高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：4.5_数系的扩充及复数的引入(共47张PPT)

1、第五节 数系的扩充与复数的引入三年三年3030考考 高考指数高考指数: :1.1.理解复数的基本概念；理解复数的基本概念；2.2.理解复数相等的充要条件；理解复数相等的充要条件；3.3.了解复数的代数表示形式及其几何意义；了解复数的代数表示形式及其几何意义；4.4.会进行复数代数形式的四则运算会进行复数代数形式的四则运算; ;5.5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义. .1.1.复数的基本概念是考查的重点复数的基本概念是考查的重点. .2.2.复数代数形式的乘除运算、复数相等是考查的重点，也是热复数代数形式的乘除运算、复数相等是考查的重点，也是热

2、点点. .3.3.题型以客观题为主题型以客观题为主. .1.1.复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)复数的定义复数的定义形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫复数，其中实部是的数叫复数，其中实部是_，虚部是，虚部是_._.(2)(2)复数的分类复数的分类a ab b满足条件满足条件(a,b(a,b为实数为实数) )复复数数的的分分类类a+bia+bi为实数为实数_a+bia+bi为虚数为虚数_a+bia+bi为纯虚数为纯虚数_b=0b=0b0b0a0b0(3)(3)复数相等：复数相等：a+bi=c+dia+bi=c+di_(a,b,c,dR)._(a,b,c,dR).(4)

3、(4)共轭复数：共轭复数：a+bia+bi与与c+dic+di共轭共轭_(a,b,c,dR)._(a,b,c,dR).(5)(5)复数的模复数的模向量向量 的长度叫做复数的长度叫做复数z=a+biz=a+bi的模，记作的模，记作_或或_，即即|z|=|a+bi|= _(a,bR).|z|=|a+bi|= _(a,bR).acbdacbd OZ |z|abi|22ab【即时应用即时应用】判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？( (请在括号中填写请在括号中填写“”“”或或“”)”)(1)(1)若若3+(2+x)i3+(2+x)i为实数为实数(xR),(xR),则则x=-2.x=-2.( )(

4、 )(2)(2)已知已知x,yR,x,yR,若若(x+2)+yi=3+2i(x+2)+yi=3+2i，则，则x=1,y=2.x=1,y=2.( )( )(3)2i+3(3)2i+3的共轭复数为的共轭复数为-3+2i.-3+2i.( )( )(4)|1+i|(4)|1+i|2-i|.|2-i|.( )( )【解析解析】(1)3+(2+x)i(1)3+(2+x)i若为实数，则若为实数，则2+x=0,x=-2,2+x=0,x=-2,故故(1)(1)正确正确. .(2)(2)由复数相等知，由复数相等知， ， ，故，故(2)(2)正确正确. .(3)2i+3(3)2i+3的共轭复数为的共轭复数为-2i+

5、3,-2i+3,故故(3)(3)错误错误. .(4)|1+i|= ,|2-i|= ,(4)|1+i|= ,|2-i|= ,故故(4)(4)错误错误. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3) (4) (4)x23y2x1y2252.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复平面的概念：建立复平面的概念：建立_来表示复数的平面叫来表示复数的平面叫做复平面做复平面. .(2)(2)实轴、虚轴：在复平面内实轴、虚轴：在复平面内,x,x轴叫做轴叫做_,y_,y轴叫做轴叫做_，实轴上的点都表示实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示_. _.

6、(3)(3)复数的几何表示：复数的几何表示：复数复数z=a+bi z=a+bi 复平面内的点复平面内的点_ _ 平面向量平面向量_._.直角坐标系直角坐标系实轴实轴虚轴虚轴实数实数纯虚数纯虚数 一一对应Z(a,b)Z(a,b) 一一对应OZ 【即时应用即时应用】判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？( (请在括号内填写请在括号内填写“”“”或或“”)”)原点是实轴与虚轴的交点原点是实轴与虚轴的交点( )( )1+ 1+ 对应的点位于第四象限对应的点位于第四象限( )( )若若z=3+2iz=3+2i，则，则 在复平面上对应的点在第三象限在复平面上对应的点在第三象限 ( )( )【解析解析

7、】原点在实轴上，且在虚轴上，故正确；原点在实轴上，且在虚轴上，故正确；1+1+ =1-i,1-i =1-i,1-i对应点为对应点为(1,-1)(1,-1)在第四象限，故正确；由在第四象限，故正确；由 = =3-2i3-2i知不正确知不正确. .答案：答案： 1iz1iz3.3.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,dR),=c+di(a,b,c,dR),则则加法：加法：z z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=_;=(a+bi)+(c+di)=_;减法：减法

