极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题

1、极值点偏移1-4-第2招-含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元Xi,X2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变 元的新的函数例1.已知函数f(x) x aex有两个不同的零点 x1,x2，求证：x1 x2 2 .不妨设 Xi X2，记 t xi X2，则 t 0,e 1，因此只要证明：t et 1 2 t竽 0，diet 1再次换元令etx 1, t Inx,即证Inx 空 卫 0,x (1,)x 1构造新函数 F(x) Inx 2(x 1)，F(1)0x 1求导 F(x)

2、 1 N (x 1)2 0,得 F(x)在(1,)上递增，x (x 1) x(x 1)所以F (x) 0，因此原不等式x1 x22获证.例2.已知函数f(x) In x ax，a为常数，若函数 f (x)有两个零点x1, x2，证明：x1 x2 e2.法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数:不妨设为 x2，In x-iax10,In x2ax20 , In XIn x2a(x1x2),In x1 In x2 a(x1x2),In x1In x2a，欲证明 x-ix2e2，即证In x1In x22.X1xIn x-iIn x2a(X1 X2), 即证a2X1x2原命题等价于证明匕些x1In

3、 x22即证：.X1In -X22(X1X2),令 tX2,(t1),构造X2X2x1x2X1g(t) Int 彳 ,t 1，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略t 1法三：直接换元构造新函数:吐业X2,设X1X2,t字住D,X|x2In x-ix1x1X1x2In x1则 X2 tX1，IntX1tIntIn x1t ,In x1In%In tIn ttIn t反解出：In x1,In X2In tx1In t In x1 In tt 1t 1t 1故 x1x2e2In x1In x22t 111 nt 2，转化成法二，下同，略t 1例3.已知xX2是函数f(x) ex ax的两个零点

4、，且 Xi X2 .(1)求证:XiX22;(2)求证：x, x21.要证:X1X2，即证:X1X2e e2a、X21，等价于eXieX2X2X1(巳)2,x2为也即亠二(eX2 e2X2(X2xj2，等价于eX2为(eX2 X1 1)2X2 X1X2X1令 h(t) tte2et1(t又令(t)(t)(0)0)，也等价于te!et0)，等价于即证:tt eet100)，)， ,从而h (t)则 h (t)-t e；2e_2(1ite2),(t)h(t)在(0, (t)在(0,)单调递减,)单调递减， h(t) h(0)0,即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于 x1

5、, x2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式例4.已知函数f(x) xaxe (a 0)，若存在捲恥区 X2)，使f(xj f (X2) 0 ,求证:X1ae. KS5UKS5UKS5UX2再证：互X2ae._x_ax1ax1X2ax2In x2而0x1eX2,In x21.XlX2ax1In x2ae1ae.证毕设函数 f(x) ex ax a(aR)的图像与x轴交于A(X1,0), B(X2,0)(X1X2)两点,【招式演练】(1)证明:fC.X1X2)0 ；(2)求证：x1x2 x1 x2.(2)证明：由e a(x11)，易知e a(

6、x2 1)x2x1从而e51逹x1 1，令X11,X21ln ln由于X-|X2X1结合对数函数X21，下面只要证明:-,(0y ln x的图像可知，只需证：(,ln),(-,ln1)两点连线的斜率要比(，ln ),( ,ln )两点连线的斜率小即可,又因为k ln ln 1 即证 ln ln1k1，即证：2ln0(01)，令g(2ln 0,(01)，则12)在(0,1)上单调递减， g()g(1)原不等式X-|X2x1x2成立.设函数 f (x) a ln x bx2,其图像在点P(2, f (2)处切线的斜率为3.当 a 2时，令 g(x) f (x)kx，设捲兀化 X2)是方程g(x)

7、0的两个根,X。是X1,X2的等差中项，求证：g(x。) 0( g (x)为函数g(x)的导函数)21设函数 f(x) a x 2a ln ax(a 0)，函数 f (x)为 f (x)的导函数，且 A(x1, f (x1), B(x2, f (x2)是 xf (x)的图像上不同的两点，满足f (xj f (x2) 0 ,线段AB中点的横坐标为 x0，证明：ax0 1.【解析】ax01x1x21 2X1x2，又依题意f (x)(a 1)2 0,2aaX得f (X)在定义域上单调递增，所以要证ax01，只需证 f(X2)f (X1)f (2 X2),a2 即f (aX2)f (X2)0不妨设x1

