逻辑代数基本公式及定律

1、（1）11.211.2逻辑代数基本公式和基本定理逻辑代数基本公式和基本定理11.2.1 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算11.2.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式11.2.3 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理第第1111章章 组合逻辑电路组合逻辑电路 概述部分概述部分（2）概述部分概述部分 在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取值只有两个：值只有两个：1（逻辑（逻辑1）、）、0（逻辑（逻辑0）。）。0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。开关的闭合或断开开关的闭合或断开一件事情的是与非一件事情的是与非信号的有无信号的

2、有无电平的高低电平的高低（3）11.2.1 11.2.1 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算：基本逻辑运算：与与 ( and )、或或 (or ) 、 非非 ( not )。一、一、“与与”逻辑逻辑与逻辑：与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。都具备，事件才会发生（成立）。规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” EYABC（4）&ABCY逻辑符号：逻辑符号：AYBC0000100001001100001010100

3、1101111逻辑式：逻辑式：Y=ABC逻辑乘法逻辑乘法（逻辑与）（逻辑与）真值表真值表EYABC真值表特点真值表特点: 有有0出出0, 全全1出出1与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1（5）二、二、 “或或”逻辑逻辑AEYBC或逻辑：或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。以上的条件具备，事件就会发生（成立）。规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” （6）AYBC00001001010

4、111010011101101111111真值表真值表1ABCY逻辑符号：逻辑符号：逻辑式：逻辑式：Y=A+B+C逻辑加法逻辑加法(逻辑或逻辑或)AEYBC真值表特点：真值表特点： 有有1出出1, 全全0出出0。或逻辑运算规则或逻辑运算规则:0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1（7）三、三、 “非非”逻辑逻辑“非非”逻辑：逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。时事件不发生。规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”

5、 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” AEYR（8）逻辑符号：逻辑符号：逻辑非逻辑非(逻辑反逻辑反)AY0110真值表真值表AEYR真值表特点真值表特点: 有有1出出0, 有有0出出1。AY 逻辑式：逻辑式：运算规则：运算规则：10,01AY1（9）四、几种常用的复合逻辑运算四、几种常用的复合逻辑运算“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑是三种基本的逻辑运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、或、非的组合来实现。或、非的组合来实现。CBAY与非：与非：条件条件A、B、C都具都具备，则备，则Y 不发不发生。生。&ABCY几种常用的逻辑运算如下表：几种常用的逻

6、辑运算如下表：（10）CBAY或非：或非：条件条件A、B、C任一任一具备，则具备，则Y 不不发生。发生。 1ABCYBABABAY异或：异或：条件条件A、B有一个具备，有一个具备，另一个不具备则另一个不具备则Y 发生。发生。=1ABY同或：同或：条件条件A、B相同，则相同，则Y 发生。发生。=ABYBABAABY（11）图图2.2.3 复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号（12）AYBC00011001010111010011101101111110与非逻辑真值表与非逻辑真值表AYBC00011000010011000010101001101110或非逻辑真值表或非逻辑真值

7、表异或逻辑真值表异或逻辑真值表ABY000110101011同或逻辑真值表同或逻辑真值表ABY100010001111（13）2.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式基本公式加加运算规则运算规则:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘乘运算规则运算规则:00=0 01=0 10=0 11=1非非运算规则运算规则:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA一、基本定律一、基本定律（14）二、交换律二、交换律三、结合律三、结合律四、分配律四、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+

8、B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)（15）求证求证: （分配律第（分配律第2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=A=左边左边（16）五、德五、德 摩根定理摩根定理(反演律）反演律）（De Morgan)证明：证明：真值表法、真值表法、穷举法穷举法推广到多变量：推广到多变量：

9、CBACBA CBACBA 说明：两个（或两个以上）变量的说明：两个（或两个以上）变量的与非与非（或非或非）运算等于两个（或两个以上）变量的运算等于两个（或两个以上）变量的非或非或（非非与与）运算。）运算。BABA 1BABA 2（17）用真值表证明摩根定理成立用真值表证明摩根定理成立A B=A+B A+B= A BA B0 00 11 01 1Y1=ABY2=A+B11101110相等相等（18）吸收：多余（吸收：多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗余冗余）因子被取消、去）因子被取消、去掉掉 被消化了。被消化了。1.原变量的吸收：原变量的吸收： A + AB = A证明：证明：左式左式=

10、A(1+B)原式成立原式成立口诀：口诀：长中含短长中含短,留下短。留下短。长项长项短项短项 =A =右式右式1|2.3.2 若干常用公式若干常用公式-几种形式的吸收律几种形式的吸收律（19）2. 反变量的吸收：反变量的吸收： A + A B = A + B 证明：证明：=右式右式口诀：口诀：长中含反长中含反,去掉反。去掉反。原原(反反)变量变量反反(原原)变量变量添冗余项添冗余项BAABA 左式左式)AA(BA 1|（20）3.混合变量的吸收：混合变量的吸收： 证明：证明：添冗余因子添冗余因子A B + A C + BC=AB+AC 互互为为反反变量变量=右式右式口诀：口诀：正负相对正负相对,

11、余全完。余全完。（消（消冗余项）冗余项）添加添加BCCAAB 左式左式BC)AA(CAAB BCAABCCAAB )BCACA()ABCAB( CAAB （21）证明：证明： 4. A A B=A B A A B=AA AB = A (A+B) =A BA A B=A A B= ? A(A+B)=A AAABAB （22） 2.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 2.4.1 代入定理代入定理内容内容：在任何一个包含变量在任何一个包含变量A A的逻辑等式中，的逻辑等式中，若以另外一个若以另外一个逻辑式逻辑式代替式中所有的变量代替式中所有的变量A A，则等式仍然成立。则等式仍然成立。例：例：用代入规

12、则证明用代入规则证明德德 摩根定理摩根定理也适用于多也适用于多变量的情况。变量的情况。二变量的德二变量的德 摩根定理为：摩根定理为：BABA 1BABA 2（23）以（以（B BC C）代入（）代入（1 1）式中）式中B B，以（，以（B+CB+C）代入）代入（2 2）式中）式中B B，则得到：，则得到：CC)(C)(CBAC)(BAC)(BA注：注：代入定理还可以扩展其他基本定律代入定理还可以扩展其他基本定律的应用范围的应用范围！BABA 1BABA 2（24）2.4.2 2.4.2 反演定理反演定理内容：内容：将函数式将函数式F中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反1.遵循先括号遵循先括号 再乘法再乘法 后加法的后加法的运算顺序运算顺序。2.不是一个变量上的反号不是一个变量上的反号不动不动。规则规则:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF (反函数反函数)（25）例例1：1)DC()BA(F1 0DCBAF1 与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号DBDACBCAF1 （26）)EDCB(A )EDCB(A 例例2：EDCBAF2 EDCBAF2 与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDACAB