新课标高中数学理第一轮总复习基本不等式及其应用PPT学习教案

1、会计学1新课标高中数学理第一轮总复习新课标高中数学理第一轮总复习 基本不基本不等式及其应用等式及其应用第1页/共46页311.1.1xyxx若，则的最小值是21111111121131111213.xyxxxxxxxxyxx 因为，所以，当且仅当，解析即时，等号成立所以的最小值是：第2页/共46页4 11lglg42lgl.gxyxyxy已知，且，则的最大值是211lg0lg0lglg()42100lglg4.xyxylgxlgyxyxyxy因为，所以，所以，当且仅当取“ ”，所以的最解大值是析：第3页/共46页3.233.ababab若实数 、 满足，则的最小值是62332 332 36.a

2、baba bab因为，所以解释：第4页/共46页62302.40.xyxyxy已知 ， ，且，则的最小值是2362322(1)6(23)xyxyxyxyxy因为， 当且仅当时取等号 所以当且仅当，时析：取等号解第5页/共46页4).1(.59axyxxyya已知不等式对任意正实数 ，恒成立，则正实数 的最小值为21()1121()9912(1)134.4.axyxyaaxyyxaaaxyxyaaaaaa 因为， 且， 所以， 所以，即所以 的最小析值为解：第6页/共46页利用基本不等式利用基本不等式的转化求最值的转化求最值【例1】已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此时x、y的值

3、第7页/共46页8228018282()()10+8210+212618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 当且仅当，即 时，等号成立又 ，所以 ， 故当 ， 时， 的最【小值是解析】第8页/共46页 本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“ ”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的2xyxy第9页/共46页52(1)1xxyxx 求函数 【变的式练习1】最大值104145402 4=4451

4、21231.xttttyttttttytxx 令 ，则，则 ，因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取 ，故函数的最大【解值为析】第10页/共46页注意基本不 等注意基本不 等式的适用条件式的适用条件224sin2.sinyxx【求】的最小值例第11页/共46页222222222222222222224131sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sinyxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx方法 ： ，当，即时，可以取等号，即当时，的最小值是又当时， ，即的最小值是所以

5、函数 的最【】小值是解析第12页/共46页2222min42sin01441.011040,1415.3sin01.40,215.txtyttytyttytttytttxtyttty 方法 ：令 ，则， ，所以 当时， ，即 在上是减函数，所以当 时， 的最小值是方法 ：令 ，则因为函数 在上是减函数，所以，当 时，第13页/共46页22222“2”44sin2 sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本题是利用基本不等式求函数的最值问题用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！下面的解法太有诱惑力了：，因此 的最小值是 ，为什么不对呢？因为等号只有在 才能取到，而这是

6、不可能的！这类问题用导数方法求解是非常有效的第14页/共46页 2212212122bcRf xxxxbxcg xxf x已知 、，在区间，上，函数 与函数在同一点取得相同的最小值，求在区间【变，上的式练习 】最大值第15页/共46页 22221111213113.4( )()24xxg xxxxxxxxxg xf xg xbcbf xxbxcx因为 ，当且仅当 ，即 时，“”成立，即的最小值为【因为与在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的解析】抛物线，第16页/共46页 221122124234.41(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在顶点处取得最小值

7、，所以，即 时， ，所以 所以 又，所以当 时，的最大值为第17页/共46页利用基本不等式利用基本不等式解实际问题解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？第18页/共46页*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.1210101213 (101010)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设使用年的年平均费用为 万元，由已知条件可知年维修费构成一个以万元为首项， 万元为公差的等差数列，因此使用 年的总维

8、修费用为万元，所以 ， 当且仅当 时取等号 所以当 时， 取最小值答：这种汽车使用 年时，【解析】年平均费用最小第19页/共46页 解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决 第20页/共46页【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这

9、块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元第21页/共46页房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？第22页/共46页 124502200200900400200900400200.2320002009004002002 900 400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依题意， ，且，则可得 【解析】，第23页/共46页2200120032000()61

10、60001010090040010020.3100203SSPSSSSxyxyxSS得，即，得，当且仅当，即时， 取最大值答：简易房面积 的最大值为平方米，此时前面墙的长度应设计为米第24页/共46页11.(3)3_yxxx 函数 的值域是(，15，) 13333231232354(15)yxxxyxxyx ，当时， ，当 时取“”；当时， ，当 时取“”，所以函数的值域是 ，析】，【解第25页/共46页2.若log2xlog2y4，则xy的最小值为 _.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，“【”成立故 的】最小值为解析8第

11、26页/共46页6 223,7.3.af xxxxA已知函数的图象过点，则此函数的最小值是第27页/共46页 223,7734.42022-24 22262646.af xxxxAaaxf xxxxxx 函数的图象过点，所以，所以 因为，所以， 当且仅当时，等号成立故此函数的解最小值是析：第28页/共46页 220041.1112loglog4.xyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值第29页/共46页 11111()(4)44525925941163119.xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因为 ， ，当且仅当，即 ， 时取等号所以 的最小【解值为析】第30页/共46页

12、22222222212 loglogloglog (4)41 41log () log4421611482loglog4.xyxyx yxyxyxyxy ，当且仅当 ，即 ， 时取等号所以的最大值为第31页/共46页 422.4812213.45.xxf xf xxabf abb设函数求的最大值及此时的 的值；证明：对任意的实数 、 ，恒有 第32页/共46页 42216 2148281616162 2884 222 22282232 2.2xxxxxxxxxf xxxf x 【解，+当且仅当 .即 时，的最大值为析】第33页/共46页 2222221923(3)3443()3322133.4

13、12 2.2 23213.4bbbbbbbf xabf abb证明：因为 ，所以 的最小值为由知，的最大值为而，所以对任意的实数 、 ，恒有 第34页/共46页 本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决第35页/共46页 12“”1 2 3 xyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素正，即 ， 都是正数；定 ，即不等式另一边为定值；等

14、，即当且仅当 时取 第36页/共46页2sin0sinsin2 22 2sin2sin22sinxyxxyxxxxx如：当时，虽然有 ，但并不是 的最小值，因为不可能成立又如：并不一定有 ，因为 的符号没有确定第37页/共46页 22“”00121xyxyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 积定和最小，和定积最大 这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧但应注意，一般不要出现两次不等号例如：已知，且 ，求 的最小值第38页/共46页10011216.22002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy方法 ：因为，且 ，所以当 时，的最小值为方法 ：因为，由，得，所以 的最小值为第

15、39页/共46页3121212224 2214 2.xyxyxyxyxyxy方法 ：因为 ，所以，所以 ，所以 的最小值为第40页/共46页123221221221xyxyxyxyxyxyxyxy三种方法似乎都有道理，但结果却不一样，哪一种对呢？其实三种都不对方法 、方法 都是误用了等号成立的条件；方法 中， 是当且仅当 时取“”，而是当且仅当时取“”， 与不可能同时成立，所以错了第41页/共46页00121212()() 323232 222 22112132 2.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxxyyxyxy本题比较好的方法是：因为，且 ，所以 ，当且仅当，即时，“ ” 成立，所以 的最小值为 第42页/共46页 2223122()2130242.xyxyxyxyxxxxyxyyx记住下列