第4章—信号频域分析

1、邬霞邬霞 教授教授北京师范大学北京师范大学 信息学院信息学院 电子系电子系OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 连续时间信号的频率分析连续时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析 离散离散时间信号傅里叶变换的性质时间信号傅里叶变换的性质2OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲连续连续时间信号的频率分析时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析 离散离散时间信号傅里叶变换的性质时间信号傅里叶变换的性质3OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率

2、分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质4周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 11cos,sinntnt 01221 dttmsintncosTT nm,nm,TdttmcostncosTT021221 nm,nm,TdttmsintnsinTT021221 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质5周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 0111( )

3、cossin 1nnnf taantbnt 2p p 100101TttdttfTa 100112TttndttncostfTa 100112TttndttnsintfTb OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质6周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(

4、nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质7周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 。 nc nOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质8周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 1je 0, 1

5、, 2ntn 1j1( )() e 4ntnf tF n 11111j01jj0( ) ed()eedTntTntntf ttF nt 511101dtetfTtjnT OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质9周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 1j1( )() e 4ntnf tF n 5111011dtetfTnFtjnT OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时

6、间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质10周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数 1j2nnab 1j2nnab j11() enF nF n 是复数是复数)(),(11 nFnF dtetfTnFtjnT110111 dttnsintfTjdttncostfTTT1011011111 dttnsintfTjdttncostfTnFTT10110111111 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域

7、分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质11周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数arctannnnba 22111()22nnnF nabc OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质12周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数011cos()nnnccnt 0111( )cossinnnnf taantbnt 1j1( )() entnf tF n OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析

8、_13周期信号功率密度谱周期信号功率密度谱连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 2nF 22222200111122nnnnnnnaabacF201( )dTPfttT OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_14周期信号周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttnt

9、TATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn tAtAtf112sin2sin0 22 )(111TtTtTAtft tfA/2/221T21T 112T OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_15周期信号周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质10 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 ，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 1 1c0c2c12 O24

10、. 211nc12 25. 015. 0 O1 n OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_16周期信号周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)( tnnnF1j221e)( 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttf OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_17周期信号周期信号连续时间信号

11、频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质1)0( F 15. 0j1e12. 1j211 F 15. 0j112. 1j211eF 4j1e212 F 4j1e212 F1)0(0 FF00 12. 1)(11 FF 15. 01 12. 1)(11 FF 15. 01 5 . 0)2(12 FF 25. 02 5 . 0)2(12 FF 25. 02 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_18周期信号周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间

12、信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_19非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质)(tf：1T 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 谱系数谱系数0112 T 谱线间隔谱线间隔0OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价

13、评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_20非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 0)( , 0111 nFTf 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 11lim1 nFTFT 22j1111de )(limTTtnTttf fnFTnFnFT111111 时时，当当 1T（1） 有界函数有界函数fnF1 1T 1T 1n j)(tdtetf 1T 21T21T OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_2

14、1非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质)(je| )(|)( FF 幅幅度度频频谱谱: F 相相位位频频谱谱: )(de )()(jtfFttfFt OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_22非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 ntnnFtf1j111e)()( 2)(11lim1 nFT )(11lim1

15、nFTFT 11)(lim1 nFT 2 F ,d1 1n,1时时当当 T p p de21jtFtf )(的的反反变变换换？应应是是 Ftf11 ，再再乘乘以以除除以以tnnnFtf1j1e )()( OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_23非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 )(de )()(jtfFttfFt p p FFeFtft1jd21)( OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率

16、分析连续时间信号频率分析_24非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 ttfFtde)(j ttttftfdsinjcos)()(oe 0o0edsin)(2jdcos)(2tttftttf XRFFjej tftftfoe)( OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_25非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 R

17、tf F 0edcos)(2tttfR 的的偶偶函函数数关关于于 tf X F2 22 XRF 的的偶偶函函数数关关于于 0odsin)(2tttfX 的的奇奇函函数数关关于于 RXarctan 的的奇奇函函数数关关于于 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_26非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质 )( d充分条件充分条件有限值有限值 ttfOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信

18、号频率分析_27非周期信号能量密度谱非周期信号能量密度谱连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质2jj21( )d( )()edd21()( )d d21 ()()d21d2t-tfttf tFtFf t etFFFpppp即即定义定义上式称为上式称为非周期信号的能量公式或非周期信号的能量公式或帕帕塞塞瓦公式瓦公式，该式说明在时域中求得的信，该式说明在时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。号能量和在频域中求得的信号能量相等。 2F函数为非周期信号的函数为非周期信号的能量密度谱能量密度谱，简称为，简称为能量谱能量

