北京市各区高三一模数学理试题分类汇编：13导数及其应用(可编辑修改word版)

1、2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编导数及其应用1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数 且.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求证：；（）讨论函数的极值2、（东城区2019届高三一模）设函数的极小值点为.（i）若，求的值的单调区间；（ii）若，在曲线上是否存在点，使得点位于轴的下方？若存在，求出一个点坐标，若不存在，说明理由.3、（丰台区2019届高三一模）已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）当时，求证：是函数的极小值点.4、（海淀区2019届高三一模） 已知函数. (i)求曲线在点处的切线方程； ()当时，求证：函数存在极小值； ()请直接写出函数的零点个数5、（怀

2、柔区2019届高三一模）已知函数. （）当时，求在点处的切线方程；（）若对于任意的，都有，求的取值范围.6、（门头沟区2019届高三一模）已知在点处的切线与直线平行。()求实数的值；（）设（）若函数在上恒成立,求实数的最大值；（）当时，判断函数有几个零点，并给出证明.7、（石景山区2019届高三一模）设函数，（）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模）设函数.（i）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（ii）若有极小值2，求.9、（西城区2019届高三一模）设函数，其中 （）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数

3、在区间上有两个零点，求的取值范围10、（延庆区2019届高三一模） 已知函数在点处的切线与直线平行.（）求的值； （）令，求函数的单调区间.11、（房山区2019届高三一模）已知函数（）当时，求曲线在处的切线方程；（）若函数的图象在轴的上方，求的取值范围.12、（大兴区2019届高三一模）已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行（）求的值；（）设，求证：参考答案1、解：（）当时，所以因为，所以曲线在处的切线方程为.3分（）当时， 函数的定义域为 不等式成立成立成立.设，则当变化时，变化情况如下表：极大值所以因为，所以，所以.8分（）求导得. 令，因为可得当时，的定义域为.当变化时，变

4、化情况如下表：极大值此时有极大值，无极小值当时，的定义域为，当变化时，变化情况如下表：极小值此时有极小值，无极大值.13分2、解：（）定义域为.由已知，得，解得.当时，当时，；当时，.所以的递减区间为，单调递增区间为所以时函数在处取得极小值.即的极小值点为时的值为. .6分（ii） 当时，曲线上不存在点位于轴的下方，理由如下：由（i）知当时，所以在单调递减，不存在极小值点；当时，令，得.当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.所以是在上的最小值.由已知，若，则有，即.当时，且，. 所以 当时，曲线上所有的点均位于轴的上方.故当时，曲线上不存在点位于轴的下方. .13分3、解：（）因为，

5、所以，故，令，得，所以单调递增区间为；令，得，所以单调递区间为 （）由题可得. 当时，对任意，都有恒成立，所以当时，；当时，.所以函数在处取得极小值，符合题意. 当时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增，所以.因为，所以（当且仅当时，等号成立，此时）.所以对任意，都有恒成立. 所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.综上可知：当时是函数的极小值点. 4、解：（）的定义域为 因为 所以切点的坐标为 因为 所以切线的斜率， 所以切线的方程为 （）方法一：令 因为且， 所以， 从而得到在上恒成立 所以在上单调递增且， 所以，在区间 的变化情况如下表:极小值 所

6、以时，取得极小值，问题得证 方法二：因为 当时，当时， ，所以 当时， ，所以 所以，在区间 的变化情况如下表: 极小值 所以时，函数取得极小值，问题得证 （）当或时，函数有一个零点 当且时，函数有两个零点 5、解：（）当时，因为， 所以 f(1)= 1, f(1)= 2,所以在点处的切线方程是x+y+1=0-5分（）函数的定义域是，因为， （） 当a时，0恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递增，又因为，不合题意，舍 （）当时，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递减所以函数在时，取得最大值 因为对于任意，都有，所以只需令，即，即 所以当的取值范围是-13分6、解：()由题意得：（）（）

7、当时，若，递增，则当时，若，在递减，则不恒成立，所以，的最大值为1.（），显然有一个零点0；设当时，无零点；所以只有一个零点0当时，有，所以在上单增，又，由零点存在定理可知，所以在上有唯一一个零点，所以有二个零点综上所述，时，只有一个零点0，时，有二个零点.7、解：（）， ， 由题设知，即，解得 经验证满足题意。（）方法一： 令，即，则 （1） 当时，即对于任意有，故在单调递减； 对于任意有，故在单调递增， 因此当时，有最小值为成立（2） 当时，即对于任意有，故在单调递减， 因为，所以，即， 综上，的最大值为 方法二：由题设知，当时，, （1）当时， 设，则， 故在单调递减， 因此，的最小值大

8、于，所以 （2）当时，成立 （3）当时，因为， 所以当时，成立 综上，的最大值为 8、解：（i）因为点在曲线上，所以， -1分又， -3分所以 -4分在该点处曲线的切线方程为即 -5分（ii）定义域为， -6分讨论：（1）当时，此时在上单调递减，所以不存在极小值-8分（2）当时，令可得 -9分列表可得0单调递减单调递增所以在上单调递减，在上单调递增 -11分所以=，所以=2解得 -13分9、解：（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 2分此时，则.由，解得. 3分当x变化时，与的变化情况如下表所示：00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 5分所以有极小值，有极大值.

9、6分 （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 8分 对函数求导，得. 9分 由，解得，. 10分 当x变化时，与的变化情况如下表所示：00极小值极大值 所以在，上单调递减，在上单调递增. 11分 又因为， 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点. 13分10、解：（） 1分 2分在点处的切线与直线平行 解得 4分（）由（）可知 5分函数的定义域是， 6分所以，7分令， 8分又，9分有恒成立故在上为增函数， 由， 所以函数是上单调递减 11分 有恒成立故在上为减函数， 由， 所以函数是上单调递减 13分 综上， 在 和 单调递减 11、（）当时，所以，所以曲线在处的切线方程是： 4分（）“函数的图象在轴的上方”，等价于“时，恒成立”由得 5分当时，因为， 不合题意 6分当时，令得 显然 7分令得或；令得所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，10分当时， 所以1