同济大学高数B下期末考试题

1、同济大学2009-2010学年第二学期高等数学 B(下)期终试卷填空题(4 8 32)1.曲面x2 2y2 3z2 21在点(1,2, 2)处的法线方程为2.函数z ln(x2 2y)在点(1,2)处沿方向* ( 1,2)的方向导数为2 53.设f(x,y,z)为连续函数25则二次积分0dx0 dy x2 y/ f(x, y,z)dz的柱面坐标积分形式为02df ( cossin , z)dz4.设函数f(x)具有一阶连续函数，且f(0) 1 ,若曲线积分(xy2 y2)dx (yf(x) y2)dyL在整个平面上与路径无关,则f (x)x2 2x 1.5. 曲面积分(xz 4)dS 32,其

2、中:x2 y2 z2 4, z 06. 设函数 uln(x2 y2 z2),则 div(gradu)(w)-37.若幂级数anXn在点x 2处收敛,在点x 2处发散,则幂级n 0数色(x 1)n的收敛n 1 n区间为 (1, 3)8.设f(x)是以2为周期的周期函数，它在(，上的表达式为f(x)x 2 , x 02x 1 0 x7 / 29则f(x)的傅里叶级数在点x 5处收敛到解答题(68)9. ( 8)证明函数f(x,y)3孕 6，(x, y)x y0(x, y)(0,0)在点(0, 0)处不连续.(0,0)1I0mf(x,y) 0, lim0f(x, y)-x 0,y0x y30210.

3、 ( 10)计算二重积分Siy dxdy ,其中D是由直线y x与y x y所围成的闭区域1si nyyIdy 2dx 1 sinl 0 y y211.(10)计算三重积分 (4x 2y z)dV ,其中是由平面x y z 1与三坐标平面所围成的闭区域.I 5 zdV 5 ：(1 z)2dz 2 02412. ( 10)计算曲线积分雲，其中L为椭圆X / 1(按顺L x y42时针方向绕行).2 2QP yx2 rrxy (xy )x2xdy ydx221 x y2dxdyx2 y2 113. ( 10)计算曲面积分x(y z)dydz (x2 y2z2 )dxdy ,其中为曲面:z x2y2

4、 (0 z 4),取上侧.Iz 4( x2 y2 4)下侧(x 3z)dV64 ,72I 8 z 4(x2 y2 4)下侧14. ( 10)将函数f(x)厂h展开成(x 1)的幂级数并指出展 开式成立的范围.f(x)1)n(12n1 4E(x Jx 3)15. ( 8)求幂级数-xn的收敛域及和函数，并由此求级数n o(2n)!匚的和.n 0 n!),S(x)n 11 x()1 (n 1)! 2(-)n -(x2 2xo n! 24x4)eS (2)3e同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空题(4 8 32)1. 直线丄与平面x 2y z 2 0的夹角为2 1

5、162.向量函数F (x2y, y2z, z2x)在点(1,2, 1)处的散度为2 .3.质点在变力F ( yz,xz,z)的作用下，沿螺旋线:x 2cos t, y 2sin t, z t,从点M (2, 0, 0)运动到点N( 2,0,),则变力*所作的功为5 27522 .4.闭区域 D x2 y2 2 5x,贝U积分(x2 y2)d5. 若级数 an(x 1)n在点x 3处条件收敛，则该级数的收敛半 n 02径 5.26.函数sin2 x的麦克劳林展开式为(1)nl22n1x2n(2n)!7. 若 s(x)bn sin nx 是函数f(x)n 1x (x (0,)的正弦展开式,则19

6、/ 298.设是由z x2 y2与平面Z1所围的有界闭区域，1是位于x 0, y 0的部分，则下列等式中正确的是CA:xdV 4 xdV ;1B:ydV 41ydV;C:zdV 4 zdV;D:xydV 4xydV.1 1解答题(68)9. ( 8)求曲线2 2y2 Z 10在点(1,2,1)处的切线与法平面方程x y z 2U, 8x12y 12z 2 010. ( 10)计算曲面积分 (x y 2)y2 z2 1与平面dS,其中 是球面X2 y2 z2 4 被曲面.d(2 4)03(160 88印z , x2 y2截下的较小部分的曲面.22 2I (x y 4)=22dxdyx2 y2 2