8、X2,注意到1 f()0，由函数单调性知，有x11,X21aaa构造函数F(x)f(2x)-f(x)，则 F (x)2f (x) f (x)4( ax2 一1)3、2 ，aaX (2ax)111当x 时，F (x) 0，即F(x)单调递减，当x 时，F(x) F() 0 ,从而不等式式成立，故aaa原不等式成立.1已知函数 f (x) a In x(a R).x(1) 若a 2，求函数f(x)在(1,e2)上的零点个数；a 1(2) 若 f (x)有两零点 x1, x2 ( x-i x2)，求证：2 x-i x2 3e 1 .【点评】1.方程的变形方向：x1, x2是函数f (x)的两个零点，

9、1是该函数的极值点.x1, x2是函数h(x) 的两个零点，ea 1是该函数的极值点.2.难点x1 x2 3ea 1 1的证明依赖利用x1 x2 2放缩.已知函数.(I)讨论卜；罰的单调性；(n)设，证明：当时， ；(川)设是的两个零点，证明fr3 .【答案】(I)在上单调递减，在上单调递增；(n)当时，(吕* X)口旷扎；(川)证明过程见解析(n)令，则求导数，得，当时，在上是减函数.而，故当时，(川)由(I)可知，当时，函数至多有一个零点,故，从而的最小值为，且，不妨设，则，,由(n)得，从而，于是， 由(I)知，.点晴：本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在(I)中

10、通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间.(n)通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可.(川)要充分利用(I)(n)问的结论1 2已知函数 f x 41 nx mx ( m 0).2(I)若m 1,求函数f x的单调递增区间；(n)若函数g xx m 4 x，对于曲线上的两个不同的点M x1,gN x2, g x2，记直线MN的斜率为k，若 k g X。证明：x1 x2 2x0.【答案】(1)0,2(2)见解析由题设得gxog X1g X24 Inlnx2X1x2XiX2X-Ix22X-Ix2X-Ix22X2X1不妨设lntX-I

11、x2ln生X1X1X2 ,J (tlntlnx1 lnx2X2X1x2X2X1lnx2lnx12 x2x1X2X1X1生X11).空，则tX11，则ln生X1匹1X1X2X1(t 1),2120，所以h1, 上单调递增，所以1故 |n X2X1oHIu X11x1又因为x2%0,因此g Xcg X1X20 即 g X1 X21 go，即g22又由g x4mx 4m知g x在o,上单调递减，x所以x1 x2Xo，即X1X22xo.2已知函数f X1n(X1)，1 2 g(x)xx .22X2(i)求过点 1,0且与曲线y f x相切的直线方程;g Xo(n)设 h xaf xg x，其中a为非零

12、实数，y h x有两个极值点x1,x2，且x1 x2，求a的取值范围；(川)在(n)的条件下,求证:2h x2 x.( o.【答案】(1)x ey 1o见解析.In Xo11解得Xoe 1Xo1Xo 1 1切线的斜率为一，切线方程为x ey 10e1 2(n) h x af x g x aln x 1 x x2ax2 a 1彳h xX 1,x 1x 1X 1当a10时，即a1 时，h x 0, hX在 1,上单调递增；当0a1时,由hx 0 得，x1,1a ,x2、.1a，故h x在 1,.1 a上单调递增,在1a, 1a上单调递减，在 、1 a,上单调递增;当a0时，由h x0 得，x0.

13、1 a ,h x在1a/. 1 a上单调递减，在-.1 a,单调递增当0a1时，hx有两个极值点，即 x11 a ,x21 a，即a的范围是(0,1)点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1）构造差函数h x f x g x .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（ 2 ）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一 元函数 已知函数f x lnx.2 x 1(1)证明：当x 1时，x 1 0 ；f x x ax2有两个零点人，X2 （人X2， a 0 ），证明：f x令 s x1 x 2lnx,易知 s x 在 0,0 x 1，s x 0， h x ， x 1，x 1， h x 0， x 0， h x递