8、：z z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=_;=(a+bi)-(c+di)=_;乘法：乘法：z z1 1zz2 2=(a+bi)(c+di)=_;=(a+bi)(c+di)=_;除法：除法： =_ =_ (c+di0).(c+di0).(a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i12zabi(abi)(cdi)zcdi(cdi)(cdi)2222acbdbcadicdcd(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何复数的加

9、法满足交换律、结合律，即对任何z z1 1、z z2 2、z z3 3CC，都有都有z z1 1+z+z2 2=_,(z=_,(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=_.=_.z z2 2+z+z1 1z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )【即时应用即时应用】(1)(1)设设z=3i+2,z=3i+2,则则1- =_.1- =_.(2)1+i+i(2)1+i+i2 2+i+i3 3=_.=_.(3) (3) 为实数，则实数为实数，则实数a=_.a=_.(4) +(3+i)(1-i)=_. (4) +(3+i)(1-i)=_. za1 i1 i23i1 i【解析解析】(1)z=3

10、i+2, =2-3i,1- =1-(2-3i)=-1+3i(1)z=3i+2, =2-3i,1- =1-(2-3i)=-1+3i(2)1+i+i(2)1+i+i2 2+i+i3 3=1+i-1-i=0=1+i-1-i=0(3) (3) 为实数，为实数， (1-a)=0,a=1.(1-a)=0,a=1.(4)(4)原式原式= +(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.= +(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.答案：答案：(1)-1+3i (2)0 (3)1 (4)5(1)-1+3i (2)0 (3)1 (4)5zza1 ia(1 i)1 i11a11 a i1 i22222122

11、(3i)(1 i)(33iii )(1 i)(1 i) 24i2 复数的有关概念复数的有关概念【方法点睛方法点睛】解决有关复数概念问题的方法解决有关复数概念问题的方法(1)(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程实部、虚部满足的方程( (不等式不等式) )组即可组即可. .(2)(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z z，然后利用复数的模

12、公式求解然后利用复数的模公式求解. .【提醒提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达有关概念，如有关概念，如a+bia+bi为实数的条件，其共轭复数是什么为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi,a+bi的的虚部是什么等虚部是什么等; ;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度. .【例例1 1】(2011(2011安徽高考安徽高考) )设设i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 为纯虚为纯虚数，则实数数，则实数a a为为( )( )(A)2(A)2(B)-2(B)-2(C)- (C)- (D) (D

13、) 【解题指南解题指南】先把复数化成先把复数化成a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形式，再根据的形式，再根据复数为纯虚数的概念列出关于复数为纯虚数的概念列出关于a a的条件去解答即可的条件去解答即可. .1ai2i1212【规范解答规范解答】选选A. A. 又又 是纯虚数，是纯虚数，则则 所以所以a=2.a=2.【反思反思感悟感悟】处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部，从定义出发解决问题的相关概念，找准复数的实部与虚部，从定义出发解决问题. .1ai(1+ai)(2+i)2a12ai2i2-i (2+i)5

14、5，（）1ai2i2a12a0,055 ，【变式训练变式训练】已知复数已知复数z= +(az= +(a2 2-5a-6)i(aR),-5a-6)i(aR),试求实数试求实数a a分别取什么值时，分别取什么值时，z z分别为：分别为：(1)(1)实数；实数；(2)(2)纯虚数纯虚数. .【解析解析】(1)(1)当当z z为实数时，则有为实数时，则有 .a=6,.a=6,即即a=6a=6时，时，z z为实数为实数. .22a7a6a122a5a60a10 ，a1a6a1 或(2)(2)当当z z为纯虚数时，则有为纯虚数时，则有不存在实数不存在实数a a使使z z为纯虚数为纯虚数. .222a5a6

15、0,a7a60a1a1a6.a6a1 且且 复数的几何意义复数的几何意义【方法点睛方法点睛】复数的几何意义及应用复数的几何意义及应用(1)|z|(1)|z|表示复数表示复数z z对应的点与原点的距离对应的点与原点的距离. .|z|z1 1-z-z2 2| |表示两点间的距离，即表示复数表示两点间的距离，即表示复数z z1 1与与z z2 2对应点间的距离对应点间的距离. .(2)(2)结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法

