高等数学下册空间解几课件

1、高等数学下册空间解几第六章第六章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 高等数学下册空间解几 向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛的应用的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算. 空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几何图形联系起来，是数形结合的典范何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分，本章第二部分，学习一些空间解析几何的基本知识学习一些空间解析几何的基本知识. 高等数学下

2、册空间解几1. 1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 在空间内取定一点在空间内取定一点 O，过点，过点 O作三条具有相同长度单位， 且两两互相垂直的作三条具有相同长度单位， 且两两互相垂直的 x 轴，轴， y 轴，轴，z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系轴，这样就称建立了空间直角坐标系Oxyz.点点 O 称为称为坐标原点，坐标原点，x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴，纵轴，和竖轴轴，纵轴，和竖轴.一般规定一般规定 x 轴，轴， y 轴，轴，z 轴的正向要遵循右手轴的正向要遵循右手法则，法则， 即以右手握住即以右手握住 z 轴，当轴，当右手的四个

3、右手的四个 手指从正向手指从正向 x 轴轴以以2角度转向正向角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向是轴时，大拇指的指向是 z 轴的正向轴的正向. 第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系一、一、 空间直角坐标系空间直角坐标系 zxy图图61高等数学下册空间解几 任意两条坐标轴确定的平面称任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面为坐标面.由由x轴和轴和y轴，轴，y轴和轴和z轴，轴，z轴和轴和x轴所确定的坐标面分别叫做轴所确定的坐标面分别叫做xOy面，面，yOz面和面和zOx面面.三个坐标面三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个部分把空间分隔成八个部分，每个部分称为一个卦限，依次叫第一至第八称为一个卦限，

4、依次叫第一至第八卦限卦限. O x y z 图图6-2高等数学下册空间解几xyz图图64zyOPQRx图图63高等数学下册空间解几例例 1 1 求求点点, ,M x y z到到三三个个坐坐标标面面的的距距离离. 解解 过过点点 M 作作与与xOy面面垂垂直直的的直直线线， 则则垂垂足足 A 的的坐坐标标为为, ,0A x y，且且MA的的长长 2220MAxxyyzz 就就是是点点 M 到到xOy面面的的距距离离. 同同理理可可得得，点点 M 到到yOz面面，zOx面面的的距距离离分分别别为为 x和和 y. 例例 2 2 在在 y 轴轴上上求求与与点点1, 3,7A和和5,7, 5B等等距距离

5、离的的点点. 解解 所所求求的的点点在在 y 轴轴上上，可可设设为为0, ,0My.根根据据题题意意有有 MAMB， 即即有有 2221 0370y 22250750y 解解得得 2y ，则则所所求求的的点点为为0,2,0M. 高等数学下册空间解几 第二节第二节 向量及其线性运算向量及其线性运算高等数学下册空间解几图图65aab高等数学下册空间解几图图6-6CbaoABab图图6-7AOC图图6- 8-bbBa数数 与与向向量量 a的的积积a规规定定为为平平行行向向量量 a的的一一个个向向量量.当当0时时，它它与与 a方方向向相相同同；当当0时时，它它与与 a方方向向相相反反；当当0时时，它它

6、为为零零向向量量.它它的的模模为为aa. 高等数学下册空间解几向量的线性运算有以下性质：向量的线性运算有以下性质： (1)交换律交换律 abba； (2)结合律结合律abcabc， aa , 是数；是数； (3)分配律分配律 aaa abab , 是数是数. 3 3 向向量量平平行行的的充充分分必必要要条条件件 定定理理 向向量量 b与与非非零零向向量量 a平平行行的的充充分分必必要要条条件件是是，存存在在惟惟一一的的数数 ，使使 ba. 高等数学下册空间解几BAC图图6 - 9DO高等数学下册空间解几二、二、 向量的坐标表达式向量的坐标表达式 zyOPQRxM图图6 - 10yOzxa图图6

7、11高等数学下册空间解几高等数学下册空间解几2 2 用坐标表示向量的线性运算用坐标表示向量的线性运算 设向量设向量,xyzaa a a，,xyzbb b b，则，则 xxyyzzababiabjabk ， 或写成或写成 ,xxyyzzabab ab ab xyzaa ia ja k 或写成或写成 ,xyzaaaa， 其中其中 是数是数. 高等数学下册空间解几3 3. .用用坐坐标标表表示示向向量量平平行行的的充充要要条条件件 前前面面已已提提到到向向量量ba与平平行行的的充充要要条条件件为为，存存在在惟惟一一的的数数 使使 ba 引引入入向向量量坐坐标标以以后后，此此条条件件又又能能写写成成

