高数高等数学1.2数列的极限

1、12“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣” 播放播放刘徽刘徽3R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS4截丈问题截丈问题;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 15 按自然数编号依次排列的一列数按自然数编号依次排列的一列数12,(1)nxxx称为称为,简称简称.其中

2、的每个数称为数列的其中的每个数称为数列的,nx通通项项（称称为为一一般般项项），数列数列(1)记为记为. nx例如例如3452,;123nn 1111,;2482n1, 2, 3, n12n2nn 6(1) 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点可看作一动点.,21nxxx1x2x3x4xnx(2) 数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn 11,1, 1,( 1),;n 114( 1)2,;23nnn 3,33,333 ,在数轴上依次取在数轴上依次取1( 1)n 1( 1)nnn 7.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放8Oxnnx

3、nnx 对对于于数数列列，当当 无无限限增增大大时时（），对对应应的的变变化化趋趋势势：nx 是是否否无无限限接接近近于于某某一一确确定定的的常常数数？.nn 可可以以变变得得大大于于任任何何正正整整数数n1(1)2 Ox 1x122x143x184x116(-1)(2)nn 3x13 5x15 1x1 6x164x142x122(3) n(4 ) (1) n (3)(4)没有明确的没有明确的变化趋势变化趋势(1)(2)有明确的变有明确的变化趋势化趋势9( 1)1.nnn 观观察察数数列列当当时时的的变变化化趋趋势势( 1)1nnyn ：32540,23451x1ox322x3x235x454

4、x546x76通过观察可以看出通过观察可以看出:( 1),11.nnnxn 当当无无限限增增大大时时无无限限接接近近于于 “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它?( 1)( 1)11(1)1nnnxnnn10,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n11,100nx 有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n11,10000nx 有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n11,1000nx 有有0, 任任意意给给定定1,N 取取1.nx 恒恒有有成成立立,nN 只只要要时时1nx ( 1)1nnn 11nx设设

5、为为一一数数列列，a若若存存在在常常数数 ，对对于于任任意意给给定定NnN 总总存存在在正正整整数数 ，使使得得当当时时，不不等等式式nxa 的的正正数数 ，都都成成立立，nax那那么么称称常常数数 是是数数列列 的的极极限限，或或称称数数列列nxa收收敛敛于于 ，记记为为limnnxa ，()nxan 或或如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是的的,limnnx或或称称不不存存在在. .1.;nnxaxa 不不等等式式刻刻划划了了与与 的的无无限限接接近近2.N 与与任任意意给给定定的的正正数数 有有关关12:N “”定定义义limnnxa0, x1x2x2 Nx1 NxNx

6、 2 a aa,(,),nnNxaa当当时时 所所有有的的点点都都落落在在内内 只只有有,nN 当当时时0,N.nxa 恒恒有有().N有有限限个个 至至多多只只有有个个 落落在在其其外外13. 1)1(lim1 nnnn证明证明1 nx1)1(1 nnn，n1 0, ,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn ，就有就有 1)1(1nnn. 1)1(lim1 nnnn即即14limnnNxa 用用定定明明步骤为：步骤为：10; （）任任意意给给定定2,nxa （ ）反反解解不不等等式式( )ng 得得， ( ) ;Ng 取取3nN （ ）指指出出，当当时时，恒恒

7、成成立立. .,nxa 不不等等式式152( 1),(1)nnxn 已已知知lim0 .nnx 证证明明0nx 2( 1)0(1)nn 21(1)n 11n 0(1),设设0,nx 要要使使1,1n 只只要要n 即即11. 11,N 取取2( 1)0,(1)nn ,nN 则则当当时时 就就有有2( 1)limlim0.(1)nnnnxn 故故N 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一. 不一定取最小的不一定取最小的 N . 1110,nnnx 如如1.N 也也可可取取16. 1, 0lim qqnn其其中中证证明明0, ,0 nnqx,lnln qn,lnln qN 取取,时时则当则当Nn ,0

8、nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 17.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设0, .limaxnn 故故,limaxnn ,nNnNxa ，使使得得当当时时，恒恒有有nxa 从从而而有有aaxn a nnxaxa ,.nxa 反反解解不不等等式式时时 有有时时要要经经过过适适说说：当当的的放放大大明明18用反证法用反证法. . 0.2ba 取取limlimnnnnxaxb设设又又ab 且且，11lim,2nnnbaxaNnNxa 由由，故故存存在在, ,当当时时，有有22lim,2nnnba

9、xbNnNxb 由由，故故存存在在, ,当当时时，有有nx如如果果收收敛敛.它它的的极极限限唯唯一一1912nbaxanN （时时），22nbaxbnN （时时）2nbaxa 322nababx2nbaxb 又又322nabbax 12max,NNN 取取，nN 则则当当时时，22nnababxx 又又矛盾矛盾.唯一性得证唯一性得证.20nx对对于于数数列列，0M 若若存存在在常常数数，n使使对对一一切切 ，有有Mxn nnxx则则称称，否否则则称称有有界界无无界界. .nx如如果果收收敛敛,limaxnn 设设, 1 取取,1,nNnNxa则则使使得得当当时时，恒恒有有nnxxaa 即即有有

10、nxaa1.a.nx一一定定有有界界21(1) 定理的逆命题不成立定理的逆命题不成立.(2)无界数列必定发散无界数列必定发散,2.nnx 无无数数界界发发散散列列( 1).nnx ，虽虽然然有有界界却却发发散散,1,max1axxMN 记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数.有界有界即即nx1nxanN（时时）如数列如数列220,N 存存在在0,a 不不妨妨设设,NnN 则则使使得得当当时时，22naaaxa即即有有，2naxalim,0 , )0 (nnxaaa 设设且且0.(0),nnxnNx 当当时时 都都有有0.2a,2a 对对,2naxa 恒恒有有0li(0)mnnnn

11、nxxxxa 如如果果从从某某或或项项起起，且且00.()aa 或或231. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义定义.2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性.24作业：作业： P30 习题二习题二1.(2)(4)(5)(6)(8)251 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入261 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合

12、割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入27“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入28“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入29“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1

13、1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入30“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入31“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入32“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆

14、术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入33“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入34.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限35.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限36.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限37.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限38.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限39.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限40.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限41.)1(11