7、. 4 x y11. ( 10)将函数 f(x) xln(1 x2)0et2dt展开成x的幂级数，并指出展开式成立的范围f(x)x m( 1) (n!(2n1)1-)x ,xn2n 11,112.(10)计算曲面积分xzdydz 2ydzdxyzdxdy,其中 为曲面2 22x2y2 z2 1(x 0,z0)取前侧.Ic222 y(xyz)dxdyZDxy(x2 =弓 2 )dxdy1 x y2413.(10)计算三重积分(4x 2y z)dV ,其中 是由曲面z 1,z 2 所 围成的有限闭区域:zdzdxdy 21 1x2 y2 1 z2414. ( 10) f (x)是周期为 4的偶函数

8、，在0,2 上f(x) 2 x.求该函数的傅里叶展开式，并由此求级数的和82k 1“f(x)厂 cos x, x (1 (2 k 1)215.( 10)设f (x)为区间a,b上的连续函数，且f (x) 0 ,证明(b a)2b 1f(x)dx dxa f(x) b bMdxdy 丄 b-f-Cyl)dxdy dxdy (b a)2a a f(y)2 a a f(y) f (x)a a同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空选择题(3 8 24)2 21. 极限lim曲y) 2.(x,y)(1, 1) x y2. 若函数f(x, y)具有连续的偏导数，且fx(1,

9、2) 2, fy(1,2)1,ml23.由x3 xyz2 e2z 1 e 0所确定的函数z z(x,y)在(1,1,1)点的偏导数zx(1,1,1)4. xoy平面上曲线L的方程为F(x, y) 0 ,若将该曲线关于直线 y x 0对称得到曲线L,则L的方程为 F( y, x) 0.5. 函数f(x, y)在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件？ B A：充分条件B :必要条件C :充分必要条件；D：无关条件.6.若常数项级数un收敛,则下列各项判断中正确的判断是n 1A:u； 定收敛；n 1一定发散;C:nunn 1D :对于常数P ,如果Un收敛就可判断n 1lupl收

10、敛，必有 n 1 nP 1.7. 是球体x2 y2 z2 R2,1是球体位于第一卦限内的部分(x 0,y0.z0),则积分/ 2(x yz3)dv等于B A:8 (x y2 z3)dv ；B:81y2dv1;C :8(x y2)dv ;12D:24 y2dv.18. 是空间光滑的有向曲面片，是与正向联系的有向边界曲线，则由斯托克斯公式2 2(2xz y)dx (xy z )dy (z x )dz等于A: 2zdydz xdzdx dxdy2 2B: (2xz y)dydz (xy z )dzdx (z x)dxdy；C: (2z x 1)dS；D:2zdydz (y 1)dxdy.二.解答题(

11、6 2 12)23 门 C1 求曲线 3x 2yz 2 0 在(1,1, 1)点的切线方程x3 y2 z 3 0x 1 y 1 z 1571 2.计算 xydxdy,其中D是由y . 2x x2与y .3x所围成的有界D闭区域.I丄96三(8)求函数f(x,y) x2(2 y2) ylny的极值，并说明是极大还是极 小值.(。，-)-e e四(8)已知f(x)是0,上的连续函数，若将f(x)分别展开成周期 为2的傅里叶余弦和正弦级数，它们分别为余弦级数也 ancos nx；正弦级数2 n 1bnSinnx . 试写出系数n 1an与bn的计算公式，并求函数F(x)f(x), 0 x c周期为2