8、,xyzxyzb b baaa， 即即 ,xxyyzzbababa 即即 yxzxyzbbbaaa 高等数学下册空间解几三、三、 用坐标表示向量的模和方向余弦用坐标表示向量的模和方向余弦 yzxPQR图图612M2M1高等数学下册空间解几122212cosxxxyzM PaaM Maaaa 当当 是钝角时，上式也成立是钝角时，上式也成立. 类似地，有类似地，有 222cosyyxyzaaaaaa， 222coszzxyzaaaaaa 三个等式平方相加，有三个等式平方相加，有222coscoscos1. 如果以如果以a的三个方向余弦构成一个向量，的三个方向余弦构成一个向量， cos ,cos,c

9、os,yxzaaaeaaa 那么那么e是与是与a方向相同的单位向量方向相同的单位向量. 高等数学下册空间解几解解 因为因为 121 2, 1 0,2 11, 1,1M M 所以所以 222121113M M 111cos,cos,cos333 高等数学下册空间解几解解 （1） 2 2,3,11,5,0c 4,6,21,5,0 3,1,2 故故 22231214c . （2）与）与 c方向相同的单位向量为方向相同的单位向量为 312,141414e 高等数学下册空间解几解解 因为因为 222coscoscos142 解得解得2cos2 （ 是锐角，负的舍去）是锐角，负的舍去）.所以所以 cos2

10、cos2,cos2cos042xyaaaa， 2cos2cos22zaa. 向量向量a的坐标表示式为的坐标表示式为 2,0, 2a . 高等数学下册空间解几高等数学下册空间解几第三节第三节 向量的乘法运算向量的乘法运算 Fs 图图6-13高等数学下册空间解几图图614BabO高等数学下册空间解几2. 数数量量积积性性质质 （1 1）2a aa ； （2 2）00a ； （3 3）交交换换律律 a bb a ； （4 4）结结合合律律 ()()aba b ，其其中中 是是实实数数； （5 5）分分配配律律 ()abca cb c . . 例例 1 已已知知2( , ),3,4,3a bab 求求

11、向向量量32cab的的模模. 高等数学下册空间解几解解 根据数量积的定义和性质，有根据数量积的定义和性质，有 22222(32 ) (32 )(32 ) 3(32 ) 29664912cos( , )42912 3 4cos434381 726473cc cabababaabba ab aa bb baba bab 所以所以 73c 高等数学下册空间解几3 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式 设设,xyzxyzaijk bijkaaabbb 利用数量积的利用数量积的性质及性质及, ,i j k 是两两互相垂直的单位向量，有是两两互相垂直的单位向量，有 2221,1,10,0,0i ij jk

12、 kijki jj ki kk ij kk j 通过计算通过计算 () ()xyzxyza bijkijkaaabbb 后可得后可得 xxyyzza ba ba ba b 上式称为数量积的坐标表示式上式称为数量积的坐标表示式 222222cos( , )xxyyzzxyzxyza ba ba ba baaabbb 高等数学下册空间解几例例 2 设向量设向量,22 ,aij bijk 求求 ,cos( , )prjba baa b . . 解解 ( 1) 2 1 1 0 21a b 因为因为 222222( 1)13( 2)21ab 所以所以 1prj31cos( , )3 2ba baba b

13、a ba b 高等数学下册空间解几二二 、向量的向量积、向量的向量积 1.向量积的定义向量积的定义 先看一个实例：设先看一个实例：设 O 为一杠杆的支为一杠杆的支点，有一力点，有一力F作用于杠杆的点作用于杠杆的点 A 处，由力处，由力学知道， 力学知道， 力F对支点对支点 O 的力矩是一个向量的力矩是一个向量M ，它的模为，它的模为 sin( ,)MF OPF OAF OA ， OAPF(a)OFM(b)A图图6-15高等数学下册空间解几baba图图616ba图图6-17高等数学下册空间解几3.向量积的性质向量积的性质 （1）0,00aaa （2）()b aa b （3）结合律）结合律 ()(

