数学建模--短程赛跑中运动员速度变化情况

1、短程赛跑中运动员速度变化情况摘 要本文就讨论“短程赛跑过程中速度变化情况”的问题参考了Keller的赛跑模型建立了动态优化数学模型.在赛跑路程确定的前提下，通过利用最优化原 理，建立动态规划模型对运动员在短程赛跑过程中速度与时间的关系进行了讨 论，得到在赛跑过程中速度受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响， 并假定冲力 满足微分方程关系式，内外阻力I与速度成正比针对问题一，根据已知条件求解微分方程，并根据牛顿运动第二定理得出速度b关 于时间t的表达式为v(1);路程宮满足的表达式为ki)；再通过MATLAB对问题二表 格中的数据进行非线性拟合，求解出运动员在赛跑过程中达到最大速度的时间为

2、 最后由已求得的数据得出速度 关于时间|的最终表达式 询$，并利用MATLAB的plot函数作出了 . I的示意图，发现在赛程的进行一段时间后，运动 员的速度能达到极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运动员的速度会越来越慢，较符合实际情况；针对问题二，将表格中的数据逐个代入到速度关于时间的最终表达式.中，即可算出速度-的理论值，再将理论值与实际值进行比较、总结，得到最终表格， 并发现理论值与实际值的误差很小，说明得出的理论表达式较为准确.关键词跑步速度阻力系数最大冲力冲力限制系数非线性曲线拟合问题重述经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高

3、速度后不 可能持续发挥自己的最大冲力假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足 監二抵是冲力限制系数，f(U) - F为最大冲力问题：(1)试建立模型求出短跑比赛时速度 和距离-的表达式，及达到最高速度的时间，作出.I的示意图.(2)某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中达到距离、处所用的时间和当时的速度如下表所示(平均值)：s(m)05152535455565758595t(s)0v(m/s)0试从这组数据算出的理论值与实际数据比较.你对这个模型有什么解释和评价问题分析运动员在赛跑过程中速度由于受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影 响，会随着时间的变化而变化在距离一定的前提下，运动员身体所

4、能提供的冲 力越大，受到的内外阻力越小，则赛跑过程中所能达到的最大速度越大， 成绩越 好冲力的能量来源主要是呼吸作用产生的能量以及人体储存的能量，前者可以假设保持一定，而后者会随着时间的增加而不断消耗， 因此在赛跑时运动员的冲 力会不断减小，同时内外阻力会随着速度的增加而增加，由此可以得出在赛跑过 程中的速度随着时间的变化先增大，在达到最大速度之后则会有所减少在讨论 问题过程中，认为阻力与速度成正比，运动员的质量为单位质量针对问题一，由于运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足的微分方程已知，可 知等式两边关于自变量L积分求出冲力板1)关于时间t|的关系式；运动员在赛跑过程 中的内外阻力h满足h

5、= ;贝U根据牛顿第二定理 尸台=加=刑号,即可求出运动员 比赛时速度|v关于时间t的表达式尿)；再根据t =扌，对关于I积分，即得距离s关于时间的表达式厂|;由于得到的表达式.是关于自变量 及参数的函数，并且运动员不一定就在 问题二表格中的某一点恰好达到速度最大值，故要求出达到最高速度的时间 就要通过问题二中的数据利用 MATLAB进行非线性拟合，得出拟合函数再进行求导计算，同时求解出拟合出的参数（估计值，求解参数rkF精确值时要作为迭代初值）；要作出.丨的示意图，就要根据#迸寸得出I关于参数后的表达式，并将在进 行拟合时求得的达到时的时刻/和路程.，同时带入到表达式中，再 利用MATLAB

