第9讲隐圆模型解析版

1、中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛 拨开云雾 开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型 若p为动点，但ab=ac=ap 原理：圆a中，ab=ac=ap 则b、c、p三点共圆，a圆心，ab半径 备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型 固定线段ab所对动角c恒为90 原理：圆o中，圆周角为90所对弦是直径则a、b、c三点共圆，ab为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型 固定线段ab所对动角p为定值 原理：弦ab所对同侧圆周角恒相等则点p运动轨迹为过a、b、c三点的圆 备注：点p在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型 若动角a+动角c=18

2、0 原理：圆内接四边形对角互补则a、b、c、d四点共圆 备注：点a与点c在线段ab异侧（5）四点共圆模型 固定线段ab所对同侧动角p=c 原理：弦ab所对同侧圆周角恒相等则a、b、c、p四点共圆 备注：点p与点c需在线段ab同侧【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段ab绕点o旋转一周，点m是线段ab上的一动点，点c是定点（1）求cm最小值与最大值（2）求线段ab扫过的面积（3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作omab，b、a、m运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：cm1最小，cm3最大 线段ab扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积最小值以ab为底，cm1为高；最大值以ab为底，cm

3、2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形abcd中，a=60，m是ad边的中点，n是ab边上的一动点，将amn沿mn所在直线翻折得到amn，连接ac，则ac长度的最小值是_【分析】考虑amn沿mn所在直线翻折得到amn，可得ma=ma=1，所以a轨迹是以m点为圆心，ma为半径的圆弧连接cm，与圆的交点即为所求的a，此时ac的值最小构造直角mhc，勾股定理求cm，再减去am即可，答案为变式练习1如图，在rtabc中，c=90，ac=6，bc=8，点f在边ac上，并且cf=2，点e为边bc上的动点，将cef沿直线ef翻折，点c落在点p处，则点p到边ab距离的最小值是_【分

4、析】考虑到将fce沿ef翻折得到fpe，可得p点轨迹是以f点为圆心，fc为半径的圆弧过f点作fhab，与圆的交点即为所求p点，此时点p到ab的距离最小由相似先求fh，再减去fp，即可得到ph答案为1.2.例题2. 如图，已知圆c的半径为3，圆外一定点o满足oc=5，点p为圆c上一动点，经过点o的直线l上有两点a、b，且oa=ob，apb=90，l不经过点c，则ab的最小值为_【分析】连接op，根据apb为直角三角形且o是斜边ab中点，可得op是ab的一半，若ab最小，则op最小即可连接oc，与圆c交点即为所求点p，此时op最小，ab也取到最小值答案为4. 变式练习2如图，矩形abcd中，ab=

5、4，bc=8，p、q分别是直线bc、ab上的两个动点，ae=2，aeq沿eq翻折形成feq，连接pf、pd，则pf+pd的最小值是_答案为8.【分析】f点轨迹是以e点为圆心，ea为半径的圆，作点d关于bc对称点d，连接pd，pf+pd化为pf+pd连接ed，与圆的交点为所求f点，与bc交点为所求p点，勾股定理先求ed,再减去ef即可 例题3. 如图，e、f是正方形abcd的边ad上的两个动点，满足ae=df，连接cf交bd于点g，连接be交ag于点h，若正方形边长为2，则线段dh长度的最小值是_【分析】根据条件可知：dag=dcg=abe，易证agbe，即ahb=90，所以h点轨迹是以ab为直

6、径的圆弧当d、h、o共线时，dh取到最小值，勾股定理可求答案为 变式练习3如图，rtabc中，abbc，ab=8，bc=4，p是abc内部的一个动点，且满足pab=pbc，则线段cp长的最小值是_答案为【分析】pbc+pba=90，pbc=pab，pab+pba=90，apb=90，p点轨迹是以ab为直径的圆弧当o、p、c共线时，cp取到最小值，勾股定理先求oc，再减去op即可 例题4. 如图，在rtabc中，acb=90，bc=4，ac=10，点d是ac上的一个动点，以cd为直径作圆o，连接bd交圆o于点e，则ae的最小值为_【分析】连接ce，由于cd为直径，故ced=90，考虑到cd是动线

