数字信号第六章1

1、第六章第六章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器数字滤波器6.5 数字高通数字高通带通和带阻滤波器的设计带通和带阻滤波器的设计6.4 双线性变换法设计双线性变换法设计IIR 数字滤波器数字滤波器6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数字滤波器数字滤波器： 输入、输出均为数字信号，通过一输入、输出均为数字信号，通过一定的定的运算关系运算关系改变改变 输入信号所含输入信号

2、所含频率频率成分的相对比例成分的相对比例，或者滤除某些，或者滤除某些频率频率成分成分的器件。的器件。数字滤波器的基本原理数字滤波器的基本原理是数字信号处理的一个重要技术分支；是数字信号处理的一个重要技术分支；是用一有限精度算法实现的是用一有限精度算法实现的离散时间系统；离散时间系统；具有对信号进行具有对信号进行滤波处理滤波处理的功能的功能，即在形形即在形形色色的信号中色色的信号中提取提取所需要的信号所需要的信号，抑制抑制不需不需要的信号（噪声、干扰）；要的信号（噪声、干扰）；滤波器实质是一种滤波器实质是一种运算过程运算过程（差分方程的（差分方程的计算或卷积的计算）计算或卷积的计算）设计：设计：

3、根据要求选择系统的根据要求选择系统的h（n）或）或H（z），），使输入序列使输入序列x（n）通过系统时，对其波形和频）通过系统时，对其波形和频谱进行加工，获得预期的信号。谱进行加工，获得预期的信号。 设计数字滤波器的步骤设计数字滤波器的步骤确定性能指标；确定性能指标；用系统函数用系统函数H（z）去逼近这一性能指标；）去逼近这一性能指标；用有限精度算法去实现用有限精度算法去实现H（z）运算结构、选择合适的字运算结构、选择合适的字长、有效数字的处理方法长、有效数字的处理方法实现（硬件、软件、两者结合）实现（硬件、软件、两者结合）数字滤波器的分类数字滤波器的分类经典滤波器：经典滤波器： 一般滤波器一

4、般滤波器现代滤波器现代滤波器维纳滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器自适应滤波器 输入信号中输入信号中有用频率成分有用频率成分和和希望滤除的频率成分希望滤除的频率成分各占各占不同的频带。不同的频带。 通过一个合适的选频滤波通过一个合适的选频滤波器可达滤波目的。器可达滤波目的。信号与干扰的信号与干扰的频带相互重叠。频带相互重叠。可按随机信号的可按随机信号的统计分布规律，统计分布规律，从干扰中最佳地从干扰中最佳地提取信号。提取信号。数字滤波器的分类数字滤波器的分类低通低通高通高通带通带通带阻带阻全通全通0-2-20-2-20-2-20-2-2按实现的网络结构或单位函数按实现的网络结

5、构或单位函数响应数字滤波器分类如下：响应数字滤波器分类如下：FIR滤波器滤波器IIR滤波器滤波器系统的系统的h(n)：无限长序列无限长序列1. IIR数字滤波器数字滤波器)()()(10knyainxbnyNkkMii2. FIR数字滤波器数字滤波器系统的系统的h(n)：有限长序列有限长序列结构类型：结构类型：递归型递归型结构类型：结构类型：非递归非递归)()(0inxbnyMii系统函数：系统函数：在有限在有限Z平面无极点。平面无极点。系统函数：系统函数：在有限在有限Z平面有极点。平面有极点。阻带阻带20通通带带过过渡渡带带111ps0.707c数字滤波器的技术要求：数字滤波器的技术要求：p

6、 : : 通带截止频率通带截止频率 s: : 阻带截止频率阻带截止频率 1: : 通带波动通带波动 2: 阻带波动阻带波动通频带通频带p01)(11jeH阻带阻带s2)(jeHp称为通带截频。称为通带截频。s称为阻带截频。称为阻带截频。过渡带过渡带sp幅度响应没有限制幅度响应没有限制20通通带带过过渡渡带带111ps数字滤波器的技术要求：数字滤波器的技术要求：dBeHeHdBeHeHspjjsjjp)()(lg20)()(lg2000数字滤波器的技术要求：数字滤波器的技术要求：通带内允许最大衰减通带内允许最大衰减ap ,阻带内允许最小衰减阻带内允许最小衰减as :dBeHdBeHspjsjp)

7、(lg20)(lg20将将 归一化为归一化为1，)(0jeH当当 = c 时，时，22)(cjeHdBeHcj3)(lg20 c 称为称为3dB通带截止频率通带截止频率数字滤波器设计方法概述：数字滤波器设计方法概述：IIR滤波器的设计方法：滤波器的设计方法：（1）借助于模拟滤波器的设计方法。）借助于模拟滤波器的设计方法。（2）在）在Z平面直接应用最优化程序实现。平面直接应用最优化程序实现。FIR滤波器的设计方法：滤波器的设计方法：窗函数法，频率采样法，切比雪夫等窗函数法，频率采样法，切比雪夫等波纹逼近法。波纹逼近法。本章只介绍本章只介绍IIR滤波器的设计方法。为此，先介绍滤波器的设计方法。为此

8、，先介绍模拟低通滤波器的设计。模拟低通滤波器的设计。6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计介绍几种常用滤波器的特点及其设计方法。介绍几种常用滤波器的特点及其设计方法。 (1) 巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器：滤波器： 其特点是其特点是从通带中心向两边幅频特性单调下降。从通带中心向两边幅频特性单调下降。(2) 切比雪夫切比雪夫型型(Chebyshev)滤波器：滤波器： 通通带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的幅频特性函数。幅频特性函数。(3) 切比雪夫切比雪夫型型(Chebyshev)滤波器：滤波器： 通通带内有单调下降的幅

9、频特性函数，阻带内有等波纹带内有单调下降的幅频特性函数，阻带内有等波纹幅频特性函数。幅频特性函数。(4) 椭圆滤波器椭圆滤波器(又称考尔又称考尔(Cauer)滤波器或双滤波器或双切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器)： 通带和阻带内均有等波纹幅频通带和阻带内均有等波纹幅频特性。特性。(5) 贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器(又称最大平坦群时又称最大平坦群时延滤波器延滤波器)： 其特点是在其特点是在0附近逼近线性相位特性。附近逼近线性相位特性。 可以证明，一个系统函数不能同时逼近理想滤可以证明，一个系统函数不能同时逼近理想滤波器的幅度特性和相位特性。波器的幅度特性和相位特性。 以上以上5种典型滤

10、波器中，前种典型滤波器中，前4种是逼近幅度特性，种是逼近幅度特性，第第5种逼近相位特性。对相同的指标要求，对前种逼近相位特性。对相同的指标要求，对前4种种幅度特性逼近滤波器，巴特沃斯滤波器阶数最高，幅度特性逼近滤波器，巴特沃斯滤波器阶数最高，切比雪夫次之，椭圆滤波器阶数最低。当阶数相同切比雪夫次之，椭圆滤波器阶数最低。当阶数相同时，巴特沃斯滤波器截止特性最平坦时，巴特沃斯滤波器截止特性最平坦(过渡带最宽过渡带最宽)，椭圆滤波器截止特性最陡峭椭圆滤波器截止特性最陡峭(即过渡带最窄即过渡带最窄)。一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法1.模拟低通滤波器的性能指

11、标模拟低通滤波器的性能指标（频域）（频域）通带截止频率通带截止频率 p，通带内允许的最大波动或衰减，通带内允许的最大波动或衰减 p阻带下限（起始）频率阻带下限（起始）频率 s，阻带内允许的最小衰减，阻带内允许的最小衰减 s1|Ha(j )|通通带带过过渡渡带带阻阻带带 p s设计一个设计一个Ha(s)使其满足给定的性能指标使其满足给定的性能指标0模拟低通滤波器的幅频特性模拟低通滤波器的幅频特性dBjHdBjHsaspap22)(lg10)(lg10dBjHjHpaap)()0(lg20ap：通带内允许最大衰减系数：通带内允许最大衰减系数as：阻带内允许最小衰减：阻带内允许最小衰减 系数系数dB

