直线倾斜角、斜率、斜率公式

1、直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法承接上次课：倾斜角：当直线l与x轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 关键：直线向上方向；X轴的正方向；小 于平角的正角.注意:当直线与X轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为0度.斜率：一条直线的倾斜角（-）的正切值叫做这条直线的斜率.记为k tan .当 （0, ）时，k 0, k随 的增大而增大，k也随 的增大而增大；2当（一，）时，k 0, k随 的增大而增大，但k随 的增大而减小；2当 0时，k 0;当一时，斜率不存在。2斜率公式：已知直线上两点P（Xi,yJ,P2（X2,y2）（Xi X2

2、）的直线 的斜率公式：k建丄.X2 X例题1：如图，图中的直线li、l2、l3、的斜率分别为ki, k 2 ,k 3,则（D ）A. k i k 2 k 3 B. k3 k i k 2 C. k 3k2 k iD. ki k 3 k 2例题2:若经过P (-2, m和Q(m 4)的直 线的斜率为1,则m= ( A )A、1B 、4 C 、或 3 D 、1或4例题 3:若 A (3, 2), B (-9, 4), C (x, 0) 三点共线，则x= ( B )A、1B 、一 1 C 、0 D 、7例题4:直线经过原点和(一1, 1),则它的倾 斜角为(B )A 45 B 、135 C 、45 或

3、 135 D 、45例题5：若经过点P ( 1 a , 1+ a )和Q( 3, 2a ) 的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围.解：(-2,1)学习小结:1任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜 角的范围是 0,180 ).2. 直线斜率的求法：利用倾斜角的正切来求； 利用直线上两点 Pi(x”yi),P2(x2,y2) 的坐标来求；当直 线的倾斜角 90时，直线的斜率是不存在的-3 直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关 系：直线 的倾 斜角直线的 斜率k直线的 斜率公 式疋义k tanky2y1x2x1取 值 范 围0,180 )(,)(X1X2)题型一：已知两点坐标求直线斜率例题

4、1:经过下列两点直线的斜率是否存在，若 存在，求其斜率(1)(1,1) , (-1,-2)(2) (1,-1), (-2,4)(3) (-2,-3), (-2,3)(1)k5 k 3（3）不存在题型二：求直线的倾斜角例题2:设直线L过坐标原点，它的倾斜角为 ， 如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转45，得到 直线Li那么Li的倾斜角为（D ）A.45B. 135C. 135D. 当 0,3 ）时，为45 ;当 -，），为 13544例题3:变式：已知直线Li的倾斜角为，则Li 关于x轴对称的直线Li的倾斜角=当（0,），当 0，0题型三：斜率与倾斜角关系 例题4:当斜率k的范围如下时，求倾斜角的

5、(1)k1(2)k1(3)3 k(1)0，2)34,)(2)【0盲】(2)(3),匚(23)33变化范围:.3题型四：利用斜率判定三点共线例题 5：已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(-4,2a)在同一条直线上，求c a的值。a2 或 a一2利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率 用两点式计算斜率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9-2a2+11a-5=92a2-11a+14=0(2a-7)(a-2)=0 a=7/2 或 a=2题型五：平行于垂直的判定 例题 6:已知 A（ 1, -1），B（2,2），C（3,0） 点，求点设D点坐坐标,使直线

6、cd ab,且CB/AD.kAB 3,kCD 兀,kAB kCD 1HkBC2, kADkBC得372x yD(0,1)题型六：综合应用例题 7:变式：若三点 A(3,1 ) ,B(-2,k), C(8,1 )能够成三角形，求实数k的取值范围。解：能够成三角形则不能共线AC垂直y轴是y=l则k工1例题&已知两点A (-3,4 ), B (3,2 ),过点P (2,-1 )的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围(2f-l)的直线JL与转乩D有公共点二直囲的無尊次円咸卜円r申的斜率为丄4 =z=-l r劲的斜率为土=2 3-) M5 3- 1二貢线1的斜率池；或込4故答棄为：凰3或

