数学分析第三章习题课

1、第三章第三章 “函数极限函数极限” 习题习题课课一、函数的一、函数的24类极限类极限 )(limxfx; , , ,0 ,0 , : xxox。 , , , : A 函数在一点的极限（含单侧极限）与函数在函数在一点的极限（含单侧极限）与函数在这点的定义无关。这点的定义无关。0 x0 x0 x函数在函数在 无定义、有极限无定义、有极限0 x函数在函数在 的函数值与极限值不等的函数值与极限值不等0 x函数在函数在 的函数值与极限值相等的函数值与极限值相等0 x函数在函数在 有定义、无极限有定义、无极限0 x0 xxy二、函数极限的性质二、函数极限的性质 1、唯一性；、唯一性；2、局部局部有界性；有

2、界性； 3、局部局部保号性；保号性；4、局部局部保不等式性；保不等式性； 5、迫敛性；、迫敛性； 6、四则运算性。、四则运算性。三、函数极限存在的条件三、函数极限存在的条件.)(lim,lim ),;()(lim000AxfxxxUxAxfnnnnonxx 有有且且 单调有界必有单侧极限：单调有界必有单侧极限：Cauchy收敛准则：收敛准则：.| )()(| ),;(, 0, 0)(lim00 xfxfxUxxAxfoxx有有).(inf)(lim)( )1()(000 xfxfxUfxUxxxoo 单单调调递递增增、有有界界，则则在在归结原则：归结原则：四、两个重要极限四、两个重要极限; 1

3、sinlim某过程 为无穷大，则为无穷大，则为某过程中的无穷小，为某过程中的无穷小，设设 .)11 (lim)1 (lim1e某过程某过程五、常用等价无穷小量五、常用等价无穷小量. 1 , )1ln( ,2 cos1, arctan , arcsin , tan , sin:02xexxxxxxxxxxxxxx 时当六、求函数极限的一般方法六、求函数极限的一般方法 ，因因式式分分解解约约去去零零因因子子”无无穷穷大大。分分子子分分母母同同除除“最最大大的的 00 . 1型：型：对对多项式多项式根式根式有有理理化化约约去去零零因因子子，三角函数三角函数，利用利用1sin0lim xxx其他其他等

4、等价价无无穷穷小小量量代代换换。型：型：对对 . 23. 利用两个重要极限。利用两个重要极限。4. 利用有界函数乘无穷小还是无穷小。利用有界函数乘无穷小还是无穷小。5 5、利用迫敛性。、利用迫敛性。七、证明极限不存在的方法七、证明极限不存在的方法1. 利用归结原则。利用归结原则。发散。发散。不收敛同一个数；或不收敛同一个数；或但但找到两个数列找到两个数列)()(),(, ,00nnnnnxfxfxfxxxx 2. 利用利用Cauchy收敛准则收敛准则。.| )()(|,| , 0, 000 xfxfxxxx但但找找到到两两个个点点找找到到常常数数3. 证明左右极限不相等证明左右极限不相等。八、

5、有界变量、无穷小量及其比较八、有界变量、无穷小量及其比较. 0)()(lim)()( xgxfxgoxf.|)()(|, 0)()(LxgxfLxgOxf 使使反之不然。反之不然。),()()()(xgOxfxgoxf . 0)(lim)1()( xfoxf.| )(|, 0)1()(LxfLOxf 使使O(1)o(1)=o(1).o(1)o(1)=o(1).o(1)+o(1)=o(1).O(1)+O(1)=O(1).O(1)O(1)=O(1).例例1写出下列极限的精确定义：写出下列极限的精确定义：.)(lim )2( ,)(lim )1(0Axfxfxxx 解解,G 0)1( 0, )2(

6、.)(lim )4( ,)(lim )3(0Axfxfxxx 0, )3(0 G0, )4(0 G.f(x) 有有,M0 -M,x .| Af(x)有有0, ),;(0 xUxo .| 01G)f(x 使使0, ),;(U0o1 x x .|01 A)f(x使使0, MM,|:|11 xx例例2 用定义证明：用定义证明：. 274lim 2 xxx证证. .| | |x|x|xx7427274 则则不妨设不妨设,81|2-|0 x. |2|14|74|2|7|274| xxxxx故故,|x2174| .|274|,|2|0,14,81min, 0 xxx有有取取. 274lim 2 xxx即即

7、,817815 x,237421 x例例3 : 0: 1 )( 无理数无理数，有理数有理数，证明：证明：xxxD在任何点极限不存在在任何点极限不存在。证法一证法一, ,00 xxxxnn 为有理数，使为有理数，使取取, 0 xxxnn 为无理数，使为无理数，使取取, 11)( nxD则则, 00)( nxD由归结原则，由归结原则，D(x)在任意点在任意点 没有极限。没有极限。0 x例例3 : 0: 1 )( 无理数无理数，有理数有理数，证明：证明：xxxD在任何点极限不存在在任何点极限不存在。证法二证法二为无理数，则为无理数，则取取为有理数，为有理数，取取取取),(),(, 0,21,0201

