一次函数知识框架

1、.第19章一次函数知识点一：常量与变量1.一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走60km常量：速度、甲乙两地的路程变量：火车所走的路程，行驶的时间2.在圆周长公式中，变量是 ，自变量是 知识点二：函数的意义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，我们称y是x的函数，其中：x是自变量，y是因变量 (1)在理解函数的意义时要抓住三点：有一个反映变化的过程有两个变量x和y变量x一旦变化，变量y都有唯一值与它对应 (2) 在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y例题：1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=80时，

2、路程和时间的函数关系式为 2.下列图象中，表示是的函数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.下列关于变量.y的关系：；其中表示y是的函数关系的是( ) A. B. C. D.4. 一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（） A. B. C. D.知识点三：函数中自变量的取值范围及函数值在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范围确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：使含自变量的代数式有意义结合实际意义，使函数在实际情况下有意义例题：1.在函数y中，自变量x的

3、取值范围是 2.函数中，自变量x的取值范围是 3.函数中，自变量x的取值范围是 4.函数中，自变量x的取值范围是 5.小宝阅读600页的图书，每天读50页，求余下的页数y与所读天数之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围 6.已知函数，当时，y= ，当y=0时， ；7.已知函数，那么 8. 已知函数，当时，y的取值范围是（ ） A. y B. y C. y D.y知识点四：函数的图像（难点）对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形叫做函数的图象。（1）函数图象上的任意一点P中的x，y满足关系式（2）满足函数关系式的任意一对x

4、，y的值所对应的点一定在函数的图象上。例题：1.如下左图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M-A-B-M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（） A B C D2.周末上午8时，小明先去小华家，两人再一起去超市购物，到下午2时返回小明家结合图象回答：（1）两人在超市购物花了多长时间？（2）超市离家是多远？（3）两人返回时的平均速度是多少？（4）小明何时离自己家10千米远？知识五：正比例函数定义形如的函数叫正比例函数。 注意：（1） （2）自变量x的指数为1例题：1.下列函数中，是正比例函数的是（ ）A. B. C. D.2.（易错）当m= 时，是正比例函数3

5、.下列各选项中，成正比例关系的是（ ） A.人的升高与体重 B.正方形的面积与它的边长 C.买同一种练习本所需钱数和所买的本数 D.从甲地到乙地，所用时间和行驶的速度知识点六：正比例函数的图像和性质（重点）（1）图象：正比例函数的图象是经过原点的直线。由于正比例函数图象是过原点的直线，而两点确定一条直线，因此，画的图象时，除原点外，只要再确定一个点即可。（2）性质：当时，直线经过第一.三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大； 当时，直线经过第二.四象限，从左向右下降，即随x的增大y而减小；例题：1. 正比例函数必经过 点2. 某函数具有下列两条性质：（1）它的图象经过点（0，0）的一条直线

6、；（2）y的值随的增大而减小，请你举出一个满足上述两个条件的函数（用关系式表示） 3. 已知，与成正比例，与成正比例，且时，；时，求y与之间的函数关系式 4. 东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是 5.若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .6.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（ ） （A）m- （B）m5 （C）m=- （D）m=57.一个正比例函数的图象经过点（2，-3），它的表达式为（ ）A B. C. D.8.已知函数，下列说法中错误的是（ ） A函数经过第二.四象限 B. y的值随x的增

7、大而增大 C原点在函数的图象上 D. y的值随x的增大而增小9.已知正比例函数，若y随的增大而增大，则k的取值范围是（） ABCD10.（难点）已知正比例函数图象上的两点A，B，当时，有，那么m的取值范围是（ ） A B. C. D. 11.已知y-3与成正比例，且时，y=7，（1）写出y与之间的函数关系式（2）计算时，y 的值（3）计算y=2时，的值（4）若点（a，0）在这个函数图象上，求a的值知识点七：一次函数的定义（1）定义：一般的，形如的函数，叫一次函数。（2）一次函数中自变量的取值范围是全体实数（3）正比例函数和反比例函数的区别与联系 当时，变为，所以说，正比例函数是一种特殊的一次函

8、数。正比例函数一定是一次函数， 而一次函数不一定是正比例函数。（4）待定系数法求一次函数解析式要确定一次函数中的常数k和b ，一般的求解方法是待定系数法。即先设出函数的表达式，在由已知条件列出关于k，b的二元一次方程组，通过方程组确定k和b，从而确定解析式。例题：1. 函数，中，一次函数有（ ） A1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的是（ ） A正比例函数是一次函数 B一次函数是正比例函数 C正比例函数不是一次函数 D不是正比例函数就不是一次函数3. 下列给出的四个点中，不在直线上的是（ ） A.(1，-1) B.(0，-3) C.(2，1) D.(-1，5)4. （难点）对