6、的fsolve函数求解该三元方程组，得出参数|.：上弓的实际值（迭代初 值即为:.），得到，的确定表达式，最后利用 MATLAB的绘图功能进行绘图. 针对问题二，由于在问题一中已经通过讨论得到了囚的确定表达式，分别带入 表格中的数据，得到速度v的理论值，再与表格中的数据进行比较，最后对模型 进行合理的解释与评价.模型假设赛跑时体内外的阻力与速度成正比，比例系数为彳,运动员能发挥的最大冲力为 卜初速度为；运动员的质量为单位质量，即 血=1；在1=0时运动员达到最大冲力，且在跑步过程中冲力大小随着时间递减符号表示|运动员奔跑时间/运动员达到最大速度的时间&运动员奔跑过程中的冲力卜运动员奔跑过程中的

7、最大冲力! -i进行非线性拟合时得出的最大冲力估计值t：.运动员奔跑过程中的加速度b运动员奔跑过程中的跑步速度运动员奔跑过程中能达到的最大速度S运动员奔跑过程中的跑步距离卜运动员达到最大速度时的路程h运动员奔跑过程中受到的内外阻力k冲力限制系数乍进行非线性拟合时得出的冲力限制系数估计值Cl运动员质量工奔跑过程中体内外阻力的比例系数的倒数F进行非线性拟合时得出的体内外阻力的比例系数的倒数估计值运动员奔跑过程中速度关于时间的表达式运动员奔跑过程中速度关于时间的表达式f *运动员达到最大速度时时间关于参数的表达式模型建立与求解在问题一中，可建立微分方程模型，通过对已知的乱1满足的微分方程进行求解，

8、同时利用牛顿运动第二定理对建立的微分方程进行两次积分，即可得出短跑比赛时速度.丨和距离；I的表达式；再通过MATLAB软件对问题二表格中数据进行非 线性拟合，求出拟合蛀1）曲线对应的极大值点，即为赛跑过程中速度达到最大值 时对应的时间点；最后通过 MATLAB对参数kkT的实际值进行求解，得出M*）的 最终表达式（不含参数），再利用 MATLAB中plot函数即可得出丨示意图（见图 二）；在问题二中，利用问题一中得出的的最终表达式，将表格中的时间的数据代 入，即得到速度v的理论值，再与实际值进行比较，总结成表格（见表格二）问题一模型建立与求解可将问题一分成三部分逐个求解：建立微分方程模型并求解

9、得出速度.1和距离 的表达式；通过MATLAB进行数据的非线性拟合，得出达到最高速度的时间;求解出速度.I的最终表达式(不含参数)，并利用 的示意图.求短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式 由条件可知fit) k对等式两边关于自变量|积分，得MATLAB画图函数得出函数no-(-为任意常数) 带入初值条件 WT，解出任意常数卜丄得I Zf(l) = Fe k根据牛顿运动第二定理八 心 一.，得ni一 = f - lidl将卜m拥，h ，|带入，得dv V ydt t对等式两边关于自变量I积分，得叩)=恋畫(为任意常数)带入初值条件,解出任意常数闊，得 v(l) = -(e A -eT)

10、k-T由于匸舟，对等式两边关于自变量积分，得|/-(为任意常数)亠Te丿带入初值条件，解出任意常数，得求解达到最高速度的时间 根据问题二中的表格1 （如下）s(m)05152535455565758595t(s)0v(m/s)0表格1某运动员在比赛过程中数据记录可利用MATLAB对数据及IJ数据分别进行非线性拟合（程序见附录 1），拟合 图像如图1,图2所示图1时间与速度的非线性拟合函数图图2时间与路程的非线性拟合函数图 得出参数估计值r =k= 47.9128忖=71541再利用导数求出拟合函数的极大值点(程序见附录2)I =6.2645代入求得对应的：?：得s =56.958i11.619

11、2与表格1中数据对比发现误差很小，即拟合的精确度较高 作出v(t)的示意图由前面的讨论知速度|v关于时间t的表达式r 7- fFkr v(t) = -(e A -eT)K-T路程关于时间的表达式并且运动员在奔跑过程中达到最大速度时；的值为=6.264s =56.958?|畑二 11.6192对，关于自变量 求一阶导数，得, 一尸卫 空p(0 = ;(xek -keT)由=。得出达到速度最大值点时时间t|的关系式* zk k将八匚偏代入到表达式(0, s(t),厂中，利用MATLAB的fsolve函数求解该三元方程组(迭代初值即为 讥工，程序见附录3),得出参数匸丄F的实际值易见参数lU的实际值

