高数A 第十一章 曲线积分及曲面积分

1、第十一章第十一章 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1. 定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L01( , )lim(,).niiiLif x y dsfs 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 4.性质性质

2、 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分

3、的下限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf例例1).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyz

4、dsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I例例3 . 0,22222zyxazyxdsxI为为圆圆周周其其中中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa练习题练习题练习题答案练习题答案二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念定义定义: 函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线的曲线积分积分01( , )lim(,)niiiLiP x y dxPx 类似地定义类似地定义.),(lim),(10iin

5、iiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRd

6、zzyxR 5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(6、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运

7、动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计

8、算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例

9、2解解,sincos:)1( ayaxL，变变到到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧

10、弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10,

11、0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()

12、()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0时时，L取取顺顺时时针针方方向向.练习题答案练习题答案1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平面单连

13、通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三、格林公式三、格林公式2.2.格林公式格林公式定理定理1 1连连成成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoLABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxd

14、y, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB 则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L(1) (1) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydx

15、xdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题思考题解答思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFEGyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关, ,四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分

16、与路径无关的条件 2LQdyPdx1L2LBA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关. .2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域, , 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,则则曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关（或或沿沿G内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零）的的充充要要条条件件是是xQyP 在在G内内恒恒成成立立. .定理定理2 2(1) 开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2) 函函

17、数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：定理定理3 3xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 1 1 计算计算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其中其中L为由点为由点)0, 0(O到点到点)1, 1(B的曲线弧的曲线弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQ

18、yP ，原原积积分分与与路路径径无无关关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 设曲线积分设曲线积分 Ldyxydxxy)(2与路径无与路径无关关, 其中其中 具有连续的导数具有连续的导数, 且且0)0( ,计算计算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 四

19、、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题练习题答案练习题答案五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf1.1.定义定义.叫积分曲面叫积分曲面 dSzyxf),( 21),(),(dS

20、zyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 3、计算法、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(1):( , )zz x y 若若曲曲面面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则(2):( , )yy x z 若若曲曲面面 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy ds

21、zyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成成立立，(1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxy

22、xxyxyD2222)2()2(1)(4 其中其中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 练练 习习 题题练习题答案练习题答案六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1. 曲面的侧曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为

23、决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :面面在在xoyS ,在有向曲面上取一小块在有向曲面上取一小块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表表示示投投影影区区域域的的面面积积其其中中xy 为为上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 2 2、概念及性质、概念及性质类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时

24、时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 性质性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 23 3、计算法、计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上

25、具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续. . ),(yxfz xyDxyzoxys)( nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取取上上侧侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则则有有给给出出由由如如果果,),(zyxx yzDdydzzyzyxP

26、dydzzyxP,),(),(则则有有给给出出由由如如果果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两两部部分分和和分分成成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 练练 习习 题题练习题答案练习题答案七、高七、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()( dSRQPdvz