14、)()aba bab，其中，其中 是数；是数； （4）分配律）分配律 ()abcacb c . 高等数学下册空间解几4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 设设,xyzxyzaijk bijkaaabbb， 利用向量积的， 利用向量积的性质及性质及, ,i j k 两两互相垂直，且构成右手系，有两两互相垂直，且构成右手系，有 0,i ijjkkijk i kjjik kji ikj 通过计算通过计算() ()xyzxyza bijkijkaaabbb后，可得后，可得 )()()yzzyzxxyxyyxa ba ba b ia ba bja ba b k, 或简写成三阶行列式的形式或简写成三阶

15、行列式的形式 xyzxyzijka baaabbb 上式称为向量积的坐标表示式上式称为向量积的坐标表示式. 高等数学下册空间解几解解 （1）211112121110101011ijka bijk ijk （2）a bijk 和和()baa bijk 都是与都是与 a和和b均垂直的向量，所以与均垂直的向量，所以与 a和和 b同时垂直的单位向量为同时垂直的单位向量为 ,a bea b 而而 2223,( 1)( 1)1a b 因此因此 111(,)333e或或111(,)333e. 高等数学下册空间解几解解（1）作向量）作向量,BA BC 则则 ( 1 1,2 1,3 1)( 2,1,2)(0 1

16、,0 1,5 1)( 1, 1,4)BABC 三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 12SBA BC 因为因为122221212141411114ijkBA BCijk 663ijk， 所以所以2221966322S . 高等数学下册空间解几高等数学下册空间解几第四节第四节 平面及方程平面及方程 一、一、点的轨迹方程的概点的轨迹方程的概念念 图图 6-18SxOyz( , , )0F x y z 高等数学下册空间解几TOzyx图图 6-19高等数学下册空间解几二、平面及其方程二、平面及其方程 1.平平面面的的点点法法式式方方程程 平平面面法法向向量量的的概概念念 凡凡是是垂垂直直平平面面的的

17、向向量量都都称称为为平平面面的的法法向向量量，显显然然，一一个个平平面面的的法法向向量量有有无无穷穷多多个个，它它们们之之间间相相互互平平行行. 现现在在，在在已已知知平平面面 上上一一点点,0000()Mx y z和和一一个个法法向向量量( , ,)nA B C的的几几何何条条件件下下， 建建立立平平面面 的的方方程程. OyxnMz图图 6-20M0 高等数学下册空间解几由由向向量量垂垂直直的的充充要要条条件件，得得 000()()()0A xB yC zyxz 容容易易验验证证，在在平平面面 上上的的点点的的坐坐标标满满足足方方程程，不不在在平平面面 上上的的点点的的坐坐标标不不满满足足

18、方方程程.所所以以该该方方程程是是平平面面 的的方方程程，它它称称为为平平面面 的的点点法法式式方方程程. 2.平面的一般方程平面的一般方程 在平面的点法式方程中， 另在平面的点法式方程中， 另000()DABCyxz ，那么方程可写成那么方程可写成 0AxByCzD， 反之，设有三元一次方程反之，设有三元一次方程 0AxByCzD 任取一组满足该方程的数任取一组满足该方程的数000,yxz，代入方程后，得，代入方程后，得 0000AxByCzD, 高等数学下册空间解几两式相减，得两式相减，得 000()()()0A xxB yyC zz， 它恰是通过它恰是通过000(,)xy z， 法向量为

19、， 法向量为( , ,)A B Cn的平面方程，的平面方程，方程方程 0AxByCzD 称为称为平面的一般方程平面的一般方程，其中，其中( , ,)A B Cn是平面的法向量，是平面的法向量， 下面讨论一些特殊情况：下面讨论一些特殊情况： （1） 当当0D 时时，显然原点，显然原点(0,0,0)O的坐标满足方的坐标满足方程程 0AxByCz， 因此，它表示的平面通过原点因此，它表示的平面通过原点. 高等数学下册空间解几（2） 当当0A 时，方程时，方程 0ByCzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0, ,)B Cn.由于法向量由于法向量 n 在在 x 轴上轴上的投影的投影0A ，故，故

