人教版高中数学必修第二册同步讲解第8章《8.6.3平面与平面垂直》(含解析)

1、8.6.3平面与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ或P

2、ABQ.(5)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是0180.思考1：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：(3)记作：.(4)判定定理：文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l，l思考2：两个平面垂直，则一个平

3、面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面3平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线思考3：如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？提示正确若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线1如图所示的二面角可记为()AlBMlNClMNDlB根据二面角的记法规则可知B正确2已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个 B有两个C有无数个 D不存在C经过l的任一平面都和垂直3平

4、面平面，直线l，直线m，则直线l，m的位置关系是 相交、平行或异面根据题意，l，m可能相交、平行或异面4如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于 90PA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.所以所求二面角的大小为90. 二面角的计算问题【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值 解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD.由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是BCD的重心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cos

5、AMB，即二面角的余弦值为.1求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小证明因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC.又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD.因为AD平面

6、ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC. 证明(1)法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在Rt

7、ABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另

8、一个也垂直于此平面2如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD.证明连接AC，设ACBDO，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC.因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.面面垂直性质定理的应用【例3】如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC. 求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又

9、PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.1证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线3如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.证明平面VAB平面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB，BC平面ABCD.BC平面VAB，又VA平面VAB，

10、BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC，平面VBC平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用探究问题试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：【例4】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.思路探究(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面A

11、BC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小解如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN中，由知B为CN中点，CBBN2a.ABN中，

12、ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA.又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，NAAE，NAAC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45.垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题1求二面角大小的步骤 简称为

13、“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决3面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行B可能重合C相交且垂直 D相交不垂直C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角 B相等C其和为周角 D互为补角D画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是()A BC DDl，l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确4在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于 45根据正方