12、jHjHsaas)()0(lg20将将 归一化为归一化为1，)0(aH当当 = c 时，时，22)(cajHdBjHca3)(lg20 c 称为称为3dB通带截止频率通带截止频率2. 模拟低通滤波器逼近方法模拟低通滤波器逼近方法由幅度平方函数确定系统函数由幅度平方函数确定系统函数A2( ) Ha(s)A2( )= |Ha(j )| 2= Ha(j ) Ha*(j ) h(t)为实函数为实函数Ha(j ) Ha(-j )=Ha(s) Ha(-s)|S=j 幅度平方函数的零极点分布特点（象限对称）幅度平方函数的零极点分布特点（象限对称） 对于典型滤波器，都有自己的幅度平方函数表达式。对于典型滤波器

13、，都有自己的幅度平方函数表达式。寻找满足给定指标的幅度平方函数。寻找满足给定指标的幅度平方函数。零极点的选择：零极点的选择：极点极点因为稳定系统的极点应位于因为稳定系统的极点应位于s平面的左半面平面的左半面左半面左半面的极点的极点Ha(s)右半面右半面的极点的极点Ha(-s)零点零点左半面左半面的零点的零点Ha(s)最小相位系统最小相位系统任一半任一半面零点面零点Ha(s)一般系统一般系统2. 模拟低通滤波器逼近方法模拟低通滤波器逼近方法二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法幅度平方函数幅度平方函数NcajHA222)(11)()(式中：式中：N为滤波器的阶数，为滤波

14、器的阶数， c 为为3dB为截止频率为截止频率由于由于dBjHjHcaa3)()0(lg20和和所以所以 c又称为又称为3分贝带宽，或振幅响应跌至分贝带宽，或振幅响应跌至-3dB处的频率处的频率211()()0.70722cacAHj巴特沃斯滤波器的幅度特性巴特沃斯滤波器的幅度特性0N=2N=4N=80.7071 c |Ha(j )|当当 c 确定时，确定时，N越大，幅度下降的速度越快，越大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄。过渡带越窄。NcajH22)(11)(巴特沃斯滤波器的幅频响应特点巴特沃斯滤波器的幅频响应特点有最大的平坦响应（又称有最大的平坦响应（又称“最最平平”幅频响应滤波器。幅频响

15、应滤波器。阻带内的逼近是单调变化的。阻带内的逼近是单调变化的。N增加时，幅频特性变陡，但增加时，幅频特性变陡，但不论不论N为多大，特性曲线都通为多大，特性曲线都通过过 c ,0.707（-3dB）点。点。零极点分布特点零极点分布特点A2( ) Ha(s)导出导出NcaajssHsH2)(11)()(极点极点) 12( , 2 , 1 , 0)() 1(2122121NkejsNkjccNk零极点分布特点零极点分布特点 N=4均匀分布在半径为均匀分布在半径为 c的圆周上，间隔为的圆周上，间隔为 /N 弧度，弧度，且成共轭对出现；且成共轭对出现；虚轴上无极点，虚轴上无极点，N为奇数时，实轴上有极点

16、；为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上无极点。为偶数时，实轴上无极点。 j S平面平面21221NkjckesA2( ) Ha(s)导出导出取左半平面上的极点作为取左半平面上的极点作为Ha(s)的极点的极点10( )()NcaNkkHsss只要确定只要确定 c和阶数和阶数N就可确定就可确定Ha（s）) 1( , 2 , 1 , 021221NkesNkjck归一化原型滤波器归一化原型滤波器为使设计统一，将所有频率对为使设计统一，将所有频率对3dB截止频率截止频率 c归一化，归一化后的低通滤波器归一化，归一化后的低通滤波器NkkapppH0)(1)(cspaapHsH| )()(1, 1

