电子科技大学大学物理杨宏春刚体力学PPT学习教案

1、会计学1电子科技大学大学物理杨宏春刚体力学电子科技大学大学物理杨宏春刚体力学3.1 力矩的瞬时效应刚体转动定理3.1.1 描述刚体力学的物理参量角参量 (角位移、角速度、角加速度)；线参量与角参量的关系 (参第 1 章)(1) 描述刚体转动的角参量(2) 改变刚体转动状态的参量力矩力臂：力与转轴的距离力矩：力与力臂的矢积FrM 或 zyxzyxFFFzyxeeeM (3) 保持刚体转动状态的参量转动惯量参下节内容第1页/共38页3.1.2 绕固定转轴转动的刚体转动定理(1) 物理模型对固定转轴刚体，只有分解到 xoy 平面的切向的分力，才影响转动状态绕定轴转动刚体受力分析 x Fi y z o

2、 ri fji rj 切向分力影响刚体转动状态第2页/共38页(2) 绕定轴转动的刚体转动定理 x Fi y z o ri fji rj 设位矢 ri 的质点受到质点 j 内力 fji，受到合外力为 Fi，由牛顿第二定律iijijiiiamfF dsinsin 刚体绕固定z 轴转动 iira iiijijiiirmfF dsinsin 将上式两边同时乘以 ri 并利用矢量矢积的定义有 2diijijiiirmfrFr 考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力 jijijifrfr 上式成为 iiiiirmM 2d当微元趋于无限小时 VmrMd2 第3页/共38页定义转动惯量 VmrId2绕定轴转

3、动的转动定理 IM A 转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态惯性的量度B 绕定轴转动的转动定律适用条件：惯性系3.1.3 刚体转动惯量的计算例3.1.1 质量相等的三小球等间距分布在x-y平面角平分线上并绕 y 轴转动求：系统的转动惯量 x y m a o 解：由 iiirmI22222732222222maaaamI 第4页/共38页例3.1.2 线密度为 、质量为 m 的均匀细杆与转轴的夹角为求 其转动惯量 解：由 VmrId2在杆上 l 处任取微元 dmlmdd x y m o dm r 22302022sin31)(sin31d)sin(d0mllllmrIlV 而杆的总长度 ml

4、 0例3.1.3 杆上等间距地套上三个质量都等于杆的质量的小球，系统定轴转动求：系统的转动惯量 解：杆的转动惯量 2221sin31dmlmrIV 第5页/共38页三个小球的转动惯量 2227marmIii 系统的转动惯量 22221sin317mlmaIII 例3.1.4 转动惯量的平行轴定理 Ic 过质心转轴的转动惯量，l 是与过质心转轴平行、相距为 l 另一转轴 2mlIIc l Ic I l rc r 证明 VVmrrmrId)(d2 VccVccmlrlrmlrlrd)2(d)()(22 VccmrlmlId22质心坐标求解方法 mrrVcd Ic是过质心转轴的转动惯量2mlIIc

5、第6页/共38页例3.1.5 垂直轴定理：平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴的转动惯量，等 于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和 yxIII 证明 VVmrrmrId)(d2 Vyxyxmeyexeyexd)()(yxVIImyx d)(22 z x y o 例3.1.6 求均匀分布、质量为 m 的球体绕其直径作定轴转动的 I解：球体的质量密度 343RmVm 采用球坐标系rrVmdddsindd2 第7页/共38页 ddsin2dddsin)sin(d34222rrrrrmrIVV52158cosd )cos1(5225025mRRR 课后作业：一些常见物体的转动惯量计算

6、(参教材 p99-p100)3.1.4 绕定轴转动的转动定理的应用 例3.1.6 电风扇开启电源经 t1 达到额定转速0，关闭电源时经 t2 停止；设电 风扇的转动惯量为 I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量求：电机的电磁力矩 解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为 M、Mf 电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即 第8页/共38页1 IMMf 当电风扇达到额定转速时 110t 电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即 2 IMf 达到停止时 0220 t 解此联立方程组，得 )11(210ttIM 例3.1.7 质量为 M、半径为 R 的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平定 轴转动；

7、柱边缘绕有一根不能伸长的细绳下端挂一质量为 m 的物体求：柱体的角加速度及绳中的张力第9页/共38页解：用隔离体法maTmg 对m对柱 RaITR ，解得)2/(2RMmmg )2/(MmMmgT 例3.1.8 可绕水平光滑轴转动的匀质圆盘质量分别为 m1=24 kg ， m2=5 kg， 一轻绳一端缠绕于m1上，另一端经 m2 链接 m=10 kg 的物体求：物体 m 由静止开始下落 h=0.5 m 时，物体的速度及 绳的张力 解：各物体受力情况如图所示1211121 RmRTm ：22212221 rmrTrTm ：maTmgm 2：ahrRa2221 v， 第10页/共38页求解联立方程

