误差理论_第四章_不确定度课件

1、4 41介绍用测量不确定度来评定和表示测量结果的基本概念和方法要求正确掌握测量不确定度的若干名词术语会分析不确定度的来源掌握标准不确定度的两类评定、合成标准不确定度和扩展不确定度的求取方法学会正确表示测量结果的方式教学目标2不确定度的基本概念A类不确定度评定B类不确定度评定自由度有效自由度合成不确定度扩展不确定度测量结果的表示方法教学重点 3 第一节测量不确定度的基本概念一、研究不确定度的必要性一、研究不确定度的必要性误差概念和误差分析在用于评定测量结果时,有时显得既不完备，也难于定值。 一种更为完备合理、定量的评定测量结果的方法。 测量不确定度 4 第一节测量不确定度的基本概念二、二、不确定

2、度的由来不确定度的由来 v1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关系。 v1953年Y.Beers在误差理论导引一书中给出实验不确定度。 v1970年C.F.Dietrich出版了不确定度、校准和概率。 v1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测量准确度时，宜用不确定度。 v1978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。 v1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）。 5 第一节测量不确定度的基本概念一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制，以及商品流通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控制和建

3、立质量保证体系的质量认证活动；建立、保存、比较溯源于国家标准的各级标准、仪器和测量系统的校准、检定、封缄和标记等计量确认活动；基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以及实验室认可活动；用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评定，以及对测量和测量器具的设计和合格评定。三、不确定度的应用领域三、不确定度的应用领域 6 第一节测量不确定度的基本概念四、不确定度的定义四、不确定度的定义测量结果带有的一个参数，用于表征合理地赋予被测量值的 分散性。该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。该参数一般由若干个分量组成，统称为 不确定度分量 该参数是通

4、过对所有若干个不确定度分量进行 和 合成得到。所得该参数的可靠程度一般可用 的大小来表示 方差协方差自由度该参数是用于完整地表征测量结果的 UyY7 第一节测量不确定度的基本概念对被测量的定义不完整或不完善复现被测量定义的方法不理想对测量过程受环境影响的认识不周全对模拟式仪器的读数存在人为偏差引用常数或其它参量的不准确在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化对一定系统误差的修正不完善测量列中的粗大误差因不明显而未剔除在有的情况下，需要对某种测量条件变化，或者是在一个较长的规定时间内，对测量结果的变化作出评定。应把该相应变化所赋予测量值的分散性大小，作为该测量结果的不确定度。五、五、不确定

5、度的来源不确定度的来源 8最终的不确定度要对这些来源，每个来源是一个引起最终结果不确定的原因，称为不确定度的分量，对这些分量或原因进行合成，一般认为这些原因是彼此不相关的。 第一节测量不确定度的基本概念六、六、不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类 A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty） 指用对样本观测值的 进行不确定度评定的方法。 统计分析B B类评定类评定（type B evaluation of uncertainty） 指用 的其他方法进行不确定度评定的方法。 不同于统计分析9 第一节测量不确定度的基本概念七、几七、几个相关的名词与

6、概念个相关的名词与概念 扩展不确定度扩展不确定度（expanded uncertainty） 规定了测量结果取值区间的 ，该区间包含了合 理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U 或UP 表示。 包含因子包含因子（coverage factor） 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k或kP来表示。在国内，有的也其称为 ，其取值一般在2与3之间。 覆盖因子半宽度思考、测量不确定度与误差的联系和区别10第二节标准不确定度的评定11一、一、A A类评定方法类评定方法采用统计分析的方法评定标准不确定度，用实验标准差或样本标准差表示。 单次测量值作为被测量 的估计值 x( )(

7、 )u xs x 单次测量的实验标准差( )s x当用n次测量的平均值作为被测量的估计值 ( )( )s xu xn n次测量的实验标准差( )s x思考、当被测量Y取决于其他N个量X1,X2,XN时，则Y的估计值y的标准不确定度 如何估计？不确定度分量的合成之一，按数学模型合成，这是后话。yu第二节标准不确定度的评定12二、二、B B类评定方法类评定方法 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要 第二节标准不确定度的评定 过去的测量数据 校准证书、检定证书、测

8、试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的参考数据及不确定度值等 测量仪器的特性和其他相关资料等； 测量者的经验与知识； 假设的概率分布及其数字特征。 131 1、B B类评定的信息来源类评定的信息来源第二节标准不确定度的评定142 2、B B类评定的方法类评定的方法 （1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其“置信区间”和“置信水平” ( )pau xk置信区间的半宽度 置信水平的包含因子 p（2）若由先验信息给出的测量不确定度U为标准差的k倍时 ( )Uu xk（3）若由先验信息给出测量结果的“置信区间”及其概率分布 ( )Uu xk置

9、信区间的半宽度 置信水平接近1的包含因子 第二节标准不确定度的评定15几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（1 1）舍入误差）舍入误差 舍入误差的最大误差界限为0.5（末位），按均匀分布考虑，故标准不确定度为 0.5()( )0.3()3u x 末末（2 2）引用误差）引用误差 测量上限为的级电表，其最大引用误差限（即最大允许不确定度）为 mxs( )%mU xxs 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 %( )3mxsu x第一节标准不确定度的评定16几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计7-#7-247-24（3 3）示值误差）示值误差 某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而制造

10、的，经检验合格，其最大允许误差为 a按均匀分布考虑，故标准不确定度为 ( )0.63au xa（4 4）仪器基本误差）仪器基本误差 设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能达到的最大误差限为 a按均匀分布考虑，故标准不确定度为 ( )0.63au xa第二节标准不确定度的评定17几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（5 5）仪器分辨力）仪器分辨力 设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （6 6）仪器的滞后）仪器的滞后 滞后引起的标准不确定度为 x2xa( )0.332 3xxau x( )0.32 3xxu x第二节标准不确定度的评定18设校准证书

11、给出名义值10的标准电阻器的电阻，测量结果服从正态分布，置信水平为99。求其标准不确定度。 【例例1 1】【解解】根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度 129a查表得992.576k计算129()50.0782.576Su R10.00074129sR第二节标准不确定度的评定19三、自由度三、自由度研究自由度的意义研究自由度的意义 由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈 ，标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的大评定质量 不确定度的评定质量标准差的可信赖程度自由度第二节标准不确定度的评定

12、20对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中n个独立测量个数减去待求量个数1。 对某量X进行n次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。 按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由有效自由度度 （或）eff2112( ) ss2112( )uu情形1情形2情形3自由度自由度（degrees of freedom） 计算总和中 ，即总和的项数减去其中受约束的项数。 独立项个数第二节标准不确定度的评定21A A类评定的自由度类评定的自由度 最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式 1n34567891015201234567891419nBessel公式最大误差法极差法1.9

13、2.6 3.33.94.65.25.8 6.46.98.3 9.50.91.8 2.73.64.55.36.0 6.87.510.513.1表表1 1 几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度的自由度 10.9第二节标准不确定度的评定22对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相对标准不确定度来折算。 00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.5050 128632自由度表表2 2相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度与自由度的关系 相对标准不确定度B B类评定的自由度类评定的自由度 第二节标准不确定度的评定23四、应用举例用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10

14、次，得到的测量列如下（单位：mm）75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 ，求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。 【解解】本例估计的是 引起的标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行类评定【例例1 1】重复测量中随机变化思考，这个有样本，可统计，贝塞尔公式，很好210.008250.0303mm110 1niivusn由贝塞尔公式其自由度10 19 思考，贝塞尔公式太麻烦，不想算，用极差法算吧。第二节标准不确定度的评定24按极差法求取极差 maxmin0.09mmnxx查表得， 103.08d则