7、Z -1 .例题1.下列命题正确的个数是(C )1)若a是直线L的倾斜角，贝y 0 a 180 2 )若k 是直线的斜率，则k R3)任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率4 )任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角A. 1B.2C.3D.4例题2.直线L过(a,b), (b,a)两点，其中a b,ab 0 则 (D )A.L与x轴垂直 B. L与y轴垂直C.L 过原点和一，三象限D丄的倾斜角为135例题3.已知点a(i,i M),b( 1,1),直线L的倾斜角是直 线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为(B)A.1BilcV3D. 不3存在例题4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角 为a,斜率为k，贝

8、V ( B )A.ksi na 0B.kcosa 0C.ksi na 0D.k cosa 0例题 5.若 A(1 a, 5),B(a,2a),C(0, a)三点共线，则 a= 2例题6.已知四边形ABCD勺顶点为A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5),求 m和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形。A(86,25),A(,9)13 1355解：有两种情况1、AB/CD 角 A=90=t D(5-3) / (2-3 ) =(n-1)/(m-6) 2m+n=13 (n-5)/(m-2)=1/2 m=18/5n=29/52、AD/BC 角 A=90=角 B(n-5)/(m-2)=

9、(3-1)/(3-6)=-2/32m+3 n=19(n -1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13n=25/13两直线平行与垂直的判定：平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行， 那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相 等，则它们平行，即l1/l2 k,=k2-垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直， 则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜 率互为负倒数，则它们互相垂直k 丄即卩 li I2k2 ki k2 1学习小结：1 . I,l2 k, k2或1,2的斜率都不存在且不重合2.1,12 k,g21或k, 0且I2的斜率不存在，或k2 0且I,的斜率不存在直线的点斜

10、式方程：直线的点斜式方程：已知直线I经过点P(xo,yo)，且斜率为k，则方程y yo k(x沟)为直线的点斜式方程直线的斜截式方程：直线i与y轴交点(o，b)的纵坐标 b叫做直线l在y轴上的截距直线y kx b叫做直线 的斜截式方程例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是 _2x-5y=0 或 y-2=-(x-5)_ 例题2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距9的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线 的方程。直线的两点式方程:直线的两点式方程：已知直线上两点P(Xi,X2),P2(X2,y2)且 (Xi X2,yi y2),则通过这两点的直线方程为y 射y2yiXX2

11、XiXi(XiX2,yiy2),由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程 直线的截距式方程：已知直线I与x轴的交点为 A(a,0),与y轴的交点为B(0，b)，其中a 0,b 0 ,则直线I的 方程-y 1叫做直线的截距式方程.a b3 例题1、已知直线i经过两点y 2 2(x 1)P(1,2),P2(3,5),求直线I的方程.例题2、已知两点卩1(兀以2),卩2亿2)其中(X1 X2, y1 y2), 求 y y y2 y1 (x X)通过这两点的直线方程。例题3、已知三角形的三个顶点 A(-5，0)，B( 3, -3)，C( 0，2)，求BC边所在直线 的方程，以及该边上

12、中线所在直线的方程。解： 5x 3y 60,x 13y 5 0直线BC:(y + 3)/(y - 2) = (x 3)/(x 0)即 5x+ 3y 6= 0直线BC的中点坐标：x = (3 + 0)/2 = 3/2y = ( 3+ 2)/2 = 1/2即点(3/2, 1/2)直线BC边中线所在的直线方程：(y 0)/(y + 1/2) = (x + 5)/(x 3/2)即 x + 13y + 5= 0学习小结:1.直线方程的各种形式总结为如下表格:直 线已知条直线使用范围名 称件方程1兀厂口 i Ls占 八、 斜 式R(x1,y1),ky y1k(X 儿)k存在斜 截 式k, by kX bk