7、段，故可以将此题看成定线段cb对直角ceb取cb中点m，所以e点轨迹是以m为圆心、cb为直径的圆弧连接am，与圆弧交点即为所求e点，此时ae值最小， 变式练习4如图，正方形abcd的边长为4，动点e、f分别从点a、c同时出发，以相同的速度分别沿ab、cd向终点b、d移动，当点e到达点b时，运动停止，过点b作直线ef的垂线bg，垂足为点g，连接ag，则ag长的最小值为 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有ae=cf，bgef，但bge所对的be边是不确定的重点放在ae=cf，可得ef必过正方形中心o点，连接bd，与ef交点即为o点bgo为直角且bo边为定直线，故g点轨迹是以bo为直径的圆记b

8、o中点为m点，当a、g、m共线时，ag取到最小值，利用rtaom勾股定理先求am，再减去gm即可答案为例题5. 如图，等边abc边长为2，e、f分别是bc、ca上两个动点，且be=cf，连接ae、bf，交点为p点，则cp的最小值为_答案为【分析】由be=cf可推得abebcf，所以apf=60，但apf所对的边af是变化的所以考虑apb=120，其对边ab是定值所以如图所示，p点轨迹是以点o为圆心的圆弧（构造oa=ob且aob=120）当o、p、c共线时，可得cp的最小值，利用rtobc勾股定理求得oc，再减去op即可变式练习5在abc中，ab=4，c=60，ab，则bc的长的取值范围是_【分

9、析】先作图，如下答案为：条件不多，但已经很明显，ab是定值，c=60，即定边对定角故点c的轨迹是以点o为圆心的圆弧（作ao=bo且aob=120）题意要求ab，即bcac，故点c的轨迹如下图当bc为直径时，bc取到最大值为，考虑a为abc中最大角，故bc为最长边，bcab=4无最小值例题6. 如图，abcd为正方形，o为ac、bd的交点，dce为rt，ced90，dce30，若oe，则正方形的面积为（）a5b4c3d2【解答】解：如图，过点o作omce于m，作onde交ed的延长线于n，ced90，四边形omen是矩形，mon90，com+domdon+dom，comdon，四边形abcd是正

10、方形，ocod，在com和don中，comdon（aas），omon，四边形omen是正方形，设正方形abcd的边长为2a，dce30，ced90dea，cea， 亦可按隐圆模型解答设dnx，x+decex，解得：x，nex+a，oene，a1，s正方形abcd4故选：b变式练习6如图， be，cf为abc的高，且交于点h，连接ah并延长交于bc于点d，求证：adbc.例题7. 如图，在四边形abcd中，bcd90，ac为对角线，过点d作dfab，垂足为e，交cb延长线于点f，若accf，cadcfd，dfad2，ab6，则ed的长为【解答】解：cadcfd，点a，f，c，d四点共圆，fad+

11、dcf180，facfdc，dcf90，fad90，acfc，facafc，dfab，abf+bfecdf+bfe90，abfcdf，afbabf，afab6，dfad2，dfad+2，df2af2+ad2，（2+ad）262+ad2，解得：ad8，df10，fad90，aedf，adedaf，de，故答案为：变式练习7（1）如图1，e是正方形abcd的边ab上的一点，过点e作de的垂线交abc的外角平分线于点f，求证：fe=de.（2）如图2，正方形abcd，eaf45，当点e，f分别在对角线bd、边cd上，若fc6，则be的长为3 图1 图2证明：（1）如图，连接db、df. 四边形abc

12、d是正方形，且bf是cba的外角平分线，cbf=45，dbc=45， dbf=90又def=90，d、e、b、f四点共圆dfe=dbe=45（同弧所对的圆周角相等）def是等腰直角三角形fe=de（2）解：作adf的外接圆o，连接ef、ec，过点e分别作emcd于m，enbc于n（如图）adf90，af为o直径，bd为正方形abcd对角线，edfeaf45，点e在o上，aef90，aef为等腰直角三角形，aeef，在abe与cbe中，abecbe（sas），aece，ceef，emcf，cf6，cmcf3，enbc，ncm90，四边形cmen是矩形，encm3，ebn45，been3，故答案为

