高等流体力学—伯努力积分与动量定理

1、1第六章 伯努力积分和动量定理2第一节 伯努力积分和拉格朗日积分 理想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情形下可以积分出来，得到伯努力拉格朗日积分方程。 理想流体兰勃葛罗米柯形式的运动方程为：divPFdtdvvrotvVgradtvdtdv223将本构方程代入运动方程zwyvxuxuppxx322zwyvxuyvppyy322zwyvxuzwppzz322yuxvpxyzuxwpxzzvywpyzdivPFdtdv4)(3vgradvgradpFdtdv 对理想流体：0gradpFdtdv1vrotvVgradtvdtdv22gradpFvrotvVgradtv12

2、25 正压流体：内部任一点的压力只是密度的函数的流体。若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例如温度等）有关，则称为斜压流体。 质量力有势：即质量力是一单值函数的势函数，满足下式：VgradF gradgradp1dp 定义：V 则运动方程变为：gradVgradvrotvVgradtv226022vrotvVVgradtv 对于定常流动：0tv022vrotvVVgrad s 流线 对流线上任一点的切线求单位向量得：Vvs a) 伯努力积分7 将此式两边点乘单位矢量s得：022vrotvVvVVgrads0022VVgrads022vrotvVVgrad在切线方向的方向导数02

3、2VVs8 沿流线积分，得： C是积分常数，在不同的流线上取不同值，是流线的号码 CVV22 对不可压缩均质流体：为常数pdp 流体所受质量力只有重力时：VgradzgF9gzV积分得：gzV CVV22pdp CpgzV22 122CpzgV10伯努力方程的物理意义：沿流线总能量守恒速度头压力头位势头11伯努力方程的适用条件：理想，正压，质量力有势不可压缩均质流体定常流动 CpgzV2212b) 拉格朗日积分022vrotvVVgradtv理想，正压，质量力有势无旋流动0rotv速度场有势，存在势函数gradv 022VVgradtgrad13梯度是对空间坐标的导数，是对时间的导数，空间与时

4、间是相互独立的变数，因此微分号可以对调，得：tgradtgrad022VVgradtgrad022VVtgradt 14)(22tfVVt对于某一固定时刻，f(t)在整个流场中采取同一常数值。对于不可压缩流体，只受重力时：)(22tfpgzVtc) 对于理想、正压的、质量力有势，不可压缩流体，定常流动且无旋，只受重力时，得到伯努力拉格朗日积分方程：CpgzV22对流场中各点和各个时刻取同一常数值15 d) 实际流体的伯努力方程whpgzVpgzV2222112122hw代表由位置1到位置2单位质量的流体沿流线的能量损失16 d) 实际流体的总流的伯努力方程近似认为在各流动截面上流速分布均匀，可

5、以用平均流速代替不同流线上的流速，条件是流动处于缓变流状态whpgzVpgzV2222112122平均流速平均流速17缓变流：在流道中各流线之间的夹角很小，流线趋于平行，且流线的曲率很小，流线都近似于直线。1可忽略惯性力，在流动过程中只受重力2在垂直流动方向的截面上无速度分布，压力分布规律与静水压力分布一致。3在流场中只有法向应力，而无剪切应力。18实际流体总流的伯努力方程适用条件：不可压缩均质流体定常流动缓变流19 第三节伯努力方程的实际应用a) 小孔出流连续性方程：BBAAVSVS1ABBASSVV0AV近近似似认认为为20a) 小孔出流伯努力方程：0pppBAwABBhgzgzV22wB

6、ABhzzgV)(22ghhghVwB222ghSQB2流流量量系系数数:21b) 驻点压力忽略重力影响，沿O点的流线建立伯努力方程：oppV22动压静压总压22风速管Pitot tube(1732)最简单的估算公式：)(2ppVohhghhV4205. 18 . 9222水水OmmHh223c) 文丘里管(Venturi tube)QVSVS2211hwpVpV22212122忽略能量损失得：21222212212122SSVVVppp21222212SSSQ24 喉部的静压：2122211212SSVpppp212221212222111212SSQpSSSQp122ppS可可大大大大低低

7、于于足足够够小小，则则足足够够大大，Q25文丘里管的工业应用文丘里式除尘器26作业：P299第4题27第四节动量定理及其应用SpFSvvtvnSSn)( 积分形式的动量方程 对于流体边界上属于整体性的特征量，例如运动的流体对于边界的作用力等，可以利用积分形式的动量方程根据边界条件直接求解，而不需要求助于解微分方程。动量方程SpFvdtdnS28第四节动量定理及其应用SpFSvvtvnSSn)( 积分形式的动量方程面积分体积分面积分 定常运动时：SpFSvvnSSn29面积分体积分面积分不可压缩均质流体：常数SpFSvvnSSn 质量力有势：即质量力是一单值函数的势函数，满足下式：VgradFV

8、dSnVdVFs体积分面积分 奥高定理30控制面S可自由选取，对于特定的控制面形状，很容易利用上式及边界条件直接积分SpSnVSvvnSsSna) 小孔出流的反推力及收缩比计算(1) 质量力只有重力；(2) 只有水平方向的速度；xnSxSnSpSvv31认为在出口截面上速度均匀分布 为小孔出流的收缩系数：实际形成的出流面积与孔口截面积之比jxSnSVSvv2ghV2BjSSBxSnghSSvv232 为小孔出流的收缩系数：实际形成的出流面积与孔口截面积之比xBCBxnSRghSdSppSp)(0BxSnghSSvv25 . 033a) 小孔出流的应用34b) 火箭发动机推动力计算(1) 设气体

9、是理想的、定常运动且重力可忽略(2) 只有运动方向上有支反力作用；动量定理的表达：单位时间动量的变化等于合外力35b) 圆管突然扩大的能量损失(1) 不可压缩流体、定常运动且重力可忽略(2) 忽略粘性的作用；36b) 圆管突然扩大的能量损失实际流体的伯努力方程为：whpVpV22212122whppVV2122212237b) 圆管突然扩大的能量损失对控制面ABCDEFGH应用动量定理2211SVSVSpSvvnSSn121222SVSVSvvSn连续性方程：)(1222VVSVSvvSn38b) 圆管突然扩大的能量损失对控制面ABCDEFGH应用动量定理SpSvvnSSn221111SpSpSpSpSpGHCDnS21SSSSGHCD221)(SppSpnS39b) 圆管突然扩大的能量损失221)(SppSpnSSpSvvnSSn)(1222VVSVSvvSn)(12221VVVpp40b) 圆管突然扩大的能量损失)(12221VVVppwhppVV2122212222121