9、于函数，当k= 时，它是正比例函数；当k= 时，它是一次函数。5.根据右图所示的程序计算函数值，若输入的x值为1.5，则输出的结果为（ ） A.3.5 B.1.5 C.0.5 D.-0.5知识点八：待定系数法（考点）例题：1.已知点A（，）在函数的图像上，则= ；2.设点P（3，m），Q（n，2）在函数的图像上，则m+n=_3.已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求此一次函数的解析式知识点九：一次函数图像和性质（重点）（1） 一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。（2） 一次函数必过点（0，b）和点，所以在画一次函数图象时可选取这两个特殊点进行画图。（3）

10、一般地，一次函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而减小。例题：1.一次函数的图象经过点（0， ）与点（ ，0），y随x的增大而 2.（易错）已知函数，当k取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，这些直线必定（ ） A.交于同一个交点 B.有无数个交点 C.互相平行 D.互相垂直3.（易错）已知函数，当取不同的数值时，可以得到不同的直线，这些直线必定（ ） A.交于同一个交点 B.有无数个交点 C.互相平行 D.互相垂直4.已知一次函数，若y随的增大而减小，则该函数的图象经过（ ） A.第一.二.三象限 B.第一.二.四象 C.第二.三.四象限 D.第一.三.四象限5.若

11、一次函数的函数值y随的增大而增大，且一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D.6.（难题）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 7.已知实数a，b，c满足()那么的图像一定不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第二象限8.一次函数的图像经过二、三、四象限，则化简所得的结果是（ ） A. m B. -m C. 2m-n D. m-29.已知点，和点，都在直线上，若，则，的关系是（ ）A. B.= C. D.不能比较10.（难题）.两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11.已知直

12、线与直线关于原点对称，求k、b的值12.若直线（k0）过点（-2，5），则不等式的解集是 13.如图，直线与直线相交于点A（-1，2），与x轴相交于点B（-3，0），则关于的不等式组的解集为 14.已知直线（k0）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则k的值是 15.（难题）已知一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 16.(易错)一次函数的图象与两坐标轴交于点A，B，则的面积等于（ ）A12 B.9 C.18 D.2417.已知点A、B在一次函数（k、b为常数，且）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D.18.一次

13、函数的图像与，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当PC+PD取最小值时，P点坐标为 ，此时，PC+PD= 第14题 第15题 第18题 19.(难题）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为，ABP的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则ABC的面积是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 知识点十：一次函数的图像平移（考点）例题：1. 在同一直角坐标系内，直线可由直线向下平移得到， 2. 一次函数的图象向上平移4个单位得到的函数解析为 ，向下平移

14、2个单位得到的函数解析式为 ，再向 平移 个单位得到函数3. 将一次函数向左平移的图象向左平移2个单位后，得到的图像解析式是 ，然后再向右平移4个单位后，得到的图像解析式是 4.直线m:是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而，在直线n上，则=_5.要得到的图像，可把直线（ ） A.向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 C.向上平移4个单位 D.向下平移4个单位知识点十一：一次函数与一元一次方程（重点难点）(1)任何一元一次方程都可以转化为的形式(2)解一元二次方程可以转化为： 的值为0时，求相应的自变量的值； 从图形上看，这相当于一只直线，确定它与x轴交点的横坐标的值。(3)利

15、用函数图象解一元一次方程的步骤：画出一次函数图象 找出直线与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解例题：1.直线与轴的交点坐标是（ ） A.(6，0) B.(0，6) C.(-8，0) D.(0，-8)2.直线与x轴交于点（6,0），则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 03.当= 时，函数的值等于24.下列说法正确的是（ ） A.方程可以看作直线与y轴的交点 B.方程可以看作直线与轴的交点 C.方程可以看作直线与y轴的交点 D.方程可以看作直线与轴的交点5.一次函数过点（1，5），则一元一次方程的解是 6.在同一直角坐标系内作出函数和的图象，并回答：（1） 当x取何值时， （2