15、标准差 0.0292mmnnwud其自由度 7.5思考，这是查的什么表？在哪？思考，自由度怎么办？好办，查表，在哪?查表1用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。 懒得算可查表懒人有懒招第二节标准不确定度的评定25四、应用举例四、应用举例某激光管发出的激光之波长，经检定为后来又用更精确的方法，测得该激光管的波长为 ，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。 【例例2 2】【解解】查表1其自由度0.90.63299130m0.63299144m用了更精确的方法测量激光管的波长，故可认为约定真值为则原检定波长的真误差为0.63299144m80.63299

16、1300.6329914414 10 m可用最大误差法进行类评定，因n=1，查表得 111.25k 则标准差即原检定波长的标准不确定度 8711.25 14 101.75 10nuskm思考，仅仅一次测量，怎么计算标准差？第三节合成不确定度26一、一、 合成公式合成公式合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果受 而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。 2112mmciijijii juuuu 第个标准不确定度分量 第和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数 合成标准不确定度 cuijm1u多个因素影响（1）第三节合成不确定

17、度27间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 输出量估计值 的标准不确定度 y 输入量估计值 和 的标准不确定度 ixjx 函数 在 处的偏导数，称为灵敏系数灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数传播系数； 12(,.,)nF XXX12( ,.)nx xxiiFax 和 在 处的相关系数 iXjX( ,)ijx x( )cuy( )iu x()ju x22112211( )( )2( ) ()( )2( ) ()mmciijijiijiijmmiiijijijiijFFFuyuxu x u xxxxa uxa a u x u x（）标准不确定度ij传播公式 第三节合成

18、不确定度28间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 简单的合成公式当 和 相互独立时, ixjx221( )( )mciiiFuyuxx0ij标准不确定度传播公式 第三节合成不确定度29间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 常见的间接测量函数模型常见的间接测量函数模型（1）设 , 各之间互不相关，则有 iiiYa XiX22( )( )ciiiuya ux（2）设 ，各之间互不相关，则有 ipiiYaX2( )( )ciiiiuypu xyxiX 相对标准不确定度的表示形式 ( )cuyy第三节合成不确定度30合成标准不确定度的自由度称为 ， 一般

19、用 来表示。 有效自由度有效自由度eff 设被测量有个影响测量结果的分量， 当各分量均服从正态分布，且相互独立时，其合成标准不确定度的有效自由度。 m441ceffmiiiuu第三节合成不确定度31【例例4 4】 某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度。 来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.51u2u3u4u5ucu12345eff7.8第三节合成不确定度32【解解】2222212345222221.01.01.42.02.

20、03.5cuuuuuu根据题意，按公式（1）计算合成标准不确定度 有效自由度4444443.57.81.01.01.42.02.05104161effv第三节合成不确定度33【例例5 5】被测电压的已修正结果为，其中重复测量6次的算术平均值=0.928571V，A类标准不确定度为 。修正值 ，修正值的标准不确定度由B类评定方法得到，估计的相对误差为25%。试求V的合成标准不确定度、相对标准不确定度及其自由度。 VVVV( )12u V V0.01VV()8.7uVV【解解】由合成标准不确定度的计算公式得 22( )( )()128.715cVVu Vu VuVVV （）V第三节合成不确定度34

21、7-#自由度( )6 15V 查B类评定自由度表得 ()8V444444( )15( )10.4( )()128.7( )()58cuVVu VuVVV有效自由度 相对标准不确定度为 66( )15 1016 100.928571 0.01cu VV思考，合成标准不确定度是个绝对误差范围，而相对标准不确定度（合成标准不确定度比上最佳估计值），类似于相对误差的形式，类比之，可用来衡量不同测量方法的精度关系？第三节合成不确定度35【例例6 6】测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，各重复测量5次，得到如下表所示的数据，相关系数=0.36，试根据测量值，求阻抗R的最佳值及其合成标准不确定度。 5

22、.007次数123454.9945.0054.9904.99919.63919.663电位差幅值V 电流幅值mA 19.64019.68519.675第三节合成不确定度36【解解】因为有样本，所以最佳估计值以算术平均值表示了，标准差也是算术平均值的标准差。有电压电流两个参数，都需要。114.999VniiVVn1119.6604mAniiIIn211( )0.0072V1niiVV Vn（）( )( )( )0.0032VVu VVn211( )0.0206mA1niiIIIn( )( )( )0.0092mAIu IIn第三节合成不确定度37电阻的最佳值为 4.999254.26719.66