17、, 0,21221NkepNkjk归一化极点归一化极点归一化原型滤波器归一化原型滤波器将截止频率将截止频率 c归一化的低通滤波器归一化的低通滤波器NNNappbpbpbbpH1122101)(cspaapHsH| )()(N确定后，可查表求得系统函数表达式确定后，可查表求得系统函数表达式巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计（1）首先确定性能指标：）首先确定性能指标：通带中允许的最大衰减通带中允许的最大衰减 p和通带截止频率和通带截止频率 p；阻阻带中允许的最小衰减带中允许的最小衰减 s和阻带截止频率和阻带截止频率 s；)(1lg10)(1lg102caspapjHjH 巴特沃斯低通

18、滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计确定阶数确定阶数N:spspKNlglg滤波器的阶数滤波器的阶数110110,10/10/spsppsspK令令10210)(1saNcs同理同理可推出可推出110110)(10/10/spNsp1021 . 02210)(110)(1)(1lg10ppaNcppapapjHjH3dB通带截止频率通带截止频率 c:巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计Napcp211 . 0) 110(Nascs211 . 0) 110(或或（2）确定归一化传递函数）确定归一化传递函数Ha(p)。（3）去归一化。）去归一化。阻带指标有富裕量阻带指标有富裕量通带指标

19、有富裕量通带指标有富裕量三、切比雪夫低通滤波器的设计方法三、切比雪夫低通滤波器的设计方法特点特点:在一个频带中在一个频带中(通带或阻带通带或阻带)具有等波纹特性具有等波纹特性用一个独立的参数控制通带波纹用一个独立的参数控制通带波纹.I型型:通带等波纹通带等波纹,阻带单调阻带单调;II型型:阻带等波纹阻带等波纹,通带单调通带单调20通通带带过过渡渡带带ps2111N为奇数为奇数切贝雪夫切贝雪夫 低通滤波器低通滤波器幅度平方函数幅度平方函数)(11)()(2222pNaCjHA其中其中:p通带截止频率通带截止频率(预先给定预先给定); -小于小于1的正数的正数(控制控制通带波纹的大小通带波纹的大小

20、);CN(x)-N阶切贝雪夫多项式阶切贝雪夫多项式CN(x)-N阶切贝雪夫多项式阶切贝雪夫多项式1),(1),arccoscos()(xArchxNchxxNxCN当当0N1N2N3N1)(0 xCxxC)(112)(22 xxCxxxC34)(34归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式：归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式：)()(2)(11xCxxCxCNNNN=0，4，5切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线0)(xCNx1-1-11)(5xC)(4xC)(0 xC1.零值在零值在|x| 1间隔内。间隔内。2.当当|x| 1，|CN(x)| 1。3.当当|x|1，CN(x) 是双曲函数。是双曲函

21、数。当当|x| 1，222)(0 xCN2221)(11xCN1)(1111222xCN即在即在0， p范围内，范围内，1)(1122A当当 p，0)(2AppNxCA1,)(11)(222由而20p2111N=4巴特沃斯巴特沃斯N=4切比雪夫切比雪夫同阶的切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄同阶的切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡特性。的过渡特性。其幅度平方函数与三个参数有关：其幅度平方函数与三个参数有关： ， p，N)(11)()(2222pNaCjHA1. 确定确定 定义定义min2max2)()(lg10AA1)(1122A因为因为）（21lg101101 . 022. 确定阶

22、数确定阶数N)(11)(222psNsCA令令pss由由1s1)(11)()(2sssNAArchNchC 是通带那允许的波动大小。是通带那允许的波动大小。1)(11)()(2sssNAArchNchC)(1)(112ssArchAArchN1)(1112spsAArchNch或或3. 确定确定3dB截止频率截止频率 c由由，)(1121)(222cNcCApcc1)(22cNC通常通常1c)(1)(ccNArchNchC上式仅取正号，得上式仅取正号，得)1(1ArchNchpc以上参数确定后，可以求出以上参数确定后，可以求出N个极点的位置，从而个极点的位置，从而综合出传递函数综合出传递函数H