19、谱 。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_28非周期信号非周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质例例4.1.2 4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量谱密度量谱密度。解: 信号是非周期的并且满足Dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（4.1.30），得到, /2( )0, /2Atx tt/2/2sin( )j FtFX FAedtAFpp p 矩形脉冲信号的谱是按 周期性地重复脉冲所得周期信号的谱

20、线(傅里叶系数)的包络， pT 0110( )()/ ()PpppkpkkTTTxtcX FkFk TcX kFX的 就是在处的取样：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价连续时间信号频率分析连续时间信号频率分析_29非周期信号非周期信号连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质时域和频域之间的不确定性原理: 当信号在时域扩展(压缩)时，则在频域压缩(扩展)OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 连续时间信号的频率分析连续时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分

21、析 离散离散时间信号傅里叶变换的性质时间信号傅里叶变换的性质30OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_31连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数周期序列周期序列 的周期为的周期为 ，对所有的，对所有的 ，有，有它的傅里叶级数表示包含它的傅里叶级数表示包含 个指数谐波函数个指数谐波函数 综合方程综合方程: : 分析方程分析方程: :综合方程通常被称为综合方程通常被称为离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数(DTFS),(DTFS),傅

22、里叶傅里叶系数系数 给出了信号的频域分析。给出了信号的频域分析。 ( )x n( )()x nx nNn12/0( )NjknNkkx nc ep12/10( )NjknNkNncx n ep kc N N2210 0, 1, , 1( ) (1) jkn Njkn NNkkkekNx nc ecpp并且可表示为： 其中是级数表达式中的系数。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_32连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数21110

23、012n/1112n2 ()00012 ()0,1,0, 2,10,01: ( ),0, , 2, ( )0,jkn NNNNkaknajlNNNNjlNjk l n NknnkNjk l n NnNaNkNNaeaennNx n ec eNklNNx n eppppp 其他在(1)式的两边乘以从到求和其12 ln/01( ) 0, 1, , 1NjNlnNcx n elNp他OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_33连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期信号傅

24、里叶级数周期信号傅里叶级数信号或者它的谱的任意信号或者它的谱的任意 个个连续的取样提供了信连续的取样提供了信号在时域或者频域的完整描述。号在时域或者频域的完整描述。2/12()/012/0( ), 2/( )() 1 ( )1 ( ),kjkn NkkkkNjkN n NkNnNjkn NknkjnNsneekNsnsnNcx n eNx n ecNcNpppp因此是周期为的周期信号基本周期为的一个周期序列NOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_34连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶

25、变换性质傅里叶变换性质周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数2/5160( )0, 1, , 5 jkn Nknx nkcep( ) ( )cos2 (b) ( )cos/3( ) ( )4,( )1,1,0,0ax nnx nnc x nNx npp是周期的周期信号 并且0021/2, ffp解：(a)由，得到因 不是有理数，所以,信号是非周期的。因此，不能用傅立叶级数展开。但是，它确实有频谱。他的频谱仅仅包含02p例：例：0( )1/6,x( )6bfnN频率所以是周期的，得到OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_35连续时间信号频域分

26、析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数32/4n=00123/21112441144( )0, 1, 2, 3( ), , (1), 0, (1)= (1)jknj kkx nkcceccjccjepp2/2/2116222/2 (5 )/11023415222(5 6)/( )cos0, , jn Njn Nnjn NjnNjn Nx neeeeeccccccppppppx( )n然而，可以表示为OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_36连续时间

27、信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期信号功率谱密度周期信号功率谱密度周期为 的离散时间周期信号的平均功率:离散时间周期信号的Parseval关系：信号的平均功率是单个频率分量的功率之和。序列 是功率作为频率的函数的分布,被称为周期信号的功率谱密度。单个周期上的能量 N1201( )NxnNPx n111*2/000111122*2/000011( )( )( )()11 ( )( )NNNjkn NxknnnNNNNjkn NkkknknPx n xnx nc eNNcx n ecx nNNpp2 (0, 1, , 1)k

28、ckN112200( )NNNknkEx nNcOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_37连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期周期信号功率谱密度信号功率谱密度例例 确定周期方波信号的傅里叶级数的系数和功谱密度。 解解: 2/2/112/2/110012/02/2/1111/( ), 0,1,1,0 (),1,2,1jkL Njk NNLjkn Njkn NkNNnnLjk NnANnjkL Nj kL Nj kL Nj kL Njk Nj k Nj k Nj

29、k NeANeeeeeeeeeALNcx n eAekNkekNeppppppppppppp2(1)/222(1)/sin(/)sin(/)/0,2,(/)sin(/) / sin(/)/0,2,/,sin(/) / sin(/),kj k LNkj k LNkL Nk NALNkNNANkLNkNALNkNNANceckLNkNpppppppp其他其他OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_38连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质周期周期信号功率谱密度信号功率谱密

