第10章 第9课时 随机变量的期望与方差

1、第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率第第9课时随机变量的期望与方差课时随机变量的期望与方差 1了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差 2离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向义，因此求期望、方差是应用题的命题方向 请注意请注意 期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价

2、值，是高考的热点之一高考的的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题题 1期望与方差期望与方差 若离散型随机变量若离散型随机变量的概率分布为的概率分布为x1x2xnPp1p2pn标准差 () 2离散型随机变量的期望与方差具有下列性质离散型随机变量的期望与方差具有下列性质 (1)离散型随机变量离散型随机变量的期望的期望E()与方差与方差D()是一个是一个_，它们是随机变量它们是随机变量本身所固有的一个数字特征，它们不具有本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性随机性 (2)若离散型随机变

3、量的一切值位于区间若离散型随机变量的一切值位于区间a，b内，内，E()的的取值范围是取值范围是 . (3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的_，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度度数值aE()b平均水平 (4)若若ab，其中，其中是离散型随机变量，是离散型随机变量，a，b为常数，为常数，则则E() ，D() (5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E()的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非

4、负值值 (6)D()E( 2)(E()2aE()ba2D() 3常见离散型随机变量常见离散型随机变量的期望与方差的期望与方差 (1)两点分布：若随机变量两点分布：若随机变量满足满足P(1)p，P(0)1p，则则E() ，D() (2)二项分布：若随机变量二项分布：若随机变量B(n，p)，则，则E() ，D() pp(1p)npnp(1p) 1判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(打打“”或或“”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 (3)随机变量

5、的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小度越小 (4)在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得0分如果分如果某运动员罚球命中的概率为某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球，那么他罚球1次的得分次的得分X的的均值是均值是0.7. 答案答案(1)(2)(3)(4) 2设随机变量设随机变量B(n，p)，且，且E()1,6，D()1.28，则，则() An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn

6、7，p0.45 答案答案A 解析解析由由E()np1.6，D()np(1p)1.28，检验可知，检验可知n8，p0.2符合符合 3(2014陕西理陕西理)设样本数据设样本数据x1，x2，x10的均值和方差的均值和方差分别为分别为1和和4，若，若yixia(a为非零常数，为非零常数，i1,2，10)，则则y1，y2，y10的均值和方差分别为的均值和方差分别为() A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案答案A 4(2014上海黄浦二模上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色外某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的其他特征完全相同的8个乒乓球个乒乓球(其中其中3个是白色球，个是

7、白色球，5个是个是黄色球黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出每次摸出球后不放回球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量变量的数学期望值的数学期望值E()_. 解析解析的分布列为的分布列为 5随机变量随机变量的分布列如下：的分布列如下：101Pabc题型一题型一 期望、方差的性质期望、方差的性质 探究探究1若若是随机变量，则是随机变量，则f()一般仍是随机变量，在一般仍是随机变量，在求求的期望和方

8、差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求免再求的分布列带来的繁琐运算的分布列带来的繁琐运算(1)设非零常数设非零常数d是等差数列是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量的公差，随机变量等可能地取值等可能地取值x1，x2，x3，x19，则方差，则方差D()_.思考题思考题1 (2)袋中有袋中有20个大小相同的球，其中记上个大小相同的球，其中记上0号的有号的有10个，记个，记上上n号的有号的有n个个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个球，现从袋中任取一个球，表示所表示所取球的标号取球的标号 求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差

9、； 若若ab，E()1，D()11，试求，试求a，b的值的值 【解析解析】的分布列为的分布列为 【答案答案】E()1.5，D()2.75a2，b2或或a2，b4 例例2一口袋中装有大小相同的一口袋中装有大小相同的2个白球和个白球和4个黑球，每次从个黑球，每次从袋中任意摸出一个球袋中任意摸出一个球 (1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差个数的均值和方差题型二题型二 期望与方差的计算期望与

10、方差的计算 X的分布列为的分布列为 探究探究2求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值与方差的方法：的均值与方差的方法： (1)写出写出X的分布列；的分布列； (2)由均值的定义求由均值的定义求E(X)； (3)由方差的定义求由方差的定义求D(X)(2014天津理天津理)某大学志愿者协会有某大学志愿者协会有6名名男同学，男同学，4名女同学在这名女同学在这10名同学中，名同学中，3名同学来自数学名同学来自数学学院，其余学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这学院现从这10名同学中随机选取名同学中随机选取3名同学，到希望小学进名同学，到

11、希望小学进行支教活动行支教活动(每位同学被选到的可能性相同每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设设X为选出的为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量名同学中女同学的人数，求随机变量X的的分布列和数学期望分布列和数学期望思考题思考题2 【思路思路】(1)利用古典概型的概率公式求解；利用古典概型的概率公式求解； (2)先确定随机变量先确定随机变量X的所有取值，求出对应的概率，列出的所有取值，求出对应的概率，列出分布列，再代入随机变量的期望公式求解分布列，再代入随机变量的期望公式求解题型三题型三 二项分布的均

12、值与方差二项分布的均值与方差 探究探究3求随机变量求随机变量的期望时，可首先分析的期望时，可首先分析是否服从二项是否服从二项分布，若分布，若B(n，p)，则用公式，则用公式E()np求解，可大大减求解，可大大减少计算量少计算量思考题思考题3 考生甲正确完成题数的分布列为考生甲正确完成题数的分布列为 从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强强

13、【答案答案】(1)E()甲甲2，E()乙乙2(2)甲的实验操作能力甲的实验操作能力较强较强 1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值；的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期散程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节 2期望与方差的常用性质，掌握下述

14、有关性质，会给解题期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解题带来方便：带来方便： (1)E(ab)aE()b； E()E()E()； D(ab)a2D()； (2)若若B(n，p)，则，则E()np，D()np(1p) 1有有10件产品，其中件产品，其中3件是次品，从中任取件是次品，从中任取2件，若件，若X表示表示取到次品的个数，则取到次品的个数，则E(X)等于等于_ 答案答案B 3(2015衡水调研卷衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五号五辆消防车，分配到附近的辆消防车，分配到附近的A，B，C，D四个村子进行送水四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车中去防车中去A村的辆数为随机变量村的辆数为随机变量，则，则E()的值为的值为()答案D 4马老师从课本上抄录的一个随机变量马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分