8、，代入数据，可得NTNTsm5848/221 ，v例3.1.9 质量为 m、长为 l 的均匀细棒 AB，可绕水平光滑轴 o 在竖直平面内 转动，o 轴离 A 端的距离为 l/3，棒从静 止开始由水平位置绕 o 轴转动求：棒转过角 时的角加速度和角速度。 解：各物体受力情况如图所示 cos6lmgMo 22291)6(121mllmmlIo cos23lgIMoo 第11页/共38页 cos23ddddddddlgtt 又因所以 dcos23d00 lg积分得lg sin3 例3.1.10 质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴 以 o 转动。现将盘置于摩擦系数为的 粗

9、糙水平桌面上求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解：摩擦力分布在整个盘面上，取半径为 r、宽为dr 的微元，摩擦力矩为mgRrrRmgrMR 32d202 第12页/共38页221mRI 转动惯量RgIM34 于是得00 t gRt 4300 gRNoo 1632222 又由，所以停下来前转过的圈数为 2202第13页/共38页3.2 力矩的时间累积效应角动量定理3.2.1 描述力矩时间累积效应的物理参量(1) 冲量矩tMJdd 21dtttMJ或 记讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充) 力矩在时间上的累积矢量，称为冲量矩(2) 角动量定理与角动量)(dddItMJ 112

10、221dIItMJtt 其中，I1、1 和 I2、2 分别表示始末状态的转动惯量与角速度 定义刚体绕定轴转动的角动量IL 第14页/共38页LJdd 于是12LLJ 讨论：关于角动量与角动量定理 (1) 角动量的其它表述形式 因 2rrv LrmJd)d(d v于是即角动量可以定义为 v rmL角动量的普遍定义式 (2) 冲量矩、角动量与角动量定理的矢量性与独立性 zttzyttyxttxzzyyxxe tMe tMe tMeJeJeJJ 212121ddd222zyxJJJJ 第15页/共38页(3) 适用条件。其适用条件仍然是惯性系(4) 角动量定理中的力矩只有外力矩(5) 角动量守恒定律

11、：当外力冲量矩的矢量和为零时，角动量保持不变1122II 例3.2.1 当 I1=I2 时， 0 ，刚体做匀角速度转动 当 I 变化时， 现象解释2112 II第16页/共38页3.2.2 角动量定理的应用例3.2.2 匀质园盘 (m、R) 与一人(m/10，视为质点) 一起以角速度 0 绕通过其 盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率 v、沿半径为 R/2 的园周运动 (方向与盘转动方向相反) 求 (1)圆盘对地的角速度 (2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？解：系统：圆盘+人 0 R/2 )2()2(1021)21(102122022RRmmRRmmRv 解出R21

12、20v 第17页/共38页得0221 R v负号表示人的运动方向与 0 方向相同(2) 欲使盘静止，令02120 Rv 解：绳的拉力的作用线通过 o 点，对 o 点的角动量守恒例3.2.3 细绳一端系有置于水平桌面、质量 m 的小球，另一端穿过桌面小孔 o 并用力往下拉住。设开始时小球以0 绕孔o 作半径 r 的匀速圆周运动, 现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为 r/2 止求：这一过程中拉力的功02024)2/( rmmr第18页/共38页202202222321)2(21 mrmrrmA 由动能定理，拉力的功为例3.2.4 质量、半径分别为 M1、M2 和 R1、R2 的两均匀圆柱

13、各自绕相互平行 中心轴转动，开始时角速度分别为1、2，现将它们缓慢移近并接触 求：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度 解：在两圆柱体之间的摩擦力作用下，最终线速度相等 R1 M1 M2 R2 2 1 2211RR 由角动量定理 )(d11101 ItfRt)(d22202 ItfRt第19页/共38页 R1 M1 M2 R2 2 1 圆柱的转动惯量 211121RMI 222221RMI 联立求解方程 )(2112221111MMRRMRM )(2121112222MMRRMRM 讨论：(1) 关于连接条件 (2) 连接体的角动量守恒问题，角动量应守恒吗？ 系统初始状态的角动量

14、L1 为 )(222212111 RMRML 系统末状态的角动量 L2 为 第20页/共38页222212112 RMRML联立求解方程 摩擦力冲量矩的代数和并不为零 不是绕同一固定轴转动 R1 M1 M2 R2 2 1 2122222122122212121122)(MMRMRRRRMMLL (不一定等于零)例3.2.5 人们把物体所受的指向同一固定点的作用力称为有心力或中心力证明：(1) 在有心力作用下运动的物体，角动量守恒； (2) 有心力是保守力，在有心力场中运动的质点机械能守恒； (3) 隆格楞茨矢量 守恒； (4) 中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动 rrkLB v第21页/共

15、38页证明：(1) 有心力场中有心力对质点产生的力矩为零，故角动量守恒 (2) 有心力可表示为 0rFF 质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做的功 )()()dd()(120021rUrUnrrrrrFArrnr 其中，势能 rrrrFrU0d)(受力物体与有心力场场源构成的系统只受到保守力作用，机械能守恒 (3) 对平方反比有心力02rrkF 其中，k为常数。考察 第22页/共38页LttLLtLt dddddd)(ddvvvv)()()(dd02vvvv rrrkrFrtm trrtrrrkrrrrkrdd1dd223vv )()()(33rrrrrkrrrk vvv )(d

