量子力学讲义_第二章_波函数与Schroinger方程

1、第二章 波函数和Schroinger方程质子在钯中的波函数http:/www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml薛定谔ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)2.1 波函数的统计解释波粒二象性的矛盾和解释 1. 波和粒子的关系 波由粒子组成,波是大量粒子运动的表现 与减少入射粒子流密度,让粒子近似地一 个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符 粒子由波组成,粒子=波包2.1 波函数的统计解释反例:i)自由粒子平面波,占据整个空间 ii)色散 群

2、速度: 相速度: 必有色散-粒子解体2.1 波函数的统计解释 粒子性 颗粒性(V) 轨道(X) 波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性-干涉,衍射(V)2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 时间为t时刻,粒子出在位置r的几率2.1 波函数的统计解释波函数的讨论 的平方可积除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续不确定性: i) 表示同一个态-归一化 ii)相角不确定性(常数相角)经典,态确定性 量子:几率性=可用以计算平均值2.1 波函数的统计解释波函数的讨论平面波多粒子体系的推广2.1 波函数的统计解释动量几率分布函数 =Fourier变换频谱展开2

3、.1 波函数的统计解释 可描写体系状态, 也可描写体系状态 是同一个态,不同自变量2.1 波函数的统计解释 代表在 态中, 出现单色平面波 的几率2.1 波函数的统计解释处在 的粒子,动量无确定值相当于晶体衍射如若 则2.1 波函数的统计解释 坐标表象和动量表象2.2 态叠加原理 波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点2.2 态叠加原理 新特点可能性和概率干涉项的概率性是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同粒子之间的干涉2.2 态叠加原理波叠加原理的表述 a)如果 是可能态 则 也是一个可能态 b)在 中,体系出现 的几率是2.2 态叠加原理讨论 a) b)光子偏整

4、态:Malus定律2.2 态叠加原理讨论 但任何时候观测到的都是一整个光子, 而不是 个光子 =概率相干2.2 态叠加原理 讨论 c)线性叠加 d)叠加次序并不重要2.3 薛定谔方程 经典力学 牛顿方程特点:线性方程二阶全微分方程,只有一个独立变量t唯一性方程系数不含状态参数,有普适性2.3 薛定谔方程 量子力学 要求:线性方程(态叠加原理的直接要求)系数也不含状态参数t与x,y,z均为变量=只能是偏微分方程解的唯一性=两阶正规方程2.3 薛定谔方程量子力学 进入方程式,体现微观世界的特点(量子化) -0,过渡到牛顿方程2.3 薛定谔方程建立方程的启示 自由粒子 已知解=方程式(不唯一)2.3

5、 薛定谔方程已知解=方程式(不唯一)2.3 薛定谔方程一般情况:2.3 薛定谔方程说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当 b)算符形式2.3 薛定谔方程力学量用算符表示两个惯例 1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程2.3 薛定谔方程两个惯例 2)将H分成三部分: i)与坐标无关的动量二次式 ii)只依赖于坐标的函数 iii) 2.3 薛定谔方程因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动包含在薛定谔方程中2.3 薛定谔方程2.3 薛定谔方程为什么 而与t无关?2.3 薛定谔

6、方程定态U=U(r), 不显含t 2.3 薛定谔方程 = 几率流密度变不变?2.3 薛定谔方程本征值方程2.3 薛定谔方程 边界条件的讨论:U连续,波函数及其一阶导数连续U不连续,波函数及其一阶导数连续U趋向无穷大 (一阶)波函数连续,一阶导数不连续U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一阶导数亦不连续2.4 一维方势阱一维无限深势阱2.4 一维方势阱一维无限深势阱2.4 一维方势阱一维无限深势阱2.4 一维方势阱一维无限深势阱一维方势阱波函数图象一维方势阱波函数图象2.4 一维方势阱 思考题:将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是足够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数和能级怎么变?将势场

7、曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?2.4 一维方势阱一维方势阱2.4 一维方势阱一维方势阱2.4 一维方势阱一维方势阱2.4 一维方势阱a)偶宇称 波函数为 cos(kx)关键:用 在 连续以代替波函数以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响2.4 一维方势阱 结论:无论Ua2取何值,都有解(见下一页图)一维方势阱偶宇称能谱图2.4 一维方势阱b)奇宇称 波函数为sin(kx)结论:当 时才有解(见下一页图)一维方势阱奇宇称能谱图2.4 一维方势阱c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例具有不同的深度但是宽度相同的方势阱(1)具有不同的深度但是宽度相同的方势阱(2)具有相同的深度

8、但是宽度不同的方势阱(1)具有相同的深度但是宽度不同的方势阱(2)2.4 一维方势阱 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?2.5 一维谐振子 Motivation:u 物理上:势场在平衡位置附近展开 U(x)k(x-x0)2任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合辐射场简谐波的叠加原子核表面振动,理想固体(无穷个振子)真正可以严格求解的物理势(不是间断势)描述全同粒子体系产生,湮灭算符2.5 一维谐振子 Motivation:u 数学上:学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案通过数学,看物理2.5 一维谐振子2.5 一维谐振子 求解1D Schrodinger Eq with harmonic osc

9、illatoru 无量纲化优点单位在物理学上并不重要,重要的是一些无量纲数可使方程的系数变得最简单2.5 一维谐振子2.5 一维谐振子u “抓两头,带中间”抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为 (三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点)带中间:使函数在两头有与渐近行为相同的形式2.5 一维谐振子使之变成关于H的方程式2.5 一维谐振子求级数解,找递推关系看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱及解求出波函数=归一化 aH01212aaaaa2112222vaa!12!2! 212422e12 n, 2 , 1 , 0n 222422!2!12! 232

10、1212nnnnnnnnnnnnnnnH为奇数为偶数nnