线性代数课件吕丹4-1

1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合一、向量的概念一、向量的概念二、向量的表示法二、向量的表示法四、四、 小结小结 思考题思考题 作业作业三、三、 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义1 1 . , 21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、 维向量的概

2、念维向量的概念n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21ntaaaa naaaa21 二、二、 维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ttttba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两

3、个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量. rxxxxxxxrnnnt ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnt 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面rnn1 n4.确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数p(x,

4、y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明需要用向量来进行描述，请同学们举例说明，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkka,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211m

5、mkkk 线性组合线性组合三、三、 向量组及其线性组合向量组及其线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmba ,: 2121. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示ba.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bbaabmm 定理定理1 1定义定义 . .,:,: 2121这两个这两个能相互线性表示，则

6、称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组baabbasm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价ba使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbabbbbba mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ .

7、 )(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijsmkk 矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若bacbacnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ tsttmsmmsstmttaaaaaaaaa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，abc,向量的表示方法：行向量与列向量；向量的表示方法：行向量与列向量；3 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用向量在生产实践与科学研究中的广泛应用四、小结四、小结 维向量的概念，实向量、复向量；维向量的概念，实向量、复向量；n4 向量组及其线性组合向量组及其线性组合若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例举几例, ,说