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文档简介
1、2100 ,1500.2xtygt ( ),( ).xf tyg t参数方程的概念:参数方程的概念: 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标点的坐标 x,y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数 那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程,联系变数,联系变数 x, y 的变数的变数 t 叫做叫做参变数参变数,简称,简称参数参数。 并且对于并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上,都在这条曲线上, 1232tytx 124352tt
2、12362tat为为参参数数)ttytx(3412 )(cossin为参数为参数 yx)(212Ratatytx 为参数,为参数,21)2( xt圆的参数方程圆的参数方程复习:复习:1.圆的标准方程是什么?它表示怎样的圆?圆的标准方程是什么?它表示怎样的圆?(x-a)2+(y-b)2=r2,表示圆心坐标为,表示圆心坐标为 (a,b),半径为半径为r的圆。的圆。2.三角函数的定义?三角函数的定义?3.参数方程的定义?参数方程的定义?则设(终边上任意一点角,),rOPyxPxyryrxtan,sin,cos一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一
3、点的坐标x,y都是某个都是某个变数变数t的函数,即的函数,即为参数)ttgytfx()()(探求:圆的参数方程探求:圆的参数方程点点P在在P0OP的终边上的终边上, , 如图如图,设设O的圆心在原点的圆心在原点,半径是半径是r.与与x 轴正半轴的交轴正半轴的交点为点为P0 ,圆上任取一点圆上任取一点P,若若OP0 按逆时针方向旋转到按逆时针方向旋转到OP位置位置所形成的角所形成的角P0 OP =,求求P点的坐标。点的坐标。根据三角函数的定义得根据三角函数的定义得sin,cos.yxrrcos ,sin .xryr ( cos ,sin ).P rr 解解: :设设P(x,y),(1) 我们把方
4、程组我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为叫做圆心为原点、半径为r的的圆的参数方程。圆的参数方程。 其中参数其中参数表示表示OP0到到OP所成旋转角,所成旋转角, 。020Mcos,sinxyttrrcos()sinxrttyrt为参数cos()sinxryr为参数cos()sinxryr为参数)(sincos为为参参数数 rbyrax ),(1baO1.写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为 :_;3(2)圆心为圆心为(-2,-3),半径为半径为1: _.3x = cosy = sin3x =-2+cosy =-3+sin2.若若圆的参数方程为圆
5、的参数方程为 ,则其标准则其标准方程为方程为:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的则它的参数方程为参数方程为_.x =1+2cosy =-3+2sin sin3cos1yx.,)20 ,(sin3cos2)3 , 1(),223,2(),0 , 2(出它对应的参数值出它对应的参数值求求若在曲线上若在曲线上上上为参数为参数是否在曲线是否在曲线判断点判断点 yxCBA 例例2 如图如图,圆圆O的半径为的半径为2,P是圆上的动点,是圆上的动点,Q(6,0)是是x轴上的定点,轴上的定点,M是是PQ
6、的中点,当点的中点,当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时,求点运动时,求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQxOP2cos62sin3cos ,sin22xy3cos ,()sin .xy为参数33(1 2cos ) ( 2 2sin )15 6cos2sin5 2 10cos()(tan)3Sxy 所以maxmin52 10,52 10SS4)2()1(22 yxyxS 312cos ,()22sin .xy 为参数cos2(sinxyyx33322(5)(4)xy2cossinxy2224cos4sin30(0)xyRxRyRR2222xy2cos12sin1xy23AM
7、AP 2(4cos12,4sin )32216xyxOP884cos ,sin33xy84cos ,3()8sin .3xy为参数xyAOP AQ:QP=2:14)4()3(22 yx22PBPA sin24cos23yx 22PBPA2222)sin24()cos22()sin24()cos24( )sin4cos3(860 )sin(4060 3cos ,()sin .xy为参数(1 1)参数方程通过消元(代入消元、加减消元、利用三角恒等)参数方程通过消元(代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等)消去参数化为普通方程。式消元等)消去参数化为普通方程。如:如:参数方程参数方程.sin,co
8、srbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程(t为参数)可得普通方程y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,(x0 x0)。)。注意:注意: 在参数方程与普通方程的互化中,必须使在参数方程与普通方程的互化中,必须使x x,y y的取值范的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的围保持一致。否则,互化就是不等价的. 1()12tytx= t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数11tx1 xtty21) 1(32xxy)4sin(2cossin)2( x 2,2 x 2,
9、2 x 2sin1cossin yx平平方方后后减减去去yx 2sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1) (x-2)2+y2=9(3) x2- y=2(x2或或x- 2)练习、练习、将下列参数方程化为普通方程:将下列参数方程化为普通方程:步骤:步骤:(1)消参;)消参; (2)求定义域。)求定义域。 22)1(22tyttx 2221)3(ttyttx 221212)4(ttytxcos()cos21xy为参数)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx例例3 3、把下列参数方程化为普通方程,把
10、下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示什么曲线?并说明它们各表示什么曲线?1()12tytx=t(1)为参数(2)参数方程x3t2,yt1(t 为参数)sincos().1 sin2y x=(3)为参数例、例、将下列参数方程化为普通方程:将下列参数方程化为普通方程:sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1)()(x-2)2+y2=9(2)y=1- 2x2(- 1x1)(3)x2- y=2(X2或或x- 2)步骤:步骤:(1)消参;)消参; (2)注意取值范围。)注意取值范围。 )()(tgytfx)(22为参数为参数ttytx 22194x
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