专升本应用题2

1、一、一元函数唯一驻点处的极值就是最值一、一元函数唯一驻点处的极值就是最值091005年年知识点：一元函数求极值知识点：一元函数求极值1010、要做一个容积为、要做一个容积为v v的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时，用料最省？径的比值是多少时，用料最省？解：设容器的高与底面半径分别为解：设容器的高与底面半径分别为 ,其表面积为其表面积为s，则，则, h r2vr h ，又因为，又因为222srrh 把把 带入，得带入，得2vhr 222vsrr 令令 ，2240vsrr 得唯一驻点，得唯一驻点，32vr 根据实际意义可知根据实际意义可知 即为表面

2、积的极小值点，即为表面积的极小值点，此时此时32vr 2322vhvvrrrrv 故当容器的高与底面半径之比为故当容器的高与底面半径之比为2时用料最省。时用料最省。rh09、靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在、靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为限定场地面积为64平方米的条件下，问增加的三面墙各长多平方米的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小。少时，其总长最小。解：设与已知墙面平行的墙的长度为解：设与已知墙面平行的墙的长度为 ，则另二面墙的长为，则另二面墙的长为x64x故三面墙的总长为故三面墙的总长为128(0)lxxx 令令212810lx 得

3、唯一驻点得唯一驻点8 2x 根据实际意义可知根据实际意义可知 ，当，当 时取得最小值时取得最小值8 2x 此时三面墙的长度分别为此时三面墙的长度分别为8 2,4 2,4 2x x64x64x二、二元函数唯一驻点处的极值就是最值二、二元函数唯一驻点处的极值就是最值03年、年、07年、年、08年年知识点：二元函数求极值知识点：二元函数求极值08、一块铁皮宽、一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积a最大，求腰长最大，求腰长 和底边和底边的倾角的倾角x xxa242x 解：根据题意知

4、梯形的上底和下底分别为解：根据题意知梯形的上底和下底分别为2422 cos,242xxx 等腰梯形的面积等腰梯形的面积1(2422 cos242 )sin2axxxx 2224 sin2sincossinxxx222224sin4 sin2 cossin24 cos2cos(cossin)axxxaxxx 令令00axa 显然显然 不合题意，不合题意，在定义域内得唯一驻点在定义域内得唯一驻点 0,0 x 18,cos2x 所以，当所以，当 时，面积时，面积a最大最大8,3x 22sin (122)0(24cos2 cos2 cos)0axxcoxxaxxxx 07、某工厂欲建造一个无盖的长方体

5、污水处理池，设计该池容积、某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为为v，底面造价每平方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米元，侧面造价每平方米b元，问长、宽、元，问长、宽、高各为多少时，才能使污水处理池的造价最低？高各为多少时，才能使污水处理池的造价最低？解：设长方体的长、宽分别为解：设长方体的长、宽分别为x,y，则高为，则高为 ，又造价为，又造价为zvxy222 (),vbvbvzaxyb xyaxyxyyx 0,0 xy 令令222020zbvayxxzbvaxyy 得唯一驻点得唯一驻点32bvxyaxyvxy根据题意可知造价一定有最小值，故根据题意可知造价一定有最小值

6、，故 就是造价最小的取值，此时高为就是造价最小的取值，此时高为32bvxya232avb所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3322,bvbvaa232avb此时，造价最低此时，造价最低xy03、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元和元和9元。元。生产甲产品生产甲产品 件与乙产品件与乙产品 件的总费用是件的总费用是22200230.01(33)xyxxyy 问两种产品的问两种产品的产量各多少件时，利润最大？产量各多少件时，利润最大？解：根据题意，总利润为解：根据题意，总利润为( , )1094002

7、3l x yxyxy 220.01(33)xxyy10(20.060.01 )09(30.010.06 )0 xlxylxy 即即68006600 xyxy 所以（所以（120,80）为驻点）为驻点0.01,0.06,0.06xyxxyylll 所以所以2( , )()0.0035xyxxyyp x yll l 因此，因此，(120,80)0.00350p 又又0.060 xxl 所以（所以（120，80）为极大值点，根据实际意义，此极大值为）为极大值点，根据实际意义，此极大值为最大值，即最大值，即x=120,y=80时，利润时，利润l最大最大三、条件极值与拉格朗日乘数法三、条件极值与拉格朗日

8、乘数法06年、年、01年年06、某公司的甲乙两厂生产同一种产品月产量分别为、某公司的甲乙两厂生产同一种产品月产量分别为x,y（千（千件），甲厂的月生产成本是件），甲厂的月生产成本是 ，乙厂的月生，乙厂的月生产成本是产成本是 ，若要求该产品每月总产量为，若要求该产品每月总产量为8（千件），并使总成本最小，求甲乙两工厂的最优产量和相应的（千件），并使总成本最小，求甲乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。最小成本。 2125cxx 2223cyy 解：用拉格朗日乘数法解：用拉格朗日乘数法总成本总成本22( , )228f x yxyxy 约束条件约束条件( , )80 x yxy 作辅助函数作辅助函数

9、22( , )228(8)f x yxyxyxy 22022080 xyfxfyxy 令令解得解得5,3xy 由于驻点（由于驻点（5,3）唯一，根据实际情况有最小值，所以当）唯一，根据实际情况有最小值，所以当x=5千千件，件，y=3千件时，总成本最小，最小成本千件时，总成本最小，最小成本 千件千件(5,3)38f 1111、求点（、求点（0 0，1 1）到抛物线）到抛物线 上的点的距离的平方的最小上的点的距离的平方的最小值。值。 2yx 解：令（解：令（0,1）到抛物线）到抛物线 上的距离为上的距离为d2yx 222(1)dxy 22(1)1yyyy 213()24y因为因为 ，0y 所以所以

10、 的最小值是的最小值是2d34例：某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入例：某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入r和和电视广告费电视广告费x和报纸广告费和报纸广告费y有如下关系：有如下关系：（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2）如果总广告费）如果总广告费1.5，求相应的广告策略，求相应的广告策略22( , )1514328210r x yxyxyxy 解解（1）利润最大的广告策略，利润函数为）利润最大的广告策略，利润函数为( , )()lr x yxy 221513318210 xyxyxyxxlxyy 解得解得35,44xy因为驻点唯一，又因该问题最在最大利润，所以最大利润因为驻点唯一，又因该问题最在最大利润，所以最大利润只能在驻点处取得，所以最大利润为：只能在驻点处取得，所以最大利润为：3 5(, )39.254 4l （2）此问题为条件极值，即求利润函数）此问题为条件极值，即求利润函数l在条件在条件下的最大值，构造拉格朗日函数下的最大值，构造拉格朗日函数1.5xy22( , ,