数值计算及其软件实现测验题

1、中南林业科技大学硕士研究生课程测试试卷得分：课程名称：数值计算及其软件实现学号:22010215评阅人：考生姓名：程学良日期：任课教师：李立君测试时间：2011-10-10一、简答题(20分)1、(a+b)+c=a+(b+c)在数值计算中是否总成立？为什么？答：不一定，因为加法运算在数值计算中当数量级相差很大时，如不注意运算次序有可 能出现出现大数吃掉小数的现象。2、对什么类型的方程组用高斯消元求解时不需选主元？答：当方程组系数矩阵为对称正定矩阵时，用高斯消元法计算是数值稳定的，不需选主丿元。3、什么叫龙格(Runge)现象？答：对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。

2、例如，考察函数f(x)=1/(1+x 2)，-5 x 5,设将区间-5,5分为n等分，Pn(x)表示取n+1个等分点 作节点的插值多项式，当n增大时,Pn(x)在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。4、9-780=匸在数值计算中是否总是对的？为什么？9 中丁80答：不一定。因为在计算机中9 -一 80和9+ 80数值计算只能近似表示，像等式左边那样 两相近数相减时，如设定精度不当，有效数字会严重损失，导致其并不等于等式右边的计算 结果。5、在插值区间上，是否插值节点越多，计算结果越精确？为什么？答：不是。随着插值节点的增加，插值多项式的次数也在相应增加，而高次插值多项式 效果并不理想(一

3、般以不超过 6次为宜)，节点的增多当然能使插值函数 P(x)在更多地方与 f(x)相等，但是在两个节点之间P(x)不一定能很好地逼近f(x),有时差别很大(龙格现象)。6、何为定步长求积公式？何为变步长求积公式？ 一般在数值求积中，采用前者还是后者？答：将区间a,bn等分，步长为h=(b-a)/n，分点为Xk=a+kh(k=0,1,2,，n),以此分点 为节点，构造插值型求积公式，这种方法为定步长求积公式，若要求达到某个计算精度，则 必需选取适当的步长，这不是一件很容易的事情，在实际使用中，经常采用自动选择积分步 长h的方法(变步长求积)，即在求积分的过程中，将步长逐步折半，反复利用复合求积公

4、式， 直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许的误差为止。7、 在计算机上按公式 x=0, Xi=xM+0.001(l=1,2,3,，1000)，计算Xi。，是否必得 xiooo=1O ?为什么？答：不一定。因为在数值计算中有时数量级相差很大，而计算机字长有限，如不注意运 算次序就有可能出现大数吃掉小数的现象，影响计算结果的可靠性。8、写出求最小二乘拟合多项式的计算步骤。答：描草图；(2设拟合曲线方程;(3)建立正规方程组;(4)解方程组。9、写出复化辛普生求积公式和复化梯形求积公式的关系式1答: 5弓仏F (其中为复化辛普生求积)dhn42其中，3(%-皿才)鳥2)2：严)他h=;f(a)

5、2 f (xQ f(b)2k =110. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp, yc分别为(D ).Ap =yk +hf (Xk,yQ yc =yk +hf(Xk 册 yk)/a、 Yp = yk +hf (X2，yk)(B)丿yc = yk +hf (Xk,yp)(D)Ap =yk + f (Xk, yk)yyk f(Xk, yp)bp = yk +hf (Xk,yQ yc = yk hf (Xki,yp)、(30分)设有线性方程组x1 x x 0 ,1、用高斯消元法求解Ax=b;2、用一般迭代法求解Ax=b；3、用雅可比迭代法解 Ax=b；4、用高斯赛德尔迭代法 解A

6、x=b；5、用超松驰迭代法解Ax=b；取初值向量 x(0)=(0, 0, 0, 0) T.写出源b=1,0,1要求：写出每一中方法的迭代格式，并用任一种语言(matlab,fortra n,c,etc.)程序，同时写出流程图。解:线性方程组Ax=b,其中系数矩阵A=4,-2,0;1,1,-1;1,2,-1, 右端列向量1.高斯消元法的MATLABS序Fil Eai t Debag Di atri butfrd Desktop Wanddiw KelpQ | M Rh l 町 4 |冋I 园 | 飆 | Currsnt DirtctgFX；$Coskmaiid ViiidoShortcuts Z