16、） 当x取何值时，（3） 当x取何值时，知识点十二：一次函数与一元一次不等式（重难点）(1)一元一次不等式或(a0)是一次函数 (a0)的函数值不等于0的情形。(2)直线上使函数值(x轴上方的图像)的x的取值范围是的解集；使函数值(轴下方的图像)的的取值范围是的解集。例题：1.已知点（2，）和（4，）都在直线上，则（ ） A. B. C. D.无法确定2.已知直线上的点（，y）在轴的上方，则（） A. B. C. D.3.当时，直线上的点（，y）的位置是（ ） A.在x轴上方 B.在x轴下方 C.在y轴左侧 D.在y轴右侧 4关于的一次函数的图象与y轴的交点在轴的下方，且y随的增大而增大，则的

17、取值范围是 5. 如图，在平面直角坐标系中，点P（，）在直线与直线之间，则的取值范围是（） A.24. B.13 C.12 D.026.已知一次函数，当时，则满足 7.已知 是方程组的解，那么一次函数和y=+1的交点是_8.一次函数的图象经过（-2，0）和（0，2），则不等式的解集是（ ） A. B. C. D.9.如图，函数和的图象相交于点A（m，3），则不等式的解集为 10.如图直线经过过A（2，1），B（1，2）两点，则不等式的解集为 第5题 第9题 第10题11. 如图，直线与直线相交于点A（-1，2），与轴相交于点B（-3，0）则关于的不等式组的解集为（） A. B. C. D. 1

18、2.如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 知识点十三：一次函数与二元一次方程组（考点）(1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式。(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标。例题：1.若直线与直线相交于点（1，-2），则（ ） A.， B.， C.， D.，2.已知一次函数与的图象交于点P，则P点的坐标是 3.已知 是方程组的解，那么一次函数和的交点是_4.已知直线与的交点为（-5，8），则方程组的解是 5.已知直线和的解析式分别为，根据根据图中的图象填空：（1）方程组的解为 ；（2）当时，的范围

19、是 _；（3）当时，自变量的取值范围是 _知识点十四：一次函数应用题（难点）1. 分段函数，求各段函数的直线解析式 2. 方案选择，通过计算各个方案，来决定哪种更加优惠。 3. 运输费用最省 分段函数问题：解题策略：（1）分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值1.为鼓励居民节约用气，我市今年开始对天然气收费实行阶梯气价，阶梯气价划分

20、为两个档级：（1）第一档气量为每户每月50立方米（含50立方米）以内，执行基准价格；（2）第二档气量为每户每月超出50立方米以上部分，执行市场调节价格小明家1月份用气55立方米，交气费115元；2月份用气58立方米，交气费122.5元（1）求每立方米天然气的基准价格和市场调节价格分别是多少元？（2）设每月用气量为x立方米，应交气费y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家3月份用气60立方米，他家应交气费多少元？ 几何图形中的动点问题解题策略：（1）解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自

21、变量的变化区间至关重要。（2）在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。例题：1.（2014.三牧中学单元卷）如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动（1）求A、B两点的坐标；（2）求COM的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时COMAOB，并求此时M点的坐标 方案选择：解答选择方案应用题，可以分四个步骤进行：第一步: 确定自变量和因变量；第二步：建立数学模型（主要是函数关系式）；第三步：确定自变量的取值范围；第四步：根据

22、自变量的取值范围，一次函数的性质，确定最佳的实施方案。1.某水产品养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日捕捞的水产品40kg进行精 加工，已知每千克水产品直接出售可或利润6元，精加工后再出售，可获利润18元，设每天安排名工人进行水产品精加工，并且每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售，（1）求每天做水产品精加工所得利润y（元）与的函数关系式；（2）求每天总利润W（元）与的函数关系式； （3）那么如何安排生产可使这一天所获利润最大？最大利润是多少？2.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱供应这种纸箱有两种方案可供选择：

23、方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元（1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由3.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度（千米时）运输费用（元千米）包装与装卸时间（小时）包装与装卸费用（元）甲公司6064

24、1500乙公司50821000丙公司100103700（1）若乙.丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求，两市的距离（精确到个位）；（2）如果A，B两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用.运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？ 知识点十五：一次函数综合题（难题）考点5:函数综合题，在直角坐标系中，函数解析式1. 点坐标：与x、y轴的交点；与直线的交点2. 线段长：与x、y轴平行的线段长（右边左边，上边下边） 与x、y轴不平行的线段长（用勾股定理来计算）3. 求三角形的面积：底乘高除以2；割补法【典型例题】1.若直线与相交于轴上，则b的值是 2.如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则的值为 3.在平面直角坐标系中，下列直线中与直线平行的是（） A. B. C. D.4.如图已知一次函