23、1VVRImA合成标准不确定度 2222( )( )( )2( ) ( )0.2342cRRRRu Ru VuIu V u IVIVI相对标准不确定度为 224( )( )( )( )0.729.2 10cu Ru Vu Iu Vu IRVIVI （ ）第四节扩展不确定度38一、概述扩展不确定度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 cUkuppcUk u 在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测量结果的分散性，但在许多领域，常要求用扩展不确定度来表示 cu合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平p脚标表示第四节扩展不确定度39二、包含因子的确定方法自由度法简易法 扩展不确定度

24、表示方法中，关键是确定包含因子第四节扩展不确定度40自由度法自由度法 ()ppeffktv 有效自由度 置信水平，常取95%或99% 扩展不确定度近似按下两式表示 959923ccUuUu包含因子可取为 effvp当 足够大时, 或 effv952k993k第四节扩展不确定度41【例例7-77-7】7-#7-557-55设，输入量、服从正态分布，分别用独立重复测量了=10、=5、=15次的算术平均值、和作为它们的估计值，相对标准不确定度分别为=0.25%、=0.57%、=0.82%，试计算相对合成标准不确定度、有效自由度和扩展不确定度（置信水平为95%）。 【解解】根据合成标准不确定度的计算公

25、式，得 231222( )( )(0.25%)(0.57%)(0.82%)1.03%ciiiuyu xyx123123(,)Yf XXXbX X X1X2X3X1n2n3n1x2x3x11()u xx22()u xx33()u xx第四节扩展不确定度42由于 ( )( )iiiifyu xu xxx则根据有效自由度计算 4444444444333111( )( )( )1.0319.0() ( )/0.250.570.82( )10 15 115 1ccceffiiiiiiiiiiiuyyuyuyvuyu xxfu xvvxv查t分布表得 95192.09t（ ）最后得相对扩展不确定度 952

26、.09 1.03%2.15%Uy第四节扩展不确定度43简易法简易法 不知道自由度和有关合成分布的信息，被测量值的估计区间及其置信水平。 怎么办？取包含因子k=2或3 简易法第四节扩展不确定度44【例例9 9】用卡尺对某工件直径重复测量了三次，结果为15.125，15.124和15.127mm。 试写出其测量的最佳估计值和测量重复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为0.025mm，假设测量服从三角分布（置信因子取 ），估计其不可信赖程度为25%。试表示其测量结果。 6【解解】（1）计算算术平均值和测量重复性 311115.125 15.124 15.12715.12533iiddn

27、（）因，用极差法估计s，有 3n 15.127 15.1240.00181.693s第四节扩展不确定度45（2 2）用）用A A类评定方法估计测量不确定度分量之一类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均值的标准偏差，即多次测量的重复性 10.00180.0013u （3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二 20.0250.0156u （4）求合成标准不确定度 220.0010.0150.015cu 合成不确定度的计算第四节扩展不确定度46求扩展不确定度 其不可信赖程度为25%，卡尺允许误差极限分量的自由度查表为 18重复测量分量的自由度为 23 12 则有效自由度 4440.015

28、80.0010.01528v 扩展不确定度 999983.355 0.0150.049cUtu（ ）第五节测量结果的表示方法47一个完整的测量结果 被测量的最佳估计值，一般由算术平均值给出 不确定度第五节测量结果的表示方法48测量测量结果报告的结果报告的基本基本内容内容 测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定度 cu自由度 测量不确定度用扩展不确定度表示 扩展不确定度U 合成标准不确定度 cu自由度 包含因子k置信水平 p第五节测量结果的表示方法49合成标准不确定度表示方式合成标准不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值 合成标准不确定度 ，自由度 100.02147gm