30、度OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_39连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质非周期信号傅里叶变换非周期信号傅里叶变换综合方程 (逆变换)分析方程 (正变换)离散时间有限能量信号的傅里叶变换和有限能量模拟信号的傅里叶变换之间两个基本区别： #连续时间信号的傅里叶变换的频率范围是 。离散时间信号的频率范围在 或 上确定。 # #离散时间信号的傅里叶变换涉及到求和项,而不是连续时间信号情形中的积分。 212( )( )j nx nXedpp (, )(, )pp(0

31、, 2 )pOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_40连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质傅里叶变换的收敛性傅里叶变换的收敛性 如果信号 绝对可和， 肯定一致收敛。放松一致收敛的条件,定义有限能量序列的傅里叶变换，强加均方收敛的条件,这样，存在傅里叶变换的信号中就可以包括有限能量的信号。( )x n( ) X( )( ) ( )limsup( )( )0 ( )( )( )( )Nj nNnNNNj nnnnNXx n eXXXXxx nn ex n 假定当时，一

32、致收敛到，即，对于每一个 ，都有： 。22( )( ) ( )( ) ( ) lim( )( )000NNxNNnXXXXEx nXXdpp 从而保证误差的能量接近于 ，但没有必要趋于 。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_41连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质傅里叶变换的收敛性傅里叶变换的收敛性12sin1212sin( )( ) ( ), 0 0, (0),0 ( ) ,00( ) ccccj nj ncccccccnnnnXXx nedednnxdnx

33、nnnx npppppppppp的逆变换可得：如果因此，可得：(2)有时候，在当时，/ 的条件下，(2)中的系列可表示为： ( )sin/ ( sin)/(0)ccx nnnnnnxpp (3)不是一个连续信号，LHospital准则不适用于确定强调：。( )21, ( ) 10,ccXXpp例：是一个以为周期的周期信号，它的一个周期为：（）（有限能量信号）（有限能量信号）OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_42连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质傅里叶变换的收

34、敛性傅里叶变换的收敛性(1)式和式和(2)式的变换对式的变换对OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_43连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质傅里叶变换的收敛性傅里叶变换的收敛性如何确定序列如何确定序列的傅里叶变换的傅里叶变换 sinsin( ) ( ) (4)( )/(2)( )( )j nj nnnxcNj nNnNccnnnnx nx n eex nEXXeppp序列不是绝对可和的。于是，对所有的 ，不是一致收敛的。然而，的且为。所以，在均方意义下，(4)中的

35、求和一定收敛到式中的。 有限项的和： 能量有限考虑sin( ) cnnx nnp 的示意图在 处有一个明显的震荡尖峰，而且它与 的值无关。随着 增加，震荡变得更快，但波纹的大小相同。当 ，震荡收敛到不连续点 处，但它们的幅度不会趋近于0。然而， 在均方意义上收敛于 。 ( ) NX cNNN c( )X( )NXOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_44连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质傅里叶变换的收敛性傅里叶变换的收敛性( )( )( )NXXX在不连续点处，

36、逼近函数Gi的震bb荡性被称为s现象。连续时间连续时间周期信号周期信号的傅里叶的傅里叶级数被截级数被截断时，就断时，就可以看到可以看到类似的效类似的效果。果。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_45连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质非周期信号能量谱密度非周期信号能量谱密度离散时间信号的能量定义：用谱特征 来表示能量 ： 具有有限能量的离散时间非周期信号的Parseval关系。 的能量谱密度 假定 是实数2( )xnEx n ( )X xE*222*121211

37、22( )( )( )() ()( )()(jnnnjnnnxxEx n xnx nXedXxEx nn edXdXdpppppppppppp ( )xxS( )x n2()( )( )( )( ) ()( )jxxxxxxXXeSXSS， ( )x n*( )()( )()( )XXXXXX ），OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_46连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质带宽的概念带宽的概念低频信号: 信号的功率(或能量)谱密度集中在零频率附近。 高频信号 :

38、如果信号功率(能量)谱密度集中在高频。 中频信号(或带通信号):信号的功率（能量）谱密度集中在低频和高频之间很宽的范围内的某处。 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散离散时间信号频率分析时间信号频率分析_47连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质带宽的概念带宽的概念 功率或能量集中分布的频率范围的定量表示被称为信号的带宽。例如，假定一个连续时间信号的功率(或能量谱密度) 集中在 ，那么这个信号的 的带宽就是 。 对于带通信号，如果信号的带宽与中频相比很小，则信号就被称为窄带信号。反之，是宽带信号。 如

