(完整版)高二数学归纳法经典例题

1、例1.用数学归纳法证明:2n 1 2n 12n 1请读者分析下面的证法:证明：n=1时，左边1 一，左边=右边，等式成立.3假设n=k时，等式成立，即:2k1 2k 12k 1那么当n=k+1时，有:2k2k 12k 1 2k2k 12k 12k 12k 32k2k 32k 32k 3这就是说，当n=k+1时，等式亦成立.由、可知,对一切自然数 n等式成立.n=k评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设 这一步，当n = k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求.正确方法是：当n=k+1 时.2k 1 2k 12k

2、 1 2k 32k 12k 1 2k 32k23k 12k 1 k 12k 1 2k 3 2k 1 2k 3k 1 k 12k 3 2 k 11这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例2.是否存在一个等差数列an,使得对任何自然数 n,等式：a1+2a2+3a3+ nan= n(n+1)( n+2)都成立，并证明你的结论.分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令 n=1 , 2, 3时找出来an,然后再证明一般性.解：将n=1, 2, 3分别代入等式得方程组.a16a12a224,a12a23a360解彳a a1=6, a2=9, a3=12,则 d=3.故存在一个等差数列 an=3n+3,当n

3、=1, 2, 3时，已知等式成立.下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3,对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)者 B 成立.因为起始值已证，可证第二步骤.假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2 a2+3a3+kak +(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+ (k+1)3( k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3 k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)( k+1)+1( k+1)+2这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a+2a2+3a

4、3+nan=n(n+1)(n+2)成立.综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3,对任何自然数n,等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立.例3.证明不等式1 ； ；1= 2Vn (nGN)., 2. 3- n证明：当n=1时，左边=1 ,右边=2.左边 右边，不等式成立.111假设n=k时，不等式成立，即1=二22jk.,2. 3. k那么当n = k+1时,11111 ,2,3,k ,k 12 k 12 ,k 1.k 1这就是说，当n=k+1时，不等式成立.由、可知，原不等式对任意自然数n都成立.说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是117 2Vk 1

5、,当代人归纳假设后，就是要证明:.k .k 12 人 ,2jk 1 .- k 1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标.例 4.已知数列an满足 a=0, a2=1,当 nG N 时，an+2=an+1+an.求证：数列an的第4m+1项(me N)能被3整除.分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法.当 m=1 时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被 3 整除.当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1 = a4 k+5

6、=a4k+4+a4k+3=a4k+3 +a4k+2+ a4k+2+a4 k+1=a4k+2+a4k+1 + a4k+2+a4 k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.由、可知，对一切自然数 me N,数列an中的第4m+1项都能被3整除.例5. n个半圆的圆心在同一条直线 l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线 l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成 f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜

7、想和论证.当n=2时，由图(1).两个半圆交于一点，则分成 4段圆弧，故f (2)=4=22.当n=3时，由图(2).三个半径交于三点，则分成 9段圆弧，故f (3)=9=32.由n=4时，由图(3).三个半圆交于 6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42.由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有 f (n)=n2.用数学归纳法证明如下：当n=2时，上面已证.设n=k时，f (k)=k2,那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意 三个半圆不能交于一点，所以第 k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就 多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了 k+1段圆弧.f (k+l)=k2+k+(k+i)= k2+2k+1=( k+1)2满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧.由、可知，满足条件的n个