12、1x 0的傅里叶级数.略五(10)求曲面 匸 2.J 3d 3上的点(x,y,z) (xyz 0),使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大V 3冠Vmax(1,4,9)六(10)如果曲线积分82 2(x y y 1)dx (2xy.体积(x)dy与路径无关，其中（x）是可导函数,并且满足(0)1,求函数(x),并计算积分(x2yLy2 1)dx (2xy (x)dyJ其中L是沿曲线y xex 从(0, 0)到（1,e）的弧段.(x)1x3 11e22e3L3七(10） 是由曲面z1 x2y2 与 z 3(x2y2) 1 丿所围立体的边界曲面，它的法向指向曲面的外侧，计算曲面积分0

13、* yz)dydz (2xy y2z)dzdx (x2 y2z)dxdy.I2 2(x 2x 2yz y )dv2dz八（10）求幂级数（丄n 1 3!）（x 1）3n的收敛域及其和函数.n0,2)Sx) -(x ln1(x 133 (x 13九(8)判别常数项级数的收敛性(a 0),并对自己的判n 1 1 汀I na断给出证明.11ln a In n 1 2 M n 1 Inn 1 InaInn11lnn a 1: n a a 2 n a n a e2川na收敛同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷填空选择题(3 8)1. 经 过三点 A(1, 1,3), B(2,1

14、,4), C(3,0,1)的平面 万程为5x 4y 3z 18 0点(2,。，1)到该平面的距离为乎2. yoz平面上的直线z y 2绕着z轴旋转一周所得的曲面方程为 z-x2 y2 2；在二次曲面中，该曲面的类型是 圆锥面.2 2 2 .3. 是上半球体x y z 1, 是 的边界曲面外侧，z 0是上半球面y2 z2 1,z 0的上侧,则利用咼斯公式计算可得Q(x2y)dydz (2y z )dzdx (x z 1)dxdy积分 (x y)dydz (2y z2 )dzdx (x z 1)dxdy14. A( 1,2, 2), B(4,5,2)是空间两点，L是以A, B为两端点的直线段Lab

15、是以A为起点B为终点的有向直线段，贝U 1ds5-、2; 1dz _4Lab5. D是由曲线y 2x2与f(x, y)dxdy 等于A D3 x所围的有界闭区域，则积分(A)13 x3dx 2x2 f(x, y)dy ;212x2(B) sdx 3 f (x, y)dy ;3 x29一2 23 2 f(x,y)dx；(D)3 yf(x, y)dx.6.积分I1(x2 y2)dxdy,2 2I2(x y )dxdyJ2 2x y1x2 y2 2, y 013(x4y4)dxdy ,x2 y2 1I4(x3y3)dxdyJ则有2 2x y1D (A)h I2I 3I4;(B)I1 I2 I4 I3

16、;(C)l4 I3 I2 I15(D)l2 Il I3 I4.7. xoy平面上密度为（X,y）的薄片D对z轴上位于（0,0, 2）点单位质点的引力为F亿忑化）, G 是 引 力 常 数， 则(A)FZG (x, y)D /22(X y3dxdy z2)2(B)Fz2G(x,y)ydxdy ；(C)Fz(D)Fz(x2y2 4)2G (zD 2x2G2 (x, y)3dxdy(z 2)22(x,y)3dxdy .1423 / 29D 222(x y 4)28.是抛物面z 2 x2 y2, z0的上侧，则由两类曲面积分的联P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z

17、)dxdy(A) (P 2x Q 2y R)dS(B)PjxRdS；.1 4(x2 y2)(C)p 2x Q 2y =Rds、1 4(x2 y2)(D)dS.P 2x Q 2y R z.1 4(x2 y2)二.(4 3)1.试求曲线x t2 y In(t 1),z et1在参数t 1所对应点的切线与法 平面方程.口4, 4x y 2z 6 ln2 04122.试求由方程2xz z3 xy22所确定的函数z z(x, y)在(1,1,1)点的全微分 dz(1,1,1).12dzw 5dx 5dy3.占有上半圆x2y2 4, y 0的薄片面密度为 (x, y) (x y)2 1 ,试计算该薄片的质