13、存在两 占 八、 式(X1, y1)(X2, y2)yy1xX1y2y1X2xXX2y1y2截 距 式a, b仝y 1 a ba 0b 02.中点坐 标公式:已知A(x1,y1),B(x2,y2),贝卩AB的中点M (x,y),则X2 xiy2yiX hy 丁例题1、过点P(2，1)作直线1交X,y正半轴于AB 两点，当|PA|PB|取到最小值时，求直线1的方程.(2: y-l=k(x-2 ) f 廿别令戸。f x=0 . SA(2-i r 0) , B(0 , l-2k), 则|PA卜|PB|= (4+4k2)(14) = &+4(k2 + )4 F)k2 k2当且仅当以f 9k=lM ,

14、|PA卜|PR|取最小值r又vkcO ,/.k-1 ,逮时I的方程为x+y-a=O .直线的一般式方程:直线的一般式方程 方程,C简、/不同关为0）线次般程例题1、在方程Ax By C 0中,A? B, C为何值时, 方程表示的直线（1）平行于X轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合B=0 且 AM 0B=0 且 AM 0且|：0)A=0 且 BH 0 且 CM 0 (2) 且 C(3) A=0 且 BM 0 且 C=0 (4) 例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且 化成一般式：斜率是2，经过点A(8, 2)；经过点B(4,2)，平行于x轴； 在x轴和y轴上的截距分别是|

15、,3 ；经过两点 Pi(3, 2),Pi(5, 4).解：(1) y |x 2；x 2y 4 0(2) y 2;y 2 0(3) 2x 3y 1;2x y 3 0(4) 山 3 ； x y 1 0v 7 2 2两条直线的交点坐标： 已知方程组 A ix + By + C=0(1)Ax + B2y + G= 0(2)当A, A, Bi, B2全不为零时，方程组的解的各 种情况分别对应的两条直线的位置关系 解：在直线上另(1)X B2( 2)X 8得(AB2 AB) x=BC2B2C1、当AB AB疋0时，方程组有唯一解，相交： 且当aa bb2时，两直线垂直2、当AB AB=0, BC2 B2C

16、工0时，方程组无 解，平行3、当AB AB=0, BG BC=0时，方程组有无 穷多解，重合例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相 交，求出交点坐标：(1) l i: x y = 0，12: 3x + 3y 10 =0(2) 11： 3x y+ 4= 0，1 2： 6x 2y= 0(3) 11: 3x+ 4y 5= 0，1 2： 6x + 8y 10= 0解：(1)相交交点坐标|,| ；3 3(2) 平行，无交点(3) 同一条直线，无穷多解例题2、求经过两条直线x+2y 仁0和2x y 7=0的交点，且垂直于直线x+3y 5=0的直线方 程解：解法一：解方程组2x y 70得 x 3x 2

17、y 10 y 1这两条直线的交点坐标为（3, -1 ）又直线x+2y 5=0的斜率是1/3所求直线的斜率是3,所求直线方程为y+1=3（x 3） 即 卩 3x y 10=0解法二：所求直线在直线系2x y 7+入（x+2y 1） =0 中经整理，可得（2+入）x+（2入1） y 入7=03解得入=1/7因此，所求直线方2 1程为 3x y 10=0两点间的距离：两点之间距离公式：已知平面上两点沿孑腺化小）, 贝y RP2 J（X2 xj2 对2 yJ2 .特殊地：P（x,y）与原点的距离为op .点到直线的距离:已知点Pgy。）和直线l：Ax By C 0 , 则点P到直线l的距离为：d Av

18、注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外 一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式 平行线间的距离：已知两条平行线直线l1 Ax By C10 ,|2:AX By C2 0，则Il与l2的距离为d黔注意：应用此公式应注意如下两点: 方程化为一般式方程；(1)把直线使x,y的系数相等.例题1、已知点P(X, 点P到直线沖勺距离.例题2、已知点P(xo, 点P到直线的距离.yo），直线 I : Ax+C=Q 求X。（*例题3、已知点P(xo, 求点P到直线的距离.|Ax。By。dyo），直线 I : Ax+By+C=0yo），直线 I : By+C=Q 求 yo （ CB）l : 3x 4y 250245例题 4 、点 P(3