23、a(s)。切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器Ha(s)的极点：的极点：NiNichNichpipi, 2 , 1,2) 12(cos2) 12(sin式中式中)1(1ArshNiiijs归一化切比雪夫滤波器归一化切比雪夫滤波器Ha(p)NiiNapppH11)(21)(2) 12(cos2) 12(sinNijchNichpi去归一化切比雪夫滤波器去归一化切比雪夫滤波器Ha(s)NipiNNpapssH11)(2)(式中式中)1(1ArshN切比雪夫滤波器的设计步骤：切比雪夫滤波器的设计步骤：1. 确定技术要求确定技术要求,ssppaa22)(1lg10,)(1lg10ssppAaAa2. 确定确定

24、N和和 1101 . 02)(1101101 . 01 . 0saaArchArchNpsNiiNapppH11)(21)(2) 12(cos2) 12(sinNijchNichpi切比雪夫滤波器的设计步骤：切比雪夫滤波器的设计步骤：3.归一化切比雪夫滤波器归一化切比雪夫滤波器Ha(p)式中式中)1(1ArshN4.去归一化去归一化pspaapHsH)()(模拟高通, 带通, 带阻滤波器设计流程四. 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标,psps 频率转换频率转换低通滤波器技术指标,psps 得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换频率转换

25、pqspqj 想办法实现高通到低通的转换： 低通幅频低通幅频高通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标：,psps先作频率归一化：,1,1pps 1、模拟高通滤波器的设计10sp 01sp11或1 由：,1p 如何：( )G p( )H s（HP）实现：设计出( )G p（LP）111qjjpp :p:q归一化高通滤波器的复变量归一化低通滤波器的复变量11( )( )( )pqH qG pGqppsqjj/( )( )|ppsH sG p得：于是可得到模拟高通滤波器的转移函数 后面带通、带阻滤波器和低通滤 波器的转换过程大体相同。对带通滤波器，如何实现频率的归一化定义：有 ：31BWBW 用带宽

26、归一化2、模拟带通滤波器的设计然后要实现带通滤波器技术指标到低通的转换。关键问题是找到 对应关系： 定义 中心频率：2213 221312300sppsslsh2231/22p311,1p22221331()sps 由 于2222222213222( / )( / )()()( /)BWBWBWqjpjjjqjsqqs 所以有21 3()31( )( )spsH sG p 可得N阶低通滤波器转换到带通后, 阶次变为2N.带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波器定义：有 ：31BWBW 3、模拟带阻滤波器的设计2132000slshspps22/1322p312221,1,p31213)(ssp31

27、213)(| )()(ssppGsH得到：及带阻滤波器的转移函数： 以上讨论的是模拟低通、高通、带通及带阻滤波器的设计，然而这并不是我们的目的。我们的目的是设计数字滤波器。首要的问题是如何将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，最后再实现模拟滤波器到数字滤波器的转换。频带变换频带变换 S S数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换设计步骤设计步骤模拟低通滤模拟低通滤波器设计波器设计滤波器变换滤波器变换 S Z频带变换频带变换 Z Z或或模拟低通滤模拟低通滤波器设计波器设计滤波器变换滤波器变换 S Z数字低通数字低通数字高通、数字高通、数字带通、数字带通、数字带阻。数字带阻。6.3 脉

28、冲响应不变法脉冲响应不变法设计过程：设计过程：1. 按技术要求设计模拟低通滤波器，得到按技术要求设计模拟低通滤波器，得到Ha(s)。2. 再按一定的转换关系将再按一定的转换关系将Ha(s) 转换成数字低转换成数字低通滤波器的系统函数通滤波器的系统函数H (z) 。模拟低通滤波器模拟低通滤波器Ha(s)数字低通滤波器数字低通滤波器H(z)两个基本条件：两个基本条件：因果稳定的因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的应能映射成因果稳定的H(z) Ha(s)的极点位于平面的左半平面；的极点位于平面的左半平面； H(z)的极的极点位于点位于z平面单位圆内。平面单位圆内。2. 数字滤波器的频率响应模仿模