20、 n 垂直垂直 x 轴，所以平面平行轴，所以平面平行 x 轴，类似轴，类似地，当地，当0B 时或时或0C 时，方程时，方程 0AxCzD 或或 0AxByD 分别表示与分别表示与 y 轴平行和与轴平行和与 z 轴平行的平面轴平行的平面. （3） 当当0A ，0B 时，方程时，方程 0CzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0,0,)Cn，这时，这时 n 与与 x 轴，轴，y 轴都轴都垂直，即与垂直，即与xOy面垂直面垂直，因此平面与，因此平面与xOy面平行，类似地，面平行，类似地，当当0A ，0C 或或0B ，0C 时，方程时，方程 0ByD 或或 0AxD 分别表示与分别表示与zOx面

21、和与面和与yOz面平行的平面面平行的平面. 高等数学下册空间解几例例 1 求求通通过过点点(1, 2,1)，且且与与平平面面2310 xyz 平平行行的的平平面面方方程程. 解解 已已知知平平面面的的法法向向量量(1, 2,3)n垂垂直直所所求求的的平平面面，于于是是它它是是所所求求平平面面的的法法向向量量，所所以以平平面面方方程程为为 1(1)2(2)3(1)0 xyz， 即即 2380 xyz. 例例 2 求求通通过过三三点点123(1, 1, 2),( 1,2,0),(1,3,1)MMM 的的平平面面方方程程. 解解 向量向量12M M ，13M M 均在平面上，而向量积均在平面上，而向

22、量积1213M MM M 同时与同时与12M M ，13M M 垂直，故与平面垂垂直，故与平面垂直，它是平面的法向量，直，它是平面的法向量， 高等数学下册空间解几因为因为 12( 2,3,2)M M ，13(0,4,3)M M ， 121323268043M MM M ijkijk 所以，所求平面的方程为所以，所求平面的方程为 (1)6(1)8(2)0 xyz 即即 68110 xyz 一般一般地地， 若平面与向量， 若平面与向量 a 和和 b 都平行， 则向量都平行， 则向量积积ab是是平面的一个法向量平面的一个法向量. 高等数学下册空间解几例例 3 求求通通过过点点(1,1,1)A和和(2

23、, 1,1)B，且且与与 z 轴轴平平行行的的平平面面方方程程. 解解 因为平面与因为平面与 z 轴平行，可设它的方程为轴平行，可设它的方程为 0AxByD， 又点又点(1,1,1)A，(2, 1,1)B在平面内，故在平面内，故 020ABDABD 解方程组，求得解方程组，求得 21,33AD BD ，于是，于是 21(1)033Dxy， 注意到平面不通过原点，注意到平面不通过原点，0D ，所以，所求平面方程为，所以，所求平面方程为 211033xy 即即 230 xy. 高等数学下册空间解几例例 3 3 也能按也能按例例 2 2 的方法求解，平面与的方法求解，平面与z轴的单位向量轴的单位向量

24、(0,0,1)e及向量及向量(1, 2,0)AB 都平行， 故平面的法向量为都平行， 故平面的法向量为 1202001AB ijkeij 所以平面方程为所以平面方程为 2(1)(1)0 xy， 即即 230 xy. . 高等数学下册空间解几解解 设平面方程为设平面方程为 0AxByCzD 将点将点 P，Q，R 的坐标代入方程，得的坐标代入方程，得 0,0,0,AaDBbDCcD 解得解得 ,DDDABCabc 代入方程中，消去代入方程中，消去 D，最，最后求得平面方程为后求得平面方程为 1xyzabc 此方程称为此方程称为平面的截距式方程平面的截距式方程，, ,a b c叫做叫做平面平面在坐标

25、轴上在坐标轴上的截距的截距. 例例4 设设 一一 平平 面面 与与, ,x y z轴轴 的的 交交 点点 依依 次次 为为( ,0,0),( ,0,0), (0,0, ),(0)P aQ bRcabc ，求求它它的的方方程程. 高等数学下册空间解几 第五节第五节 空间直线及其方程空间直线及其方程 高等数学下册空间解几现现在在已已知知直直线线 l 的的方方向向向向量量( , , )m n ps和和直直线线上上一一点点0000(,)Mxyz的的几几何何条条件件下下，建建立立空空间间直直线线 l 的的方方程程. OyMzxs图图6-21M0高等数学下册空间解几注注 方程中， 若有个别分母等于零， 应