7、 Mot to dd Z1 Whatr s Newi* X AF,0;b h-1; lt2,-1 ,b=mg 1h ; xCauss (Aj b)4.DODO-2. ODOOcix oo oa1. DOOD1, 5000-1.0C0&-0. 2500i. omro2. bQOQ-L0U00J. 75 0U4. DO 00-2; 0UQQQ1,OQQQ1. DODO2. 5000-1. 00000, 75001. 0000i 50(ra-0+400G-0+ 700G0 76001. 00001- 7500流程图1ATLAB T* 5. 0 (EL2007b)Eil* EdiI Du Diitri

8、luttd H4kt4p Eiidew 肝lp*已I 专 叫顷画|锄| CurTHit Diractux： | F:lh文眸園Q 鱼Shortcuts 0 Hm * Add 迥 HhW e Vt且忖i讨L: i)屮i 匚殆aaaid WindovG Editor - F:I-文杵dd”*il- Edit XkI sll Toli Dfiuc Qssktop f i ndw 哼e|场|乩*归盂 尊I遛邂塀IL。* i + h“ 卜丨疇班IU1 function x, k =dd (扎 bf epf N)2 3滋一般迭代法解线性方程组总二b3 SKddU, bj KO, epsN) ? A為系数矩

9、阵，b曲右端向琵4 第血为送代初11，为稽度.k为迭代次数上限5 -n=lensth(b) ;k=D;6 -if narsin5jiN=50ID ; end7 一if nargin4j ep=le-4|; end8 一if narginep4k1.0,1F ; kG= 0,0 ; 0 ;ep=le-4; Lhj k =dd (Aj b, k Q, epj 500)1. Oe+3 95 *-5. 1454-J.370060 0tin i 酬 iiurii JHFile gbit Debug Di stributd Desktop Window HlpCijrr ent Direct or： F

10、:训-文件ShartEuls 世Haw t Add _ Wkat 5 NwC Editor - F：t-文件Ijcobif- Cammand VindowFile Edi t Text Go Cell Taols Debu Desktop Window Help1 aBt 7口叵f谓谓0. 2500Q-0, 999916 -20 21 -2 -function xfk = jacobif (A3 bsOj ej)j N)廉聊仔番形式jx d也迭代法解鍵性方程遇站北sj k =jacobif (Af b3 kG, ep310 ?止为系数拒阵，b齿右端向童，孟为返回解 触碣送代初11，即为精瓦k为

11、迭代次數上限n=length(A);k=0;if nargin5 N=500;endif narin ep=le-6: endif narginep4kE k=ik+l ; z=k0 ;for i=l:ny(i)=b(i)for j=1:n-M ! V It J =1jr(i)=y(i)-A(ij j)*xO(j);endendif abs (Ad, i),returnend0. 250001.0000LG00G0-0+9990Earning: AU, i)太小 In iacob辻就 F9L 0e-004 *endendK=7.0.2000o. 20000.2000流程图4.开始,YES输入

12、A,b,xO,epk=0,x=x0y(i)=y(i)-A(i,j) X x0(j)NOk=k+1kep&输出x, k结束高斯赛德尔迭代法向量形式的 MATLABS序迭代格式：i -1nXi(k1) =(bi-、aijXj(k1) -、aijXj(k)/a , i=1,2,，n;k=0,1,2,- j#j=t+Eil K*wWork ziTjiire*口庐 X qh and 曾ijdQ誓 A=4,-2；D;lf b*l；bZ 1】；b=L OUF ； X| k=gaussseiclel （& b, 0f Qf 0 le-6） n =Taming:已达迭代上限次数 In gauMMseidjel