16、更灵活方法更灵活. .【例例2 2】(1)(2011(1)(2011山东高考山东高考) )复数复数z= (iz= (i为虚数单位为虚数单位) )在复平面内对应的点所在象限为在复平面内对应的点所在象限为( )( )(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限(2)(2)若若i i为虚数单位，图中复平面内为虚数单位，图中复平面内点点Z Z表示复数表示复数z z，则表示复数，则表示复数 的的点是点是( )( )(A)E(A)E(B)F(B)F(C)G(C)G(D)H(D)H2i2iz1 i(3)(3)如图，平行四边形如图，平行四边形

17、OABCOABC，顶点，顶点O O、A A、C C分别表示分别表示0 0，3+2i,3+2i,-2+4i,-2+4i,试求：试求： 对应的复数，对应的复数， 对应的复数；对应的复数； 对应的复数对应的复数. . AO BC CA 【解题指南解题指南】(1)(2)(1)(2)两题解题的关键是把所给复数化成两题解题的关键是把所给复数化成a+bia+bi(a,bR)(a,bR)的形式，再利用复数的几何意义求解的形式，再利用复数的几何意义求解.(3).(3)利用利用 对对应的复数等于点应的复数等于点A A对应的复数减去点对应的复数减去点C C对应的复数和向量的运算对应的复数和向量的运算去解决去解决.

18、.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D. D. 所以复数所以复数z z所对应的点在第四象限所对应的点在第四象限. .(2)(2)选选D.D.由图可得由图可得z=3+i,z=3+i,对应的点为对应的点为(2,-1)(2,-1)，即点，即点H.H.CA 2i(2i)(2i)34i34zi2i(2i)(2i)555，z3i(3i)(1 i)42i2i.1 i1 i(1 i)(1 i)2(3)(3) 对应的复数为对应的复数为-3-2i.-3-2i. ， 对应的复数为对应的复数为-3-2i.-3-2i. 对应的复数为对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3+2i)-(-2+4i)=5-

19、2i.AOOA, AO BCAO BC CAOAOC, CA 【互动探究互动探究】本例本例(3)(3)题中，已知条件不变，若设题中，已知条件不变，若设P P为复平为复平面上一点且满足面上一点且满足 如何求解如何求解P P点的轨迹方程点的轨迹方程. .【解析解析】设设P P代表的复数为代表的复数为z=x+yi(x,yR).z=x+yi(x,yR).PP点轨迹是以原点为圆心，以点轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆，为半径的圆，故点故点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=29.=29.|OP| |CA|, 22|CA|5( 2)29,|OP|29. 29【反思反思感悟感悟】解决

20、此类问题，一方面要了解复数的几何意义解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义( (如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置) )，了解，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算形式的四则运算. .【变式备选变式备选】1.1.若若(2+ i)z=- i(2+ i)z=- i，则复数，则复数z z对应的点在复对应的点在复平面内的平面内的( )( )(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限【解

21、析解析】选选C.C.由由 可知，复数可知，复数z z对应的点在复平面内的第三象限对应的点在复平面内的第三象限. . 333i32 3i32 3zi77723i 2.2.虚数虚数(x-2)+yi(x-2)+yi，其中，其中x x、y y均为实数，当此虚数的模为均为实数，当此虚数的模为1 1时，时， 的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(A)(B) (B) (C) (C) (D)(D)yx33,33330)(033，3, 33,0)(0, 3【解析解析】选选B.B.设设k= ,k= ,则则k k为过圆为过圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1上点及原点的直线的斜率，如图上点及原点

22、的直线的斜率，如图, ,设圆设圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1的圆心为的圆心为M M，过原点作圆，过原点作圆M M的切线的切线OAOA，则，则sinAOM= .sinAOM= .又又y0,k0.y0,k0.由对称性可知选由对称性可知选B.B.22(x2)y1,y0yx123AOM.ktan.663 复数的代数运算复数的代数运算【方法点睛方法点睛】1.1.复数的代数运算技巧复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i i的看作一类，不含的看作一类，不含i i的看作另一类，分别合并即可，但要注意的

23、看作另一类，分别合并即可，但要注意把把i i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i i的特点及的特点及熟练应用运算技巧熟练应用运算技巧. .2.2.几个常用结论几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. .(1) (1) (2)-b+ai=i(a+bi);(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i(3)i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i,i=-i,i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4