29、 ( )0.35mgcu m 9(1)100.02147gm ( )0.35mgcu m ，或( )0.00035gcu m 9，(2)100.02147(35)gm 9(3)100.02147(0.00035)gm 9M括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样有效数字一般不超过两位第五节测量结果的表示方法扩展扩展不确定度表示方式不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度 ，自由度100.02147gm ( )0.35mgcu m 9M2k ( )( )0.00070gcU mku m包含因子，扩展不确定度 (

30、)(100.021470.00070)gMmU m2k 9100.02147gm ( )0.00070gU m 2k 9或包含因子(9)2.26,0.95ppktp( )( )0.00079ppcUmk u mg扩展不确定度简易法不用给相应的置信概率自由度法需要给出置信概率并查表第五节测量结果的表示方法51扩展扩展不确定度表示方式不确定度表示方式 95( )(100.021470.00079)gMmUm100.02147gm 95( )0.00079gUm ( )(100.021470.00079)gMmU m或或(9)2.26,0.95ppktp(9)2.26,0.95ppktp2.26k

31、90.95p第五节测量结果的表示方法52数字数字位数与数据修约规则位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位当保留有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。0.001 001 0.001 第五节测量结果的表示方法537-#7-727-72多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原则进行舍弃截断或进位截断。 (2) 被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000 54 0.001 2 20.000 5 20.000 56 0.00

32、1 2 20.000 6 20.000 55 0.001 2 20.000 6 四舍六入逢五取偶第五节应用实例54一、测量不确定度计算步骤1 1）列出主要分量）列出主要分量2 2）确定数学模型，计算）确定数学模型，计算各分量的传递系数各分量的传递系数3 3）评定标准不确定度分量，给出自由度）评定标准不确定度分量，给出自由度4 4）分析各相关系数）分析各相关系数5 5）求）求u uc c和自由度，若有必要，给出展伸和自由度，若有必要，给出展伸 不确定度不确定度U U6 6）给出不确定度报告）给出不确定度报告第五节应用实例55例1：测某一圆柱体的体积？由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和

33、高度h各6次，数据如下：1. 1. 计算计算D D、h h的平均值，求的平均值，求V V的的估计值估计值？348 .8062mmhVD2. 2. 不确定度评定不确定度评定第五节应用实例56（1）D的测量重复性引起的标准不确定度分量hDDVmmuDD,0048. 0因 516,77. 0131mmuDVuD1u（2）h的测量重复性引起的标准不确定度分量2u4,0026. 02DhVmmuhh则因516,21. 0232mmuhVuh第五节应用实例57（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量3u（仪器说明书：测微仪的示值误差范围 ）mm01. 0取均匀分布， 则mmu0058. 0301. 0

34、仪322304. 1mmuhVuDVu仪仪设相对标准差 ，对应的自由度4)35. 0(2123%3533uuB类第五节应用实例583、不确定度合成因0ij，则体积测量的合成标准不确定度32322213 . 1 mmuuuuc其自由度为8,86. 73144取iiicvuu第五节应用实例594、展伸不确定度取置信概率P0.95，8查t分布表得包含因子31. 2)8(95. 0tk于是，体积测量的展伸不确定度为第五节应用实例605、不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果。86. 7,3 . 1,8 .80633mmummVc2）用展伸不确定度表示测量结果。8,95. 0,)0 . 38 .

35、806(3PmmV其中， 符号后的数值式展伸不确定度30 . 3 mmkuUc由合成标准不确定度 及包含因子 确定。33 . 1 mmuc31. 2k第五节应用实例61例2：电压测量不确定度计算 测直流电压源的输出电压：标准条件，标准数字电压表，10次，测得值（V）：10.000107, 10.000103,10.000097,10000111, 10.000091,10.000108, 10.000121,10.000101,10.000110, 10.0000941、计算电压估计值 10.000104VV2、不确定度评定（1）标准电压表示值稳定度引起的标准不确定度分量已知24h内该测点的示值稳定度不超过 ，取均匀分布，则V15第