第三章1 积分学(不定积分)

1、重点内容：重点内容： 1 1、 熟练掌握不定积分的计算熟练掌握不定积分的计算 2 2、 熟练掌握定积分的计算熟练掌握定积分的计算 3 3、 熟练掌握用定积分求面积求体积的方法熟练掌握用定积分求面积求体积的方法 4 4、求广义积分求广义积分 第三章积分学第三章积分学 1 1原函数的概念原函数的概念例例 因因为为1(ln )xx ，故故ln x是是 1x的的一一个个原原函函数数； 因因为为2()2xx，所所以以 2x是是2x的的一一个个原原函函数数，但但 222(1)(2)(3)xxx2x，所所以以 2x的的原原函函 数数不不是是惟惟一一的的 原函数说明：原函数说明：第一， 原函数的存在问题： 如

2、果第一， 原函数的存在问题： 如果( )f x在某区间连续，在某区间连续，那么它的原函数一定存在那么它的原函数一定存在( (将在下章加以说明将在下章加以说明) ) 定定义义 1 1 设设( )f x是是定定义义在在某某区区间间的的已已知知函函数数， 若若存存在在函函数数( )F x，使使得得 ( )( )F xf x或或d ( )( )dF xf xx, 则则称称( )F x为为( )f x的的一一个个原原函函数数 一、不定积分的概念一、不定积分的概念第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若( )f x 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有存

3、在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论：论： 定理定理 若若( )F x是是( )f x的一个原函数，则的一个原函数，则( )F xC是是 ( )f x的全部原函数，其中的全部原函数，其中 C为任意常数为任意常数 2. 2. 不定积分的概念不定积分的概念定定义义 2 2 函函数数( )f x的的全全体体原原函函数数( )F xC叫叫做做( )f x的的不不定定积积分分，定定积积分分，记记为为 ( )d( )f xxF xC，其中，其中( )( )F xf x, , 上上式式中中的的x叫

4、叫做做积积分分变变量量，( )f x叫叫做做被被积积函函数数，( )df xx叫叫做做被被积积表表达达式式，C叫叫做做积积分分常常数数， “”叫叫做做积积分分号号 例例 设设曲曲线线过过点点（1 1，2 2）且且斜斜率率为为x2，求求曲曲线线方方程程 解解 设设所所求求曲曲线线方方程程为为)(xyy 按按xxy2dd，故故Cxxxy2d2 又又因因为为曲曲线线过过点点 （1 1， 2 2） ， 故故代代入入上上式式C12， 得得 1C，于于是是所所求求方方程程为为12 xy. . 性质性质1 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分被积函数中不为零的常数因子可提到积分 号外，即号外，即 xxf

5、kxxkfd)(d)( （0k）. . 性质性质2 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即的代数和，即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. . 3 3、 不定积分的性质不定积分的性质 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式：式可以相应地得出下列积分公式： ( (1 1) )Ckxxkd( (k为为常常数数) )， ( (2 2) )Cxxx111d（1） ， ( (3 3) )Cxxxlnd1， (4)(4)e dexxxC， ( (5 5) )Caa

6、xaxxlnd ， ( (6 6) )Cxxxsindcos， ( (7 7) )Cxxxcosdsin， 4 4、 基本积分公式基本积分公式(8)(8)Cxxxxxtandsecdcos122， (9)(9)Cxxxxxcotdcscdsin122， ( (1 10 0) )Cxxxxsecdtansec， ( (1 11 1) )Cxxxxcscdcotcsc， ( (1 12 2) )Cxxxarctand112， （1 13 3）Cxxxarcsind112. . 一、直接积分法一、直接积分法例例 求下列不定积分：求下列不定积分：（1 1）；xxd12 ( (2 2) )xxxd； 解

7、解 （）（）CxCxxxxx112dd11222. . （）Cxxxxxx252352dd. . 例例 求下列不定积分求下列不定积分: :（1 1）xxxd1122 （2 2）223d1xxx （3 3）221d(1)xxx （4 4）22212d(1)xxxx （5 5）241d1xxx 思考题思考题( (1 1) ) 若若 ,sin2dCxxxfx则则 xf为为何何？ ( (2 2) ) 若若)( xf的的一一个个原原函函数数为为,cos x则则xxfd 为为何何？ 1 1第一换元积分法第一换元积分法( (凑微分法凑微分法) ) 直接验证得知直接验证得知, ,计算方法正确计算方法正确 例例

8、 求求xxde3. . 解解 被被积积函函数数x3e是是复复合合函函数数，不不能能直直接接套套用用公公式式 ，我们可以把原积分作下列变形后计算：，我们可以把原积分作下列变形后计算：Cxxxedexuxxxx3)d(3e31de33令Cuuue31de31回代31Cx3e. . 例例 求求xxxde22 解解 注注意意到到被被积积式式中中含含有有 2ex项项, ,而而余余下下的的部部分分恰恰有有 微分关系：微分关系：22 dd()x xx于是类似于是类似于例于例 1,可作如下变可作如下变 换和计算：换和计算： 二、换元积分法二、换元积分法.eede)(dede222222CCuxuxxxxuux

9、x回代令上上述述解解法法的的特特点点是是引引入入新新变变量量)(xu, ,从从而而把把原原积积分分化化为为关关于于u的的一一个个简简单单的的积积分分，再再套套用用基基本本积积分分公公式式求求解解, ,现现在在的的问问题题是是，在在公公式式 Cxxxede中中，将将 x换换成成了了)(xu, ,对对应应得得到到的的公公式式Cuuuede是是否否 还成立还成立? ?回答是肯定的回答是肯定的, ,我们有下述定理：我们有下述定理： 定定理理 如如果果CxFxxf)(d)(，则则 .)(d)(CuFuuf其其中中)(xu是是x的的任任一一个个可可微微函函数数 例例 求求xxxdsincos2. . 解解

