高三一轮复习椭圆性质探究

1、大冶一中大冶一中 徐建波徐建波探究：椭圆中的一组性质探究：椭圆中的一组性质大冶一中大冶一中 徐建波徐建波问题背景问题背景4, ( 3,0),(3,0),9ABCBCABACA在中直线，斜率乘积为-求顶点求轨迹方程的一般步骤？求轨迹方程的一般步骤？建系建系设点设点列式列式化简化简检验检验点点 的轨迹方程是：的轨迹方程是：A22194xy (3).x oxyBCA点点 的轨迹是什么的轨迹是什么?ABCBC以为长轴的椭圆（除去 、 两点）.的轨迹方程.问题背景问题背景4, ( 3,0),(3,0),9ABCBCABACA在中直线，斜率乘积为-求顶点【问题问题1】所求得的曲线方程中所求得的曲线方程中2

2、2ba49是巧合还是必然？是巧合还是必然？点点 的轨迹方程是：的轨迹方程是：A22194xy (3).x 试探究有没有一般性的结论？试探究有没有一般性的结论？的轨迹方程.自主探究自主探究 22221()xyxaab 创设情境创设情境22,0),ba bAa为-（则顶点 的轨迹方程为, (,0),( ,0),ABCBaC a在中,AB AC直线斜率乘积顶点顶点 的轨迹是什么的轨迹是什么?A0,abBCBC当时 轨迹为以为长轴顶点的椭圆 除去 、 两点；0,baBCBC当时 轨迹为以为短轴顶点的椭圆 除去 、 两点；0,abBCBC当时 轨迹为以为直径的圆 除去 、 两点.自主探究自主探究 oxy

3、BCA(,0),( ,0)BaC a与两个定点连线220)baba的斜率乘积为定值-(A的动点 的轨迹方程是22221()xyxaab 自主探究自主探究 【问题问题2】 结论结论1的反面是什么？的反面是什么？22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点斜率乘积为22.ba定值-与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线oxyBCA是否成立？请进行探究是否成立？请进行探究.自主探究自主探究 oxyBCA( , )x y(,0)a( ,0)a探究流程：探究流程：设点设点目标目标已知已知推理推理结论结论(,0),( ,0), ( , )BaC aA x yABACkk222yyyxa xaxa22221

4、xyab222222221xbybxaaa 22ABACbkka 自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点斜率乘积为22.ba定值-与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线oxyBCA自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上长轴的两顶点斜率乘积为22.ba定值-与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线oxyBCA【问题问题3】 在结论在结论2中，若中，若 时，时，0ab你又能得到怎样的结论？你又能得到怎样的结论？oxyBCA222(0)xyaa圆的直径的两端点斜率乘积为 1.-与圆上的任一点（除这两个端点）连线自主探究自主探究 【问题问题4】圆的任一条直径所对的圆周

5、角是直角圆的任一条直径所对的圆周角是直角.类比：类比：oxyBCA把结论2中的长轴换成经过原点的oxyBCA任意一条弦 ，结论是什么？BC自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为22.ba定值-oxyBCA是否成立？请进行探究是否成立？请进行探究.设点设点目标目标已知已知推理推理结论结论自主探究自主探究 22221(0)xyabab椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为22.ba定值-oxyBCA拓展应用拓展应用 22,1,42xyxoyMN如图 在平面直角坐标系中、

6、 分别是椭圆的顶点,.CACBPAk垂足为连接并延长交椭圆于点设直线的斜率为,PAPPx过坐标原点的直线交椭圆 、 两点 其中 在第一象限 过 作 轴的垂线,;PANMk若直线平分线段求 的值0,.kPAPB对任意的求证:=2,;kPABd当时 求点 到直线的距离的oxPCAyBNM拓展应用拓展应用 0,.kPAPB对任意的求证:oxPCAyB【问题问题5】 你能利用本节课中所你能利用本节课中所探究的结论来解决（探究的结论来解决（3）吗？）吗？22,1,42xyxoyMN如图 在平面直角坐标系中、 分别是椭圆的顶点,.CACBPAk垂足为连接并延长交椭圆于点设直线的斜率为,PAPPx过坐标原点

7、的直线交椭圆 、 两点 其中 在第一象限 过 作 轴的垂线拓展应用拓展应用 0,.kPAPB对任意的求证:oxPCAyB分分 析析1=,2ABPBkk由结论3可知：1,PAPBkk 即证：,PAPB要证：2PAABkk所以我们只要证明即可.我们“已知”了什么？拓展应用拓展应用 0,AD由题意可知：直线的斜率存在且大于111(0),:(2),ADADkk klyk x设则13(3,),xEk令得：221,3,42xyDADPDxEF若 是椭圆的右顶点 直线、交直线于 、 两点oxPAyDEF【问题问题6】 试用所探究的结论来解题试用所探究的结论来解题.1111,:(2),22PDPDklyxkk 所以则11111110,22,22kEFkkkk因为所以解：解：122k即 =时等号成立.13,2ADPDkk 由结论 可得：113(3,),2xFk令得：111,2kk当且仅当2.EF所以的最小值为EF则的最小值为.回顾反思回顾反思 数学知识数学知识直线的斜率公式、直线的斜率公式、数学方法数学方法数学结论数学结论椭圆的标准方程及几何性质、椭圆的标准方程及几何性质、曲线与方程的概念曲线与方程的概念数形结合、数形结合、 归纳类比、归纳类比、 分类讨论、分类讨论、 设而不求设而不求的两个端