24、n+24n+2+i+i4n+34n+3=0,nN=0,nN* *. .21 i1 i(1 i)2i;i;i;1 i1 i 【例例3 3】(1)(2011(1)(2011重庆高考重庆高考) )复数复数 =( )=( )(A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) (2)(2011(2)(2011湖北高考湖北高考)i)i为虚数单位，则为虚数单位，则 =( )=( )(A)-i(A)-i(B)-1(B)-1(C)i(C)i(D)1(D)1(3)(2011(3)(2011浙江高考浙江高考) )把复数把复数z z的共轭复数记作的共轭复数记作 ,i,i为虚数为虚数单位单位. .若若z=1

25、+i,z=1+i,则则(1+z) =( )(1+z) =( )(A)3-i(A)3-i(B)3+i(B)3+i(C)1+3i(C)1+3i(D)3(D)3234iii1 i11i2211i2211i2211i2220111 i()1 izz【解题指南解题指南】根据复数的四则运算法则求解根据复数的四则运算法则求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C. C. (2)(2)选选A.( )A.( )2 0112 011=i=i2 0112 011=i=i3 3=-i.=-i.(3)(3)选选A.(1+z)A.(1+z) = +|z| = +|z|2 2=1-i+2=3-i.=1-i+2=3-i

26、.234iii1 i1i1 i1 i1 i i(1 i)i111i.(1 i)(1 i)222 1 i1 izz【互动探究互动探究】本例本例(3)(3)中题干不变，若中题干不变，若 =2+i=2+i，则复数，则复数z=_.z=_.【解析解析】 =(1+i)=(1+i)(2+i)=1+3i,z=1-3i.(2+i)=1+3i,z=1-3i.答案：答案：1-3i1-3iz1 iz【反思反思感悟感悟】进行复数代数形式的四则运算，一方面要严进行复数代数形式的四则运算，一方面要严格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，如本题中的如本题中的

27、=i=i的性质，其实复数的除法运算就是分母实的性质，其实复数的除法运算就是分母实数化的运算数化的运算. .1 i1 i【变式备选变式备选】1.1.复数复数 的值是的值是( )( )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)-i(C)-i(D)i(D)i【解析解析】选选A. A. =-1=-1，故选，故选A.A.2.2.复数复数 =( )=( )(A)0(A)0(B)2(B)2(C)-2i(C)-2i(D)2i(D)2i【解析解析】选选D. D. 故选故选D.D.2(12i)34i2(12i)(4i3)(34i)16934i252532i32i23i23i32i32i(32i)(23i)(32i

28、)(23i)26i2i.23i23i1313133.3.设设z=1+iz=1+i，则，则 +z+z2 2=( )=( )(A)-1-i(A)-1-i(B)-1+i(B)-1+i(C)1-i(C)1-i(D)1+i(D)1+i【解析解析】选选D. D. 故选故选D.D.2z2222z(1 i)1 i2i1 i.z1 i 【创新探究创新探究】复数命题新动向复数命题新动向【典例典例】(2011(2011陕西高考陕西高考) )设集合设集合M=y|y=|cosM=y|y=|cos2 2x-sinx-sin2 2x|,x|,xR,N=x|x- |xR,N=x|x- | ，i i为虚数单位，为虚数单位，xR

29、,xR,则则MNMN为为( )( )(A)(0,1)(A)(0,1)(B)(0,1(B)(0,1(C)(C)0,1)0,1)(D)(D)0,10,11i2【解题指南解题指南】集合集合M M为函数值域，为函数值域，N N为不等式的解集，其中为不等式的解集，其中 为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键. .【规范解答规范解答】选选C.y=|cosC.y=|cos2 2x-sinx-sin2 2x|=|cos2x|x|=|cos2x|0,10,1, ,所所以以M=M=0,10,1, ,又又N=(-1,1),MN=N=(-1,1),MN=0,1),0,1),故选故

30、选C.C.1| x|i221| x2xi2x12x1 21x 1,i | 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创新点拨和备考建议新点拨和备考建议: :创创新新点点拨拨本题的创新点如下：本题的创新点如下：不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向综合性较大，是高考题的一个新动向. .备备考考建建议议解决复数的综合问题在备考时要高度关注：解决复数的综合问题在备考时要高度关注：(1)(1)掌握好复数的有关概念、复数的运算法则，是解答掌握好复数的有关概念、复数的运算法则，是解答该类题的关键该类题的关键. .(2)(2)对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可. .1.(20111.(2011天津高考天津高考)i)i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 =( )=( )(A)2+i(A)2