13、：3例题8. 在锐角abc中，ab4，bc5，acb45，将abc绕点b按逆时针方向旋转，得到a1bc1，点e为线段ab中点，点p是线段ac上的动点，在abc绕点b按逆时针方向旋转过程中，点p的对应点是点p1，求线段ep1长度的最大值与最小值解析如图，过点b作bdac，d为垂足，因为abc为锐角三角形，所以点d在线段ac上，在rtbcd中，bdbcsin45；当p在ac上运动与ab垂直的时候，abc绕点b旋转，使点p的对应点p1在线段ab上时，ep1最小，最小值为：ep1bp1bebdbe2；当p在ac上运动至点c，abc绕点b旋转，使点p的对应点p1在线段ab的延长线上时，ep1最大，最大值

14、为：ep1bc+be2+57变式练习8如图，已知等边abc的边长为8，点p是ab边上的一个动点（与点a、b不重合）直线l是经过点p的一条直线，把abc沿直线l折叠，点b的对应点是点b当pb=6时，在直线l变化过程中，求acb面积的最大值 【分析】考虑l是经过点p的直线，且abc沿直线l折叠，所以b轨迹是以点p为圆心，pb为半径的圆弧考虑acb面积最大，因为ac是定值，只需b到ac距离最大即可过p作作phac交ac于h点，与圆的交点即为所求b点，先求hb，再求面积答案为.达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， ab是半圆o的直径，点c在半圆o上，ab=10，ac=8d是弧bc上的一个动点，连接

15、ad，过点c作cead于e，连接be在点d移动的过程中，be的最小值为 答案为：【分析】e是动点，e点由点c向ad作垂线得来，aec=90，且ac是一条定线段，所以e点轨迹是以ac为直径的圆弧当b、e、m共线时，be取到最小值连接bc，勾股定理求bm，再减去em即可 2. 如图，以正方形的边ab为斜边在正方形内作直角三角形abe，aeb90，ac、bd交于o已知ae、be的长分别为3，5，求三角形obe的面积3. 如图，正方形abcd的边长是4，点e是ad边上一动点，连接be，过点a作afbe于点f，点p是ad边上另一动点，则pc+pf的最小值为_答案为：【分析】afb=90且ab是定线段，故

16、f点轨迹是以ab中点o为圆心、ab为直径的圆考虑pc+pf是折线段，作点c关于ad的对称点c，化pc+pf为pc+pf，当c、p、f、o共线时，取到最小值4. 如图，在rtabc中，acb=90，b=30，ab=4，d是bc上一动点，cead于e，efab交bc于点f，则cf的最大值是_【分析】aec=90且ac为定值，故e点轨迹是以ac为直径的圆弧考虑efab，且e点在圆上，故当ef与圆相切的时候，cf取到最大值连接of，易证ocfoef，cof=30，故cf可求答案为5. 如图，abc为等边三角形，ab=3，若p为abc内一动点，且满足pab=acp，则线段pb长度的最小值为_答案为6.

17、如图，ab是半圆o的直径，点c在半圆o上，ab5cm，ac4cmd是弧bc上的一个动点（含端点b，不含端点c），连接ad，过点c作cead于e，连接be，在点d移动的过程中，be的取值范围是2be3【解答】解：如图，由题意知，aec90，e在以ac为直径的m的上（不含点c、可含点n），be最短时，即为连接bm与m的交点（图中点e点），ab5，ac4，bc3，cm2，则bm，be长度的最小值bebmme2，be最长时，即e与c重合，bc3，且点e与点c不重合，be3，综上，2be3，故答案为：2be37. 在rtabc中，c90，ac10，bc12，点d为线段bc上一动点以cd为o直径，作ad交

18、o于点e，连be，则be的最小值为8【解答】解：解：如图，连接ce，cedcea90，点e在以ac为直径的q上，ac10，qcqe5，当点q、e、b共线时be最小，bc12，qb13，beqbqe8，be的最小值为8，故答案为88. 如图，在等腰rtabc中，bac90，abac，bc，点d是ac边上一动点，连接bd，以ad为直径的圆交bd于点e，则线段ce长度的最小值为22【解答】解：连结ae，如图1，bac90，abac，bc，abac4，ad为直径，aed90，aeb90，点e在以ab为直径的o上，o的半径为2，当点o、e、c共线时，ce最小，如图2，在rtaoc中，oa2，ac4，oc2，ceocoe22，即线段ce长度的最小值为22