29、拟滤波器的频响数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法变换方法变换方法Res0 |z|= /T= s/2才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混迭失真，现模拟滤波器的频率响应，而不产生混迭失真，即即),(1)(TjHTeHaj混迭失真混迭失真模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法设设 系统函数系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假只有单阶极点，且假 定分母的阶次大于分子的阶次定分母的阶次大于分子的阶次)()()()()(zHnThnhthsHaaa则则Nitsi

30、aNiiiatueAthssAsHi11)()()(根据脉冲响应不变法根据脉冲响应不变法)()()()(1nueAnThnhNinTsiaiNiTsinnzeAznhzHi111)()(NiTsiNiiiazeAzHssAsHi1111)()(S平面单阶极点变换到平面单阶极点变换到z平面上平面上 处处的单阶极点；的单阶极点；Tsiez Ha(S) 与与H(z)的部分分式系数是相同的；的部分分式系数是相同的；如果如果Resi0,则则 ；1ReTsTsiiee虽然脉冲响应不变法能保证虽然脉冲响应不变法能保证s平面极点与平面极点与z平平面极点有这种代数对应关系，但并不保证面极点有这种代数对应关系，但

31、并不保证s平面与平面与z平面有这种代数对应关系，如零点平面有这种代数对应关系，如零点就没有这种对应关系。就没有这种对应关系。模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法),(1)(TjHTeHaj由上式可知，数字滤波器的频率响应与抽样间隔由上式可知，数字滤波器的频率响应与抽样间隔成反比，当成反比，当T很小时，数字滤波器的增益会太高，很小时，数字滤波器的增益会太高，修正如下：修正如下： h(n)=T ha (nT)NiTsizeTAzHi111)()/()(TjHeHaj修正后的数字滤波器的系统函数修正后的数字滤波器的系统函数修正后的数字滤波器的系统函数修正后的数字滤波器的系统函数因为因为ha(

32、t)是实数是实数所以所以Ha(s)的极点必成共轭对存在，一对复数的极点必成共轭对存在，一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为：如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为：)11. 3 . 6(,)(1121211jss极点为相应的数字滤波器二阶基本节的形式为：相应的数字滤波器二阶基本节的形式为：)12. 3 . 6(cos21cos1111221111TTTezTezTez修正后的数字滤波器的系统函数修正后的数字滤波器的系统函数如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为：如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为：)13. 3 . 6(,)(

33、1121211js极点为相应的数字滤波器二阶基本节的形式为：相应的数字滤波器二阶基本节的形式为：)14. 3 . 6(cos21sin111221111TTTezTezTez脉冲响应不变法的优缺点：脉冲响应不变法的优缺点：1、使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模、使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的脉冲响应，即时域逼近良好。拟滤波器的脉冲响应，即时域逼近良好。2、模拟频率和数字频率呈线性关系、模拟频率和数字频率呈线性关系 = T。因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。个线性相位的数字滤波器。3、因为有混迭效应，所以脉冲响应

34、不变法只、因为有混迭效应，所以脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，高通和带阻滤波适用于限带的模拟滤波器，高通和带阻滤波器不宜采用此方法。器不宜采用此方法。 带通和低通滤波器需充分限带。带通和低通滤波器需充分限带。变换原理变换原理为了克服频率响应的混迭失真（为了克服频率响应的混迭失真（s平面到平面到z平面的多平面的多值映射造成的）。值映射造成的）。是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器频是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器频率响应相似的一种变换方法。率响应相似的一种变换方法。将将s平面压缩变换到某一中介平面压缩变换到某一中介s1平面的一条横平面的一条横带里。带里。再通过再通过Tsez1将此横条