10、 设设,cos xu 得得xxudsind, , .cos3131ddsincos3322CxCuuuxxx方方法法较较熟熟悉悉后后, ,可可略略去去中中间间的的换换元元步步骤骤, ,直直接接凑凑微微分分成成积积分分公公式式的的形形式式 例例 求求xxx2ln1d 解解 222d1d1d ln1ln1ln1lnarcsin ln.xxxxxxxxxC 例例 求求xxxdsin 解解 Cxxxxxxcos2dsin2dsin 凑凑微微分分法法运运用用时时的的难难点点在在于于原原题题并并未未指指明明应应该该把把哪哪一一部部分分凑凑成成)(dx, ,这这需需要要解解题题经经验验, ,如如果果记记熟熟

11、下下列列一一些些微微分分式式, ,解解题题中中则则会会给给我我们们以以启启示示 ，)(d1dbaxax ，)(d21d2xxx ，)(d2dxxx ，)e (ddexxx ，|)|(lndd1xxx ，)(cosddsinxxx ，)(sinddcosxxx ，)(tanddsec2xxx ，)(cotddcsc2xxx ，)(arcsind1d2xxx )(arctand1d2xxx 下面的例子下面的例子, ,将继续展示凑微分法的解题技巧将继续展示凑微分法的解题技巧 例例 求求下下列列不不定定积积分分 （1 1）523x2dxx. . （2 2）lnxdxx （3 3）22(arctanx)

12、d1+xx （4 4）xxe sine dx （5 5）3sin xcosxdx （6 6）3 x1edxx 2 2、第第二二换换元元法法 例例 求xxxd1313 解解 令令,133tx即即, 1313tx则则ttxdd2代入后，得代入后，得 34521111d2 d315331xxtttttCx .2135132Cxx由以上二例可以看出由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式被积函数中含有被开方因式 为一次式的根式为一次式的根式nbax时时, ,令令tbaxn可以消去根号，可以消去根号， 从而求得积分从而求得积分下面重点讨论被积函数含有被开方因式下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二

13、次式的根式的情况为二次式的根式的情况 例例 求求0d2322axax. . 解解 令令2tan0dsecd2xattxat t ，则 所所以以 Ctattattataxaxsin1dcos1dsecsecd233322322 由由右右图图所所示示的的直直角角三三角角形形，得得 ,sin22xaxt故故 .d2222322Cxaaxxax x a a 2 x 2 + t 一般地说，当被积函数含有一般地说，当被积函数含有(1)(1)22xa ，可作代换，可作代换taxsin； ( (2 2) )22xa ，可可作作代代换换taxtan； ( (3 3) )22ax ，可可作作代代换换taxsec

14、通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重 要组成部分，但在具体解题时要组成部分，但在具体解题时, ,还要具体分析还要具体分析, ,例如，例如， xaxxd22 就不必用三角代换，而用凑微分法更为方就不必用三角代换，而用凑微分法更为方 便便 设设函函数数)(xuu , ,)(xvv 具具有有连连续续导导数数，根根据据乘乘积积微微分分 公公式式有有 ,ddduvvuuv移移项项得得 ,d)(dduvuvvu 两两边边积积分分得得 ,dduvuvvu 该该公公式式称称为为分分部部积积分分公公式式，它它可可以以将将求求vud的的积积分分问问题题转转化化为

15、为求求uvd 的的积积分分，当当后后面面这这个个积积分分较较容容易易求求时时，分分部部积积分分公公式式就就起起到到了了化化难难为为易易的的作作用用 三、分部积分法三、分部积分法例例 求求.dcosxxx 解解 设设),(sinddcosd,xxxvxu 于是于是,sin,ddxvxu代入公式有代入公式有 xxxdcos= =xxsind= = xxxxdsinsin .cossinCxxx注注：本本题题若若设设,dd,cosxxvxu则则有有xxudsind及及 221xv ，代代入入公公式式后后，得得到到 xxxdcos= =221xxcos 21xxxdsin2, , 新得到积分新得到积分

16、xxxdsin2反而比原积分更难，说明这样设反而比原积分更难，说明这样设vu d,是不合适的，由此可见，运用好分是不合适的，由此可见，运用好分部部积分关键是恰积分关键是恰vu d,当地选择好当地选择好u和和vd，一般要考虑如下两点：，一般要考虑如下两点： （1 1） v要容易求得（可用凑微分法求出） ；要容易求得（可用凑微分法求出） ； （2 2） uvd要要比比vud容容易易积积出出 例例 求求xxxdln. . 解解 xxxdln= =2dln2xx= =xxxxlnd2ln2122 .41ln2d21ln2222Cxxxxxxx当当熟熟悉悉分分部部积积分分法法后后，vu d,及及uv d,可可心心算算完完成成，不不 必必具具体体写写出出 小小结结：下下述述几几种种类类型型积积分分，均均可可用用分分部部积积分分公公式式求求解解， 且且vu d,的的设设法法有有规规律律可可循循 (1) (1) xxaxnde，xaxxndsin，xaxxndcos，可设，可设nxu ； ( (2) 2) xxxndln，xxxndarcsin，xxxndarctan， 可设可设xuln，xarcsin，xarctan； ( (3 3) ) xbxaxdsine，xbxaxdcose，可可设设bxusin，