18、量M (x y)2 1dxdy 6 D4.将函数f(x)展开成x 1形式的幂级数x x 6f(x)10(1)n3n 051)n, x 115.将函数f(x)0, 0 x2展开成周期为2的余弦级数.14 . n sin - n i n 2cos nx .(8)求幂级数2n(nn 01)(x 1)2n的收敛区间与和函数|x 1，s(x)1221 2(x 1)22四.(10)是由曲面z . x2 y2以及z 2所围成的立体，其体密 度为x2 y2.(1) 计算 关于z轴的转动惯量；Iz(x2 y2)2dv 128 ; Il21(x2 y2)(x X。)2 (y 1)2dv(2) 试写出 关于平行于z

19、轴的直线x x;y 1转动惯量的计算 公式(无需计算)五.(10)任意取定球面x2 y2 z2 28上一点并且任意给定一个方 向，都可以求出函数u (x 2y 3z)2在给定点沿给定方向的方向导数,试求出所有这些方向导数中的最大与最小值.gradu 2 14 x 2y 3z ,L (x 2y 3z)2(x2 y2 z2 28)P ( 2, 2,2, 3 .2), gradUmax 56-7, gradu 皿山567六. (10)已知 笃by2dxX2 y 2 dy是某个二元函数的全微分.(1)2x y 2x y试求出常数a,b;(2)计算积分化兰厂驾dx，rAdy,其中L是逆时针方向的曲 02

20、x y 2x y线 x2 y2 1.(1)a2,b1;(2)(2x y)dx (x y)dy 2 j 2x2Q2 1七. (8 ) Un是斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,卅卅，即U11,U21,Un 1 Un Un 1 ,n 2,3，卅，试分析级数 的收敛性，其中是实常数.n 1 UnUnUn 1, Un 12UnUn 1 Un1Un23Un2IT，-(勺2 Un 30时,级数显然发散；0时,级数收敛同济大学2013-2014学年第二学期高等数学 B(下)期终试卷填空选择题(3 8 24)1.以空间三点 A( 2, 3,1), B(1,2, 3),C(0,1, 2)为顶点的三

21、角形面积A丄.22. 两平面x 2y z 0与2x 2y z 3的夹角余弦cos6.63. 曲面:z In(x2 2y 1)在(2,2,0)的法线方程为x 2 y 2 z4214. D是以(1,1),( 1,1)以及(1, 1)为顶点的三角形闭区域，则积分(x? 2)dxdy 4D5. 函数f(x, y)具有连续的偏导数,已知f；(x,y) 0, fy/(x,y) 0,如果a f(1,1) b f( 1,1)c f ( 1, 1), d f(1, 1)四个数中最大的数是 M,最小的数是m ,则有【D (A)M a, m d ;(B)M c,m a ;(C)M d,m b ;(D)M b,m d

22、 .6. 将；dx1f(x,y)dy化成极坐标的二次积分式时，下列正确的是【C 2cos(A) 2d f( cos , sin ) d0 0cos(B) 。厲 0f ( cos , sin ) d ；2si n(C) 2d 0f( cos , sin ) d；sin(D) 2 d o f( cos , sin ) d47. 是由圆锥面z 、- X2 y与半球面z , 4 x2 y2所围的空间立 体，则将积分If(x2 y2,z)dxdydz化成柱面坐标计算时，下面正确的三次积分式是【C】2(A)。2(B) d02(C)o2(D) d02d d02d0d d02dL 2 f( 2,z) dz2

23、2 2 f( 2,z) dz；4 22f( 2,z) dzf ( 2,z) dz.8.已知Un0(n1,2,3,|),则Unn 1发散的充分必要条件是27 / 29【A】(A)limnUkk 1(B)lim Unn(C) Un是无界数列；n(D)Hm Ukk 1计算下列各题(6 5 30)1.在经过点(1,0, 2)的平面与球面x2 (y 1)2 (z 1)2 12 相交的所有圆弧中，求出圆弧长度的最小值6 2.求函数 z(x2 1)lny的全微分 dz(1,e)2dx 2e 11n 2dy 3.计算(x3 y2 x)dxdy,其中D是由x2 y2 4, y x确定的扇形D区域24. L为平面

