大学物理教程12.4 一维无限深势阱中粒子

1、12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础l确定粒子的确定粒子的哈密顿量；哈密顿量；l在全空间写出粒子的能量本征方程；在全空间写出粒子的能量本征方程；l利用波函数的自然条件确定确定能量本征值利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。和波函数。步骤：步骤：处理的问题：处理的问题：l势阱中的粒子势阱中的粒子粒子被束缚在某势场中；粒子被束缚在某势场中；l势垒对粒子的散射势垒对粒子的散射自由粒子入射到某势自由粒子入射到某势场中。场中。12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础一一 一维无限深势阱中的粒子一维无

2、限深势阱中的粒子 金属中的电子由于金属表金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在面势能（势垒）的束缚被限制在一个有限的一个有限的空间空间范围内运动。范围内运动。称为称为一维无限深方势阱一维无限深方势阱。-e-e-e-e-e-e-e 如果金属表面势垒很高，如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒可以将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就子。如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子是一维刚性盒子。势能函数为：。势能函数为：V = 0V(x)x无限深方势阱无限深方势阱0L0 (0)( ) (0, )xLV xxxL 12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的

3、粒子第12章 量子力学基础l 在势阱内，定态薛定谔方程在势阱内，定态薛定谔方程得得解为：解为：待定常数待定常数C 和和解由波函数的自然条件确定。解由波函数的自然条件确定。22ii2d( )( )2d xE xm x22ii2d0dk xi( )sin() 1 xCkx（）V = 0V(x)x无限深方势阱无限深方势阱0L令令222mEk 12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础l波函数在阱壁上的连续条件、本征能量波函数在阱壁上的连续条件、本征能量该方程的解只能是：该方程的解只能是：e( )0 2x（ ）l 在势阱外，定态薛定谔方程在势阱外，定态薛定谔

4、方程ie(0)(0)0 3（）ie( )( )0 4LL（ ）22ee2d( )( )2dxExm x V = 0V(x)x无限深方势阱无限深方势阱0L12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础 由式（由式（3）可得可得 由式（由式（4）可得可得 0kLn1,2,.n nkLsin0Csin0CkL ie(0)(0)0 3（）ie( )( )0 4LL （ ）i( )sin() xCkxi( )sin()n xCxL思考：为什么思考：为什么n不取零和负整数？不取零和负整数？12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子

5、力学基础 1) 粒子的能量：粒子的能量：22212kEn Em22122ELm其中其中能量取分立值（能级），能量是量子化的。能量取分立值（能级），能量是量子化的。11(21)nnEEEnE 能量能量间隔为：间隔为：,LE 能级增大，能级间隔递增能级增大，能级间隔递增,nE 阱变宽阱变宽，能级能级间隔下降间隔下降n =13219E14E1E12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础,mE 大质量粒子的能级大质量粒子的能级间隔小间隔小L 很大或很大或 m 很大，能级几乎连续很大，能级几乎连续 最低能量最低能量(零点能零点能)22122EmL22212kE

6、n Em 波动性波动性V(x)x0L12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础2nnpmE 2nnhLpn2) 势阱中粒子的动量和波长势阱中粒子的动量和波长2hnnLL )(x阱宽为半波长的整数倍阱宽为半波长的整数倍12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础定态波函数为定态波函数为l 归一化常数归一化常数C 和和定态波函数定态波函数2sin, 0( )0, 0, nxxLxLLxxL3) 定态波函数和粒子在阱内的几率分布定态波函数和粒子在阱内的几率分布2( )d( ) d1xxxx2( )d( ) d1xx

7、xx2CL12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础粒子在阱内的粒子在阱内的波函数为波函数为12(ee)e2iEtikxikxiL()()12ee2iiEtpxEtpxiLi2( , )( )esineiiEtEtx txkxL V(x)x0L 每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波（两个单色波的叠加）。定波长的驻波（两个单色波的叠加）。 波函数为波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加单色平面波的叠加形成形成驻波驻波。12.4 12

8、.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础粒子在势阱中的几率分布：粒子在势阱中的几率分布：)x( 2)x( 222sin, 0( )( ) 0, 0,nxxLxxLLx xL 12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础例例 已知质量为已知质量为 m 的一维粒子的波函数为：的一维粒子的波函数为：( , )nx t/2sin()(0)enit hnxxLLL0(0,)xxL（1）求基态和第）求基态和第4激发态的能量；激发态的能量；(1,2,3.)n 2222nnmL（2）求粒子的几率密度分布函数；）求粒子的几率密度分布函数；

9、（3）求粒子在基态和第）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。激发态时的最可几位置。12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础解解 由波函数可知，粒子处在宽度为由波函数可知，粒子处在宽度为L L的势阱中，将波的势阱中，将波函数代入薛定谔方程函数代入薛定谔方程( , )( , )nnnx tiEx tt中，可得粒子的能级中，可得粒子的能级22222nEnmL（1）当）当n=1时，对应基态的能量为时，对应基态的能量为2122EmL当当n=5时为第时为第4激发态，对应的能量为激发态，对应的能量为225122552EEmL12.4 12.4 一维无限深势阱

10、中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础（2 2）波函数的模平方即粒子的几率密度为）波函数的模平方即粒子的几率密度为22sin 0)( , )( , ) 0 (0,)nnn xxLx tx tLLxxL（3 3）最可几位置对应几率密度的极值位置，几率密度）最可几位置对应几率密度的极值位置，几率密度的一阶导数应为零。因为基态几率密度为的一阶导数应为零。因为基态几率密度为2212sinxLL令令21d0dx12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础得得222222sincossin0 xxxLLLLL由此可解出最可几位置为由此可解出最可几位置

11、为10,2xL在这三个位置中，可以验证只有在这三个位置中，可以验证只有x=L/2时几率密度最大。时几率密度最大。第二激发态的几率密度为第二激发态的几率密度为22323sinxLL12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础由由23d0dx可解出最可几位置为可解出最可几位置为250,6 3 236L L LLLxL同样可以验证只有同样可以验证只有 三个位置粒子的几率密三个位置粒子的几率密度最大。度最大。5,6 26L LLx12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础二二 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿） 自由粒子遇到的势是有限高和有限宽的势垒：自由粒子遇到的势是有限高和有限宽的势垒：E 1 时时 m(U0-E)很小很小12.4 12.4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子第12章 量子力学基础 *例例：向墙壁上扔一经典球，向墙壁上扔一经典球，球被墙壁反弹回来（当球被墙壁反弹回来（当m很大时很大时，T 可能很小）；可能很小）；*例例: 电子电子 a=210-10 m, (U