26、理解为分子也方程中， 若有个别分母等于零， 应理解为分子也为零，例如，为零，例如，0,(0,0)mnp时方程时方程 0000 xxyyzznp 应等价于方程组应等价于方程组0000,xxyyzznp 引入变量引入变量 t，令，令000,xxyyzztmnp 则有则有 000,xxmtyyntzzpt 该方程组称为该方程组称为直线直线 l 的参数方程的参数方程，t 叫做参数叫做参数. 高等数学下册空间解几解解 取取00,x 代入一般方程，得代入一般方程，得 40,29,yzyz 解方程组，求得解方程组，求得001,4yz，则点，则点(0,1,4)在直线在直线 l 上上,因因为直线与两个平面的法向

27、量为直线与两个平面的法向量12(2, 4,1),(3, 1, 2) nn都垂直都垂直,故向量积故向量积12nn与直线与直线 l 平行平行,它是直线它是直线 l 的一个的一个方向向量方向向量,而而 122419710312ijknnijk 高等数学下册空间解几所所以以,直直线线 l 的的对对称称式式方方程程为为 14,9710 xyz 参参数数方方程程为为 9 ,17 ,4 10 .xtytzt 高等数学下册空间解几解解 直直线线与与两两平平面面的的法法向向量量1(1,0,1),n2(2, 1, 5) n都都垂垂直直,则则向向量量积积12nn与与直直线线平平行行,它它是是直直线线的的方方向向向向

28、量量,因因为为 121017215 ijknnijk 因因此此,所所求求直直线线的的方方程程为为, 325,171xyz 一一般般,若若直直线线与与两两个个向向量量a和和b都都垂垂直直,则则向向量量积积 ab是是直直线线的的一一个个方方向向向向量量. 高等数学下册空间解几二、平面与直线间的夹角二、平面与直线间的夹角 高等数学下册空间解几3.直直线线与与直直线线的的夹夹角角 两两直直线线方方向向向向量量夹夹角角中中的的锐锐角角称称为为两两直直线线的的夹夹角角. 设设直直线线 1l与与 2l的的方方向向向向量量依依次次为为1111(,)m n ps和和222(,)m np2s,则则直直线线的的夹夹

29、角角余余弦弦为为 12121212222222111222coscos( ,)m mn np pmnpmnps s 2.平面平行、垂直的充要条件平面平行、垂直的充要条件 (1)平面平面1和和2平行的充分必要条件为法向量平行，平行的充分必要条件为法向量平行，即有即有 111222ABCABC. (2)平面平面1和和2垂直的充分必要条件为法向量垂直，垂直的充分必要条件为法向量垂直，即有即有 1212120A AB BC C 高等数学下册空间解几图图6-22lnl1 高等数学下册空间解几解解 因为因为 2222221 2( 1) 12 11cos21( 1)2211 所以夹角所以夹角3. 高等数学下

30、册空间解几解解 过直线过直线 l 作平面作平面1与平面与平面 垂直垂直,则直线则直线 l 的方向向的方向向量量(2, 1,2)s及平面及平面 的法向量的法向量(2, 1,0)n都与平面都与平面1平平行行,故向故向量积量积sn是平面是平面1的法向量的法向量,因为因为 21224210ijksnij 又直线又直线 l 上的点上的点(1, 1,0)在平面在平面1上上,于是平面于是平面1的方程为的方程为 2(1)4(1)0 xy 即即 210 xy 所以投影直线方程为所以投影直线方程为210,20,xyxy 高等数学下册空间解几高等数学下册空间解几第六节第六节 曲面及方程曲面及方程 一、一、几种常见的

31、曲面及其方程几种常见的曲面及其方程 1. 球面球面 空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为球球面面，定值叫做，定值叫做半径半径，定点，定点叫叫做做球心球心. 球心为球心为0000(,)Mxy z，半径为，半径为 R 的球面方程为的球面方程为 2222000()()()xxyyzzR （此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原（此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原点点(0,0,0)O，半径，半径为为 R 的球面方程为的球面方程为 2222xyzR 高等数学下册空间解几例例 1 1 方方程程22242210 xyzxyz 表表示示怎怎样

32、样的的曲曲面面？ 解解 通通过过配配方方，方方程程写写成成 222(2)(1)(1)5xyz 所所以以，它它表表示示从从点点(2, 1,1)为为球球心心，半半径径为为5的的球球面面. 2.柱柱面面 一一动动直直线线 L 沿沿曲曲线线 C 移移动动，且且始始终终与与定定直直线线 l 平平行行，动动直直线线的的轨轨迹迹称称为为柱柱面面, 定定曲曲线线 C 称称为为柱柱面面的的准准线线，动动直直线线 L 称称为为柱柱面面的的母母线线. 现现在在讨讨论论母母线线平平行行于于 z 轴轴， 准准线线是是 xOy面面上上的的曲曲线线C： ( , )00F x yz 的的柱柱面面方方程程. 高等数学下册空间解

33、几y图图6-23zxOM(x,y.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)类类似似地地，母母线线与与 x 轴轴平平行行，准准线线 是是yOz面面上上的的曲曲线线 C ( , )00G y zx 的的柱柱面面方方程程为为( , )0G y z ； 母母线线与与 y 轴轴平平行行，准准线线是是zOx面面 上上的的曲曲线线 C( , )00H x zy的的柱柱面面方方程程 为为( , )0H x z . 高等数学下册空间解几zxyOa图图6-24Ozyx图图6-25高等数学下册空间解几xyzO图图6-26MM1高等数学下册空间解几所所以以( , , )M x y z的的坐坐标标满满足足方方程程 22

34、(, )0fxyz 它它就就是是曲曲面面 S 的的方方程程，类类似似地地，旋旋转转轴轴为为 y 轴轴，准准线线仍仍是是曲曲线线 C 的的旋旋转转面面方方程程为为 22( ,)0f yxz 用用同同样样的的方方法法，可可推推得得，准准线线是是xOy面面上上的的曲曲线线： ( , )00g x yz旋旋转转轴轴分分别别是是x轴轴和和y轴轴的的旋旋转转曲曲面面方方程程分分别别是是22( ,)0g xyz和和22(, )0gxzy;准准线线是是zOx面面上上的的曲曲线线：( , )0,0,h x zy旋旋转转轴轴分分别别是是 x 轴轴和和 z 轴轴的的旋旋转转曲曲面面方方程程分分别别是是22( ,)0

35、h xyz和和22(, )0hxyz. 高等数学下册空间解几例例 2 2 将将yOz面面上上的的椭椭圆圆22221yzab分分别别绕绕 z 轴轴和和 y 轴轴旋旋转转，求求所所形形成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程. yxzaab图图6-27高等数学下册空间解几xyz图图6-28zyxO图图6-29高等数学下册空间解几二、二、 二次曲面二次曲面 三元二次方程表示的曲面称为三元二次方程表示的曲面称为二次曲面二次曲面.给定一个给定一个三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，可采用可采用“截痕法截痕法”, ,即用平行于坐标面的截面去截曲面，即用平

36、行于坐标面的截面去截曲面，考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析. 1.1.球面球面 方程方程2222221xyzabc表示的曲面称为表示的曲面称为椭球面椭球面., ,a b c叫做叫做椭球面的半轴，椭球面的半轴，原点叫做原点叫做椭球面的中心椭球面的中心.当当abc时，方程变为时，方程变为 2222xyza， 它是球心在原点，半径为它是球心在原点，半径为 a 的球面方程的球面方程. 高等数学下册空间解几椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线： 222210 xyabz ，222210 xzacy，222210yzbcx 分别是三

37、个坐标面上的椭圆分别是三个坐标面上的椭圆. 用平行于用平行于xOy的平面的平面()zh hc去截椭球面，交线为去截椭球面，交线为 2222221xyhabczh ， 它是它是zh的一个椭圆的一个椭圆.当当h由由 0 逐渐增大到逐渐增大到 c 时， 椭圆逐渐时， 椭圆逐渐变小，最后变成一点，这些椭圆形成了球面变小，最后变成一点，这些椭圆形成了球面. 高等数学下册空间解几yxz图图6-30hO高等数学下册空间解几2 2. .椭椭圆圆抛抛物物面面 方方程程 22( ,)22xyz p qpq同号 所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭圆圆抛抛物物面面.0,0pq时，z0，它它在在xOy面面上上方方，0,00,pqz时，它它在在xOy面面下下方方，原原点点是是椭椭圆圆抛抛物物面面似似的的最最高高或或最最低低点点，称称为为顶顶点点. 设设0,0pq， 用平行于， 用平行于xOy面的平面面的平面(0)zh h去去截椭圆抛物面，交线为截椭圆抛物面，交线为 22122xyphqhzh， 它是平面它是平面zh上的一个椭圆上的一个椭圆.当当 h 逐渐由小变大时，