35、变换到整个将此横条变换到整个z平面平面S平面与平面与z平面是一一映射的关系平面是一一映射的关系6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器01j1/T-/TS平面平面RezjImZ01-1z平面平面S1平面平面0j双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系思路：思路：利用正切函数的性质利用正切函数的性质/2- /2xy=tgx通过变换关系通过变换关系双线性变换法的原理双线性变换法的原理11()(),222Ttgtgtg - 0),(),(),(1TT双线性变换法的原理双线性变换法的原理11()(),222Ttgtgtg S平面整个平面整个j 轴轴Z平面的单位

36、圆周平面的单位圆周jjeejj11cossin22令令S=j 则则通过标准变换通过标准变换 z=esT =eJ T =eJ 所以所以sszzzs11,1111双线性变换法的原理双线性变换法的原理为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入待定常数任一频率有对应关系，引入待定常数CC的选择的选择在低频处有较确切的对应关系在低频处有较确切的对应关系C=2/T使数字滤波器的某一特定频率使数字滤波器的某一特定频率( c)与模与模拟滤波器的一个特定频率拟滤波器的一个特定频率( c)严格对应严格对应双线性变换法的原理双线性变换法的原理()2C t

37、g (),()22ccccC tgCctg 优点优点避免了频率混迭现象避免了频率混迭现象可以调节频带间的对应关系可以调节频带间的对应关系缺点缺点频率之间的关系非线性频率之间的关系非线性线性相位的滤波器经双线性变换后，线性相位的滤波器经双线性变换后，得到非线性相位的数字滤波器得到非线性相位的数字滤波器要求模拟滤波器的幅频响应必须是要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数的分段常数的双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点)11()()(111111zzCHsHzHazzCsa利用双线性变换将模拟滤波器数字化的方法利用双线性变换将模拟滤波器数字化的方法双线性变换法设计数字滤波器双线性变换法设计数字滤

38、波器性能指标性能指标将数字域的性能指标转变为模拟滤波器的性能指标将数字域的性能指标转变为模拟滤波器的性能指标计算模拟滤波器所需阶数计算模拟滤波器所需阶数N及及3dB截止频率截止频率 c查表求出归一化系统函数查表求出归一化系统函数,然后去归一化得然后去归一化得由双线性变换法将模拟滤波器数字化由双线性变换法将模拟滤波器数字化)11()()(111111zzCHsHzHazzCsa2()2tgT 总总 结结由模拟滤波器设计数字滤波器由模拟滤波器设计数字滤波器IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法 数字滤波器的设计数字滤波器的设计小结小结设计

39、低通数字滤波器的步骤设计低通数字滤波器的步骤确定数字低通滤波器的性能指标确定数字低通滤波器的性能指标确定对应的模拟低通滤波器的性能指标确定对应的模拟低通滤波器的性能指标将数字滤波器的边界频率将数字滤波器的边界频率 k转换成模拟滤波器的转换成模拟滤波器的相应的边界频率相应的边界频率 k。数字角频率与模拟角频率的转换关系数字角频率与模拟角频率的转换关系双线性变换法双线性变换法： k= 2/Ttg( k/2)脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： k= kT设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器Ha(s)利用脉冲响应不变法或双线性变换法将利用脉冲响应不变法或双线性变换法将Ha(s)转换成转换成对应的数字滤波器对应的数字滤波器H(z).例例6.4.2已知已知 p=0.2 , s=0.3 ,通带和阻带的截止频率通带和阻带的截止频率通带最大衰减通带最大衰减 p15dB求求脉冲响应不变法设计数字巴特沃脉冲响应不变法设计数字巴特沃斯低通滤波器斯低通滤波器双线性变换法设计数字巴特沃斯双线性变换法设计数字巴特沃斯低通滤波器低通滤波器解解:性能指标性能指标数字域数字域:1)(lg201)()(lg200ppjjjeHeHeH15)(lg2015)()(lg200ssjjjeHeHeH脉冲响应不变法脉