39、果一个信号的谱在 的频率范围之外都为0，那么它是带限信号。 没有一个信号既是时限的，同时又是带限的。进而，一个信号的时宽和频宽之间存在互为互易的关系。 95%12FFF95%21FFFB0: ( )0 : ( )0 2 (): ( )0 : ( )0 ()pppx ttxttTTx nnNx nnnNN为基周期性时限信号周期性时限信本周时限信号期为基号时信号本周期限OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 连续时间信号的频率分析连续时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析离散时间信号傅里叶变换的性质离散时间信号傅里叶变换的性质48OFDM背景

40、背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_49连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质n n对称性分析可以简化傅里叶变换和傅里叶逆变换公式.n 1212( ) ( )( )( )( )( )j nnj nXF x nx n ex nFXXedpp( )( )Fx nX ( )( )( )( )( )( )RIRIx nxnjxnXXjXcossinjej22()( )cos( )sin()( )sin( )cos1( )()cos()sin21( )()sin()cos2

41、RRIxIRIxRRIIRIXxnnxnnXxnnxnnxnXnXn dxnXnXn dpppp 对称性对称性OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_50连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性l 实信号实信号( )( )cos( )( ) ( ) ( )0( )( )sinRnRIInXx nnxnx nx nxnXx nn 如果是实信号()( )cos()cossin()si( )( )(n()()(RRRIIIXXXXnnnnXXjXX 谱

42、具有谱具有Hermitian对称性。对称性。 221( )( )( )( )( )tan( )RIIRXXXXXX( )() () ()( ) () XXXX 偶奇01( )( )cos( )sinRIx nXnXn dppOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_51连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性l 实实偶偶信号信号实偶信号的谱是实偶函数 011( )( )cos( )( )( )0 ( )( )sin()( )( )( )cos ()

43、 ( )sin ()( )(0)2( )cos ( )( )cos0 ( ) RRnRIInRnIXx nnx nx nx nXx nnxnx nx nnx nxnXxXnndxnnXx npp 偶奇偶)如果是实偶信号OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_52连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性l 实实奇奇信号信号实奇信号的谱是纯虚值的，而且是频率变量的奇函数。 0( )0 ( )2( )sin1( )( )sinRInIXXx nnx n

44、Xndpp OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_53连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性l 纯虚信号纯虚信号0( )( )sin ( )0( )( )( )( )cos 1( )( )sin( )cosRInRIIInIRIXxnnxnx njxnXxnnxnXnXn dpp（奇）（偶）110( )2( )sin () ( )01( )( )sin () ( )RInIIIRXx nnXx nXn dxnx npp 奇如果10( )0(

45、)(0)2( )cos1( )( )cos () ( ) RIIIInIIIXXxx nnx nXn dxnx npp如果OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_54连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性*12*12 ( )( )( )( )() ( )(: )( )( )()eeeRIoooRIx nxnjxnx nxnx nxnjxnx nxn定义( ):( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )RIeoeoRRIIeox

46、nx nxnjxnxnxnj xnxnx nxn则任一复值信号可分解为( )() ()( )eeoox nxnxnx n OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_55连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_56连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质对称性对称性 傅里叶变

47、换对称性总结傅里叶变换对称性总结 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_57连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理和性质定理和性质线性性线性性n傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线性变换性变换. .n若若则有则有1 1221122( )( )( )( )Fa x na x na Xa X 1122( )( ) ( )( )FFx nXx nX OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号

48、离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_58连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理和性质定理和性质时移性时移性n若若则有则有()( )Fj kx nkeX ( )( )Fx nX OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_59连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理和性质定理和性质时域反转时域反转n若若则有则有( )( )Fx nX ()()FxnX OFDM背景背景 OFDM

49、原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_60连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理和性质定理和性质卷积定理卷积定理n若若则有则有1212( )( )( )( )( )( )Fx nx nx nXXX 1122( )( ) ( )( )FFx nXx nX OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_61连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理

50、和性质定理和性质相关定理相关定理 若若则有则有1 21 2121212( )( )( )() ( )() ) () ( j nj nnnkj nnk nkx xx xjSrn ex k x kn ex kn ex kx knx ke 2121 ( ) kknj kj kex kXXXe1122( )( ) ( )( )FFx nXx nX 1 21 212( )( )( )() Fx xx xrnSXX 证明2112( )( )()kx xrnx k xkn1 2( )x xS称为信号x1(n)和x2(n)的互能量密度谱。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价离散时间信号离散时间信号傅里叶变换性质傅里叶变换性质_62连续时间信号频域分析连续时间信号频域分析 离散时间信号频域分析离散时间信号频域分析 傅里叶变换性质傅里叶变换性质定理和性质定理和性质Wi