosxixxx解：解：20cosdsincosxixxx20cos2dsincosxixxx20dx故4i20sindcossinxxxx220sindcossinxxxx, i 科学出版社例例11. 设 f 是周期为t的连续函数, 证明：xxfxxfttaad)(d)() 1 (0解解: (1) 记01 sin2 dnix x,d)()(xxfataa)()()(aftafa0无关，与可见aa)(),0()(a

7、因此0(2)( )d( )d(n),a nttaf xxnf xxn并由此计算则即xxfxxfttaad)(d)(0思考题思考题:对可积周期函数对可积周期函数 f 证明本题证明本题科学出版社(2)xxfntaad)(xxftktaktankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0nnxxfnxxftntaa并由此计算( ),akta1看作中的0( )d(n)tnf xxn为是以x2sin1周期的周期函数xxnd2sin1001 sin2 dnx x0( )d( )d )a kt tta ktf xxf xx则xxfxxfttaad)(d)() 1 (0( )da ntaf x

8、x科学出版社xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(204)tx4(令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfttaad)(d)() 1 (0科学出版社三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 1, , ,u v c a b设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(根据不定积分的分部积分公式，部积分公式：立即可得定积分的分分部积分的要点就是通过微分的交换， 使得右边的积分较左边更容易找到原函数. 定积分分部积分的原则与不定积分是一样的.科学出版社例例

9、12. 计算20e dxxx和220cos d .xx x解解:20e dxxx2202ee|x请自行计算20dexx2e1.2200ee d|xxxx220cos.xxdx科学出版社例例13.计算1ee|ln|dxx和e21ln dxx x解解:1ee|ln |dxx1e11e1( lnd )xxx 11(1)e (e 1)ee 请自行计算e21ln d ,xx x找出含有对数函数的分部积分的规律.11ln dex x e1elnd1xxx22ee1ln dx x科学出版社20cosdnx x例例14. 证明证明2sindnnix x0证证:20cosdnx x,22143231nnnnn 为偶数,3254231nnnnn 为奇数根据例8，20sindnx x令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcos cossinnxx 1022022dcossin) 1(xxxnn02sindcosnnixx 10科学出版社2022dcossin) 1(xxxninn2022d)si