13、art 15I. Oe+125 *-0. 4205-1. 477-3.4163k 二5005.超松弛迭代法分量形式的 MATLAB?序迭代格式：xF 1）二 Xi（b -、aij Xj（k 1）aiij 斗n-Zj廿aj Xj（k） , i=1,2,，nATLAB 乳乩 0(lt20D7b)摄E昌Cwrrmt Directory：F:讪-文件Vr)富File Edi t Debug Distributed Desktep Window HelpSh口rAw轩 因Mi 刃 Ih.r t Ft*Cosuiand Vindotr 耐 scI File Edi t lext血 ell Tols Deu

14、g desktop Window Jjelp? XIo已P |皐i 巧e遵目桓r匚M _ *壬tl谒-l.o+t i*. ”S Editor - F: M-ZSCftVser. * kj k =sor (Ap bj 1. 45 Qs 0 0 leS)123456 _7 _8 _9 _10 _11 _12 _13 _14 _151615 _16 _17 _18 一21 一22funct ion lx, k -sor (扎 b. omegaj x0, epf K)s雾分量理式他礎代法解绘性方程组血勿%【瓦k=sor (& ti, omega, xO, ep,M),盘为系歎矩阵，b曲右端向蛍屜力癒回

15、解旬量，孟。为迭代朋佩即対精處砒迭壮次数上限-肮meg疑松弛因子一股取13之间的数n=length(b)ififififnargin6 N=500;end nargin5 ep= le-5r; end.narginepftk In sor at )9l,0e+213 *-0.1325-0.5698-1.578C500流程图开始k=k+1;x0=x输入 A,b, 3 ,x0,epk=0(xO-x)ep&kN输出x,kx(i)=(1-omega)*x0(i)+omega* x1(i)结束(15分)用牛顿迭代求解1-xvi nx=0在0,1内的根，要求写出迭代格式，用任一种语言(matlab,for

16、tra n,c,etc.)写出源程序，并写出流程图，选取使迭代收敛的初值并计算求解：因为，所以迭代公式为选取初始近似值,牛顿法的MATLAB?序:K4-XCoAiiiakiep&kNx=xO-feval(fname,xO)/feval(dfname,xO)(15分)已知观则数据结束x19253138441932497397y.0.3.0.3.8，求拟合函数P(X)=C0+GX2要求：用任一种语言(matlab,fortra n,c,etc.)写出源程序。解：编写曲线拟合最小二乘法的 Matlab程序，运行过程如下:BiTLAB 7,5.0 (R2007b)File Edi t Debug i

17、.5 tri billed Desktop Wiriidow Help| *9鬱 Cvrrmt Directon； | F:jTf牛 |Shortcuts | Now to Add f WhN s NewWorkspaceCtiwaiartd 管irtiiQif x=19 25 31 3S 44b 19. 0 32. 3 49. 0 73. 3 97.8, it (x, y 1)ans =0- 05000.9726即拟合函数为：五、（20分）经典四阶Runge-Kutta公式为：17+令（龟+2尽+2禺+&）& =/（如,九）K2 =f（xK +y,y + yKJK厂心+今m+号KJK斗=/(

18、xfl+hKJ请用它求解下列初值问题：卜=I / (； 01 0 , I 说=! 一 I /i,r 0, 11jii( 0 ) = i(0 ) = 1取步长h=0.1。要求：写出源程序并给出流程图。流程图0开始y( n+1)=y( n)+h*(k1 +I 2*k2+2*k3+k4)/6k1=f(t1,y1)k2=f(t1+h/2,y1+(h/2)*k1)输出 t,ySWtduU 回 Hdw 4a MA a 帕3VorkspacesH- f XCoiuiand Windovr S Editor F: B 文ft RmicKutt a4. &问医t#y=RujiigKutta4 (idyfuri. 0lf 0k IfFile Edi t T tail Gb Cftll TmL星 Ds-hla y RunEKutt a4 (dyfwii-sparj yO* h)0. UOQ2i:乌凹附RongLKutta弗试語常岚分方程o.2aoa3% t j y-Rim：Kutta4 (djrfutlj t 印叫 yO. h)0. 300D号Kdyfw泊函數f (t,y