第2讲共顶点模型解析版

1、中考数学几何模型2：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形*常见结论：连接bd、ae交于点f，连接cf，则有以下结论：（1）（2）（3）（4）典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点a为顶点作等腰rtabc，等腰rtade，其中bacdae90，如图1所示放置

2、，使得一直角边重合，连接bd、ce（1）试判断bd、ce的数量关系，并说明理由；（2）延长bd交ce于点f试求bfc的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由【解答】解：（1）cebd，理由如下：等腰rtabc，等腰rtade，aead，acab，在eac与dab中，eacdab（sas），cebd；（2）eacdab，ecadba，eca+cbfdba+cbf45，eca+cbf+dcb45+4590，bfc1809090；（3）成立，等腰rtabc，等腰rtade，aead，acab，在eac与dab中，eacdab（sas），cebd；e

3、acdab，ecadba，eca+cbfdba+cbf45，eca+cbf+dcb45+4590，bfc1809090变式练习1. 已知：如图，abc和dce都是等腰直角三角形，acbdce90（1）求证：bdae（2）若abddae，ab8，ad6，求四边形abed的面积【解答】解：（1）abc和dce都是等腰直角三角形，acbdce90，acbc，cdceacbdce90，acb+acddce+acd，即bcdace在bcd和ace中，bcdace（sas），bdae；（2）由（1）得：bcdace，cbdcae，cbp+bpc90，bpcapd，eac+apd90，ahb90，bah+a

4、bd90，daeabd，bah+dae90，即bad90，ab8，ad6，bdae10，s四边形abed1010250例题2. 如图，等边abc，等边ade，等边dbf分别有公共顶点a，d，且ade，dbf都在adb内，求证：cd与ef互相平分. 变式练习2. 已如图，已知等边三角形abc，在ab上取点d，在ac上取点e，使得adae，作等边三角形pcd，qae和rab，求证：p、q、r是等边三角形的三个顶点【解答】解：连接bp，abc和pcd都为等边三角形，acbc，dcpc，acbdcp60，acbdcbdcpdcb，即acdbcp，acdbcp（sas），adbp，又rab+bac+qa

5、e180，r，a，q三点共线，又cbpcad60，rba+abc+cbp180，r，b，p三点共线，又aqaeadbp，rqra+aqrb+bprp，又r60，pqr是等边三角形，则p、q、r是等边三角形的三个顶点例题3. 在等边abc与等边dce中，b，c，e三点共线，连接bd，ae交于点f,连接cf.(1)如图1，求证：bf=af+fc，ef=df+fc；(2)如图2，若abc，dce为等腰直角三角形，acb=dce=90，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明. 例题4. 【问题探究】（1）如图已知锐角abc，分别以ab、ac为腰，在abc的外部作等腰rtabd和rtace

6、，连接cd、be，试猜想cd、be的大小关系cdbe；（不必证明）【深入探究】（2）如图abc、ade都是等腰直角三角形，点d在边bc上（不与b、c重合），连接ec，则线段bc，dc，ec之间满足的等量关系式为bcce+cd；（不必证明）线段ad2，bd2，cd2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图，在四边形abcd中，abcacbadc45若bd9，cd3，求ad的长【解答】解：（1）abd和ace是等腰直角三角形，abad，aeac，且dabeac90，dab+baceac+bac，即baedac，在dac和bae中，dacbae（sas），cdbe，故答案为：cdb

7、e（2）abc、ade都是等腰直角三角形，abac，adae，bacdae90，bad+daccae+dac，即badcae，在bad和cae中，badcae（sas），cebd，aceb45，又bcbd+cd，ace45，bcce+cd，dce90，cd2+ce2de2，bdce，dead，cd2+bd22ad2故答案为：bcce+cd例题5. 如图1，在abc中，bc4，以线段ab为边作abd，使得adbd，连接dc，再以dc为边作cde，使得dcde，cdeadb（1）如图2，当abc45且90时，用等式表示线段ad，de之间的数量关系；（2）将线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段e

8、f，连接bf，af若90，依题意补全图3，求线段af的长；请直接写出线段af的长（用含的式子表示）【解答】解：（1）ad+de4，理由是：如图1，adbedc90，adbd，dcde，ad+debc4；（2）补全图形，如图2，设de与bc相交于点h，连接ae，交bc于点g，adbcde90，adebdc，在ade与bdc中，adebdc，aebc，aedbcdde与bc相交于点h，ghedhc，eghedc90，线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段ef，efcb4，efcb，aeef，cbef，aefegh90，aeef，aef90，afe45，af4；达标检测 领悟提升 强化落实1. 如

9、图，在等边abc与等边dce中，b，c，e三点共线，bd交ac于点g，ae交dc于点h，连接gh. 求证：ghbe. 2. 如图，在正方形abcd内取一点e，连接ae，be，在abe外分别以ae，be为边作正方形aemn和ebfg，连接nc，af，求证：ncaf.3. 如图，在等腰rtabc与等腰rtdce中，abc=dce=90，连接ad，be，求证：ab2+de2=ad2+be2.4. 如图，在abc中，ab=ac=10，bac=45，以bc为腰在abc外部作等腰rtbcd，bcd=90，连接ad，求ad的长.5. 【发现问题】如图1，已知abc，以点a为直角顶点、ab为腰向abc外作等腰

10、直角abe请你以a为直角顶点、ac为腰，向abc外作等腰直角acd（不写作法，保留作图痕迹）连接bd、ce那bd与ce的数量关系是bdce【拓展探究】如图2，已知abc，以ab、ac为边向外作正方形aefb和正方形acgd，连接bd、ce，试判断bd与ce之间的数量关系，并说明理由【解决问题】如图3，有一个四边形场地abcd，adc60，bc15，ab8，adcd，求bd的最大值【解答】【发现问题】解：延长ca到m，作mac的平分线an，在an上截取adac，连接cd，即可得到等腰直角acd；连接bd、ce，如图1所示：abe与acd都是等腰直角三角形，abae，adac，baecad90，b

11、adeac，在bad和eac中，badeac（sas），bdce，故答案为：bdce；【拓展探究】解：bdce；理由如下：四边形aefb与四边形acgd都是正方形，abae，adac，baecad90，badeac，在bad和eac中，badeac（sas），bdce；【解决问题】解：以ab为边向外作等边三角形abe，连接ce，如图3所示：则bae60，beabae8，adcd，adc60，acd是等边三角形，cad60，acad，cad+bacbae+bac，即badeac，在bad和eac中，badeac（sas），bdce；当c、b、e三点共线时，ce最大bc+be15+823，bd的最

12、大值为236. 已知线段ab直线l于点b，点d在直线l上，分别以ab、ad为边作等边三角形abc和等边三角形ade，直线ce交直线l于点f（1）当点f在线段bd上时，如图，求证：dfcecf；（2）当点f在线段bd的延长线上时，如图；当点f在线段db的延长线上时，如图，请分别写出线段df、ce、cf之间的数量关系，在图、图中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若bd2bf，ef6，则cf2或6【解答】（1）证明：如图中，设ad交ef于oabc，ade都是等边三角形，abac，adae，bacdae60，badcae，abdace（sas），cebd，aeofdo，aoefod，ofdoae60，abbc，abd90，abc60，cbf30，ofdcbf+bcf，fbcfcb30，cfbf，dfcecf（2）如图图中，结论：dfcfce图中，结论