12、与估计值误差很小，即计算较精确.将参数 W的实际值代入到关系式中，得出最终速度、关于时间的表达式v(t) - l3J75(e4791 -严)再利用MATLAB的plot函数即可得出卜討的示意图(程序见附录4),如图3所示图3速度关于时间的函数图由图形可知道在赛程的进行一段时间后， 运动员的速度能达到极限也就是函数的 极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运动员的速度会越来 越慢，因此该图形符合实际情况，同时通过对比发现得到的的精确图与拟合图相似度很高，说明非线性拟合较为成功，计算较为精确 问题二模型建立与求解由问题一的讨论过程知，最终速度v关于时间I的表达式为v(t) - i3J

13、75(e4791 e1S5)分别带入表格1中的数据，求出理论值(程序见附录 5),得到的对比结果如表格2t(s)0v(m/s)理论值0v(m/s)实际值0表格2速度v理论值与实际值的比较模型评价见论文第七部分.结果分析1由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也是先增后减的，即在达到最大值 后又有一个减少的阶段由 1图像可知，在赛程进行一段时间后速度逐渐减小, 图像符合实际2按照本模型得出，.尸一，侶金.鬲计算得出的速度理论值与题中所给实际值吻合度较高，模型建立较符合实际情况.模型评价模型优点：模型简单易行，便于理解，与现实生活紧密联系有坚实可靠的数学基础，具有很好的通用性和推广性；模型参考了

14、Keller的跑步模型建立了动态优化模型，并且对模型中涉及到的众多 影响因素进行了量化分析，模型稳定性高适用性强；利用MATLAB对问题二中数据进行了两次非线性拟合，并分别给出拟合的图像， 增加了模型的直观性和准确性，使模型更加符合实际情况； 在进行数据时使用了表格，使得结果更直观明了.模型缺点：模型因简化计算而忽略了人体的质量，统一理解为单位质量，但是实际生活中由 于运动员的质量不尽相同，故在求解模型时得到的结论也会有所差异；模型在考虑内外阻力时假设阻力丨与速度成正比，但是实际生活中外阻力应与速 度的平方成正比；模型中假设运动员的冲力随着时间的增加而不断减小，只在 时得到最大冲力，但是根据K

15、eller模型理论，在进行短程赛跑过程中，运动员在开始的一段时 间可以保持最大冲力.参考文献1 姜启源,数学模型(第三版)M，高等教育出版社，2 汪晓银.数学软件与数学实验M,北京:科学出版社,20083 动态优化模型，Keller跑步模型(短跑模型)，百度文库，网址： 附录1. ( 1) function f=shujunihe(x,t)%建立函数文件对 v,t进行数据拟合f=x(1)*x (2) *x (3)/(x (2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1)end t=0; v=0; x0=; x=lsqcurvefit(shuju ni he,x0,t,v)x =

16、%即为拟合岀参数 ，k,F的值(2) function s=shujunihe2(a,t)%建立函数文件 s,t进行数据拟合s=a(1)*a (2) *a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a (2)-a(2)*exp(-t/a (2) )+a(1)*exp(-t/a(1)end t=0; s=0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95; a0= ;a=lsqcurvefit(shujunihe2,a0,t,s)a =+003 *2. syms t v=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1);y=diff(

17、f,t);p= solve(y);%解出拟合的 v-t 函数的最大值点 v=vpa(p,5)v-t 函数的最大值t = v=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1)%解出拟合的v=syms t s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1)s=205727/(22940*exp(225*t)/) - /(8448*exp(11104*t)/) + 884346/60 t=; s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1)s =3. function F=feifei(b)%建立函数文件求解 tao,k,FF(1)=b(1)*b(2)*b(3)/(b(2)-b(1)*(expb(2)-expb(1)F(2)=b(1)*b(2)*b(3)/(b(2)-b(1)*(-b(1)+b(2)-b(2)*expb(2)+b(1)*e