8、00 xUxxUxxoo ,1| )()(|021 xDxD由由Cauchy收敛准则收敛准则，得证。得证。例例3 : 0: 1 )( 无理数无理数，有理数有理数，证明：证明：xxxD在任何点极限不存在在任何点极限不存在。证法三证法三为为有有理理数数，则则取取取取),(, 0, 0|1|21,0100 xUxaxo ,|1|)(|01 aaxD;)(lim0axDxx 即即为为无无理理数数，则则取取取取),(, 0, 021,0200 xUxxo ,21|10|)(|02 axD。即即1)(lim0 xDxx, 1 a, 1 a当当证毕。证毕。课后练习：课后练习： : ,: , )( 无理数无理

9、数有理数有理数设设x-xxxxf是否存在？是否存在？不存在；又不存在；又证明：若证明：若)(lim)(lim, 0000 xfxfxxxx 例例4.)(lim,)(limaxxxfaxfxx 证明：证明：已知：已知：证证,1- xx x ),( )(1-)( xxfxxfx xf , 0, xx可设可设),( )(1-)( xfxxxfxx f a x xa由迫敛性，得证。由迫敛性，得证。例例5 xxxsinlim0 xxxsinlim xxx1sinlim0 xxx1sinlim xxxsinlim0 xxxsinlim xxx1sin1lim0 xxx1sin1lim1,0,（o(1)O(

10、1)）0,1,0,不存在不存在,0.不存在不存在,例例6求求 2cos 2cos 2cos 2coslim 32nn解解 2sin 2cos2sin 2sin2cos 2cos2 222 2sin 2cos 2cos 2cos2 3323 2sin2cos 2cos 2cos 2cos2 n32nn 2sin2sinlim nnn 原式 2sin2 sinlim nnn . sin 设数集设数集S无上界无上界. 试证明试证明: 存在递增数列存在递增数列 ).( , nxSxnn使使例例7（P66.7）证明证明., 0MxSxMS 使使无上界，无上界，, 11111MxSxM 使使取取, 222

11、212MxSxxM 使使取取,1nnnnnMxSxnxM 使使取取).( , nxSxnn且且递增递增则则证毕。证毕。例例8解解计算计算112arctanlim )2( ,231lim )1(038 xxxxxx).sin1(sinlim )4(xxx 。可可得得极极限限分分子子分分母母同同时时有有理理化化，2- )1(，1lim )3( xxxxx。可可得得极极限限分分子子分分母母同同除除1, )3(x。极极限限再再将将分分母母有有理理化化，可可得得代代换换，用用等等价价无无穷穷小小4 2 arctan2 )2(xx. 0|21cos21sin2|lim xxxxx. |212|21cos2

12、1sin2| xxxxxx 21cos21sin2lim xxxxx 原式原式)sin1(sinlim )4(xxx 解解|11|xx )( 0 x，. 021cos21sin2lim xxxxx从而从而故原式故原式=0。解.1sinlim2 nn求求|1sin| 2 n由由例例9|sinsin1sin|2 nnn 和和差差化化积积|21sin21cos|222 nnnn |21sin|22 nn 2122nn nn 112. 01sinlim2 nn|sin|sin1sin|2 nnn 为为0解).1( )1ln()1ln(lim axbaxx求求变变形形原式原式)1ln()1(lnlimx

13、baaxxx 例例10)1ln()1ln(ln(limxbaaxxx )1ln()1ln(lim)1ln(limlnxbaxbxaxxx )0( 第二个重要极限第二个重要极限)00( .lnab 00)1ln(limln bxxxbab例例11时不是无穷大量。时不是无穷大量。但但上无界，上无界，在任意在任意证明证明0)0(1cos1)( xUxxxgo分析分析有界，即有界，即在某在某若若); 0()( oUxg.| )(|),; 0(, 0MxgUxMo 有有 但但有有只要只要取取),; 0(,21,2100 oUxnnx ,22cos2)(0 nnnxg .| )(|,20MxgMn 不可能

14、不可能而当而当 证明证明则则取取,21,2max, 0, 0 MnM .| )(|),; 0(2100MxgUnxo 且且则则 上无界。上无界。在任意在任意即即)0()(oUxg即即若若,)(lim0 xgx.| )(|),; 0(, 0, 0GxgUxGo 有有 例例11时不是无穷大量。时不是无穷大量。但但上无界，上无界，在任意在任意证明证明0)0(1cos1)( xUxxxgo但但足够大，可使足够大，可使只要只要取取),; 0(,2111 oUxnnx , 0)2cos()2()(1 nnxg矛盾！矛盾！不可能不可能 .| )(|1Gxg 时不是无穷大量。时不是无穷大量。在在即即0)(xxg或或,2/1, 0, 11 nxG取取取取,2/1 n只要只要),; 0(1 oUx 有有.10| )(|1Gxg 而而.)(lim0 xgx故故.| )(