24、内光滑的简单闭曲线，并取正向，求曲线积分(yy 2z)dx (xy x y sin x2)dx (ey x3)dy的 最 大 值LI(1 3x2 3y2)dxdy3x2 3y2 165.判断级数(en cos1)的收敛性，并给出判断理由.n 1nUnf发散n二.(10)求由方程z2 x2y ez x 1所确定函数z z(x, y)的偏导数z zJX(1,1,1) y以及(1,1,1)五.(10)求幂级数29 / 292zy (1,1,1)zx (1,1,1)z1,y (1,1,1)y (1,1,1)9四.(10)是曲面z xy2与柱面x y1的交线，从z轴正向看向z轴的负向，曲线是顺时针方向的

25、计算曲线积分3z)dy (2x 3y)dz.I2(3x 3y)dxdy3 x2dxdy1xynon 1nxn的收敛域，以及该幂级数在收敛域内的和函数.S(x) 2_n(1 2x), x 舟叽吗)；S(0) 1六.(8)计算xy2dydz (2x ez)dzdx (x2z 2y2)dxdy, 其中 是曲面(2 2z x y位于0 z 2的部分，曲面法向与z轴正向的夹角为钝角 . 64 5七.(8) f(x) C0,已知 0 f(x)dx ,求常数 G,C2,|,Cn,使得 积分f(x)Ck coskx2dx取得最小值并说明limck coskxk 1F(x)在f (x)cos kxdx, F (

26、x)f(x) 10f( x) 1,g(x, y)31 / 29同济大学2014-2015学年第二学期高等数学 B(下)期终试卷.填空选择题(3 8 24)1.已知三向量(2,1, 1),b (1,3,1),1,y,2)共面，则常数设 f (x, y)lim f(x 2 x,y) f(x, y)x 02.sin(2x 3y)4cos(2x 3y).x3.已知可微函数f (x, y)的偏导数x(1,1)2,则函数(1,1)f (3x 2y, 3x y2)在(x,y) (1,2)点对变量y的偏导数6(1,2)4.已知连续函数f (x, y) x2f (x, y)ds ,其中L是上半圆周L0,则 f(

27、x,y)5.设D是由x222y 2x,xy2 4所确定的平面闭域，L是D的正向边界，则积分2 x2(y eL6.设D2xy)dx2(x xy2x)dy 6是平面闭域:y, y则将二重积分f(x2D标下y2)dxdy化为极坐【A (A)2Jd4sin0f( 2) d3(B) Jd42si n0f(2)d ;(C)0d10f(2) d3(D)2 d4sin0f( 2) d .7.已知常数项级数收敛,则下列收敛的级数是【c】(A)2Un1(B)UnUn 1n 1Un Un 1 (C)- 口n 12(D)(n 1n1) U0 x37 / 298.设anXn的收敛半径为n 1R 0,1,则an(x2nn

28、 1x3n）的收敛半径为(C) max.R, 3R;【D (A)3.R ;(Bh.R 3 R ；(D)min、R,3、R.计算下列各题(6 4 24)1. 求曲面xz2 arctan y 1在(1,0,1)点的切平面与法线方程.In (1,1,2)2. f (x, y) (x2 1)2y,当 、卡 y2 充分小时,求 f(1x,1 y)的一阶近似值a b x c y ,即f (1x,1 y) (a b x c y)是 的高阶无穷小o().48 x 81 n 2 y 3.计算曲面:z 12xy位于2小y 2, y0部分的面积.4.设 f （x）是（，）上的连续函数,记a-0 f(x)dx ,2