16、ddd1)1(ddrrtktrrrtrk 即 0)(dddd rrkLttBv或 rrkLB v=常数 第23页/共38页(4) 为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动krmLkrrLkrLrBr 2)()(vv另一方面 cosrBBr cos1 pr其中 kmLp2 kB =常数 =常数 上式是极坐标下的圆锥曲线方程(当 1 时，为椭圆方程) 计算单位时间扫过的面积 (开普勒第二定律) mLrtrrts221d2ddd v=常数 B v ds o 第24页/共38页例3.2.6 1970年我国发射的第一枚地球卫星的数据如下：质量 m=173 kg，周 期 T=114 min，近

17、日点距地心 r1=6817 km，远地点距地心 r2=8762 km， 椭圆轨道半长轴：a=7790 km，椭圆轨道半短轴：b=7720 km 求：卫星的近地速度和远地速度 v2 ds o v1 r1 r2 r r+dr 解：卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒，设卫星近地速度为 v1，方向与 r1垂直；远地速度为 v2，方向与 r2垂直 于是 TrTrs21112121vv 21112121ddvvrrts =常数 1 . 822111 TrabTrsvkm/s 3 . 622222 TrabTrsvkm/s 在上面式子中，利用了椭圆面积功式 s=ab 第25页/共38页(2) 回转仪刚体进动

18、回转仪构造回转仪工作原理dLOmgLdrcdLd第26页/共38页3.3 力矩的空间累积效应刚体的机械能守恒定律 3.3.1 描述刚体空间累积效应的物理参量 设 eFeFFrr errdd 质点在合外力作用下所作的功 21d MA积分形式 ddsindd MrFrFA微分形式(1) 力矩的功 x F y z o dm 讨论：A 内力所作功之和为零 B 力矩作功的正负符号规定 C 力矩作功的功率 MtMtApdddd第27页/共38页(2) 刚体的势能与势能定理 结论：刚体的势能等于刚体质心的质点的势能势能定理：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值)(papbabEEA 案例：重力势能

19、cVpmghmmhmgmmmghVghE ddd (3) 刚体的动能与动能定理 ttIIAMAddddddd 21222121d21 IIIA 积分形式 )21(ddd2 IIA 微分形式 第28页/共38页定义绕固定转轴转动的刚体动能 221 IEk 绕固定转轴转动的刚体的动能定理 kEAdd 0kkEEA 3.3.2 刚体的功能原理与机械能守恒定律 定义刚体动能与势能之和为刚体的机械能 pkEEE 考虑到刚体内力不做功0EEA 外外功能原理：外力矩对刚体所做的功，等于刚体机械能的增量3.3.3 刚体功能原理的应用 (1) 刚体功能原理的应用 第29页/共38页例3.3.1 质量、半径相同的

20、圆柱、薄球壳、 球体从相同光滑斜面、相同高 度由静止无相对滑动下滑求：质心所获得的速度 解：将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒 无滑动的条件 Rc v222121 ccImmgh v对圆柱 221mRIc 对球壳232mRIc 对球体252mRIc 质心获得的速度分别为 ghc34 vghc56 vghc710 v第30页/共38页例3.3.2 质量为 m 的火箭以与地轴 oo 平行、速度 v0 发射，运动轨道与地轴 oo相交于距 o 为 3R 的C点。不考虑地球的自转和空气阻力求：火箭在C点的速度 v 与 v0 之间的夹角。(设地球的质量为M、半径为R) o O v A 解火箭运动过程

21、中机械能守恒 RMmGmRMmGm32121220 vv对 o 点的角动量守恒)43(3sin2020GMRR vv 解得 sin30RmRm vv第31页/共38页例3.3.3 质量 m、长 l 的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定 轴 o 转动；开始时，棒静止在竖直位置求：棒转到与水平面成 角时的角速度和角加速度 C hc o 解：取水平面为零势面，转动过程中机械能守恒221sin22 Ilmglmg 22231)2(121mllmmlI lg/ )sin1(3 cos23ddddddddlgtt 讨论：本题也可先由 求出，再用 积分求 IM td/d 第32页/共38页例3.3

22、.4 由弹簧、匀质滑轮和重物 M 组成的系统，该系统在弹簧为原长时被 静止释放；绳与滑轮无滑动求：(1) 重物 M 下落 h 时的速度；(2) 弹簧的最大伸长量解：(1) 系统在运动过程中只有重力和弹性力 作功，所以机械能守恒 222212121khIMMgh vrmrI v，221mMkhMgh2122 v(2) 令 M 的速度v=0，弹簧的最大伸长量为kMgh/2max 第33页/共38页例3.3.5 空心园环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动，转动惯量为 I0 ，半 径为 R，初始角速度为 0 。质量为 m 的小球静止在环的最高处 A 点， 由于某种扰动，小球沿环向下滑动求：小球滑到与环心 o 在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的 速度各为多少? (设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小)解：系统运动过程中角动量守恒；机械能也守恒上式中的 v 是小球相对于地的速度，它应为222)(BRvv )(2000mRII (1)2202002