29、anbn0 f (x)cos nxdx,2 0 f (x)sin nxdx和函数S(x)a02 n 1(an cos nxbn sin nx)S(x)2f(x)0严）f(0),S()f()三. (8)在平行六面体ABCDEFGH 中，已知A(1, 1,2), B(2,1, 1),C( 1,2,0), H(3,0, 2)求(1) D,E,G点的坐标；(2)该平行六面体的体积.(2,0,3),(6,1, 3),(4,2,5);V10四. (10)已知曲线积分(X ay)dX (X y)dy在不包含x轴负半轴的l x y区域内与路径无关.(1)求常数a ;(2)计算上述积分，其中是上半平面从(1,0

30、)到(0,1) 的光滑曲线段x3 y3 1.1;I 2五.(10)计算曲面积分2 2 2 (xy yz)dydz (x y z )dzdx (1 yz)dxdy, 其中有向曲面:z x2 y2(z 1)的法向与z轴的夹角是钝角数.S(x)10)求幂级数n n(1) 2 x3n的0 n 1收敛域与和函131矿(1 2x), 32 x132七.(14)(1)如果直线I与直线!的夹角为(0相距为a 0.判别直线l绕直线l旋转所得曲面的类型并给出判别的理由；(2)若直线l的方直线i的方程为 口土J ,试求由直线I绕直线I旋转所431得曲面以及相距为2且垂直于直线I的两平面所围立体体积的最小值.(1)单

31、叶双曲面；(2)di 3, cos ii ；取V262 22104:x4 y2 dy f (x, y)dx y29 25z2( 1 z 1),V3同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空题(4 8 32)y(1 尹 dy1.设 u xe x,则 du()2.设曲面xy yz zx 1 0在点M(1, 2, 3)处的法向量为*,其与z 轴正方向的夹角为-锐角，则函数ln(xy y2ez 02 2y)在点M (1, 2, 3)处沿咕方向的方向导 数为运.53.交换二次积分的次序43 / 2924 y21叽f(x,y)dx24 x20dx 1 1 f (x, y)dy0

32、1 x24.设空间立体 由平面Z 0, z 1以及曲面x2 y2 3z2 1所围成,则三重积分(X3 y3 Z3)dv5.设曲线 L: y . 1 x2 (0 x 1),则曲线积分(x y)2dsL6.设在平面上,曲线积分(e x e3x)dyLz a 3xe x)dx与路径无关则常数a 12.7.设无穷级数(1)n n 1 ； n 1绝对收敛，则k的最大取值范n 1n围是a k 1 .8.设 f(x)2将f (x)展开为正弦级数bn sin nx ,n 1若该级数的和函数为s(x)，则s( 52)二.( 10)设z z(x, y)是方程2x2 2y2 z2 8yz z 8 0确定的隐函数z(

33、0, 2)1z 2z2 IX (0, 2) X 1(0, 2)=0,X (0, 2)izlX (0, 2)-15三.(10)在椭圆锥面z 1 .，矿宅与xoy面所围成的空间闭区域 中放置一个长方体，它的各个侧面均平行于坐标面，求该长方体的最大体积.【V 4xyz, 2x2 y2 (z 1)21 2 1x 3，y T，z 3V max辽】27四.(10)计算三重积分z2ydv,其中是由z 0, z 1所围成的闭区域.【I2 1 1z)dz 0 d 0 d (z)dz五.(10)求曲线积分y(1Ley )dxx(12y2)ey dy ,其中 L 为从 O(0,0)沿曲线【Ix 、2y y2A(1,1)有 向 弧 段六.(1)dD01 (1 e)dy10)计算曲面积分(x32ey )dydz(y3 2yz)dzdx (z2 y)dxdy, 其中为曲面z 、. x2 y2位于z 0与z 1之间的部分的下侧3(x2 y2)dv(z2 y)dxdy031010n七.( 10)求幂级数 H 的收敛半径与和函数13x23，s(x)飞n 1 n 1x fl n(1 3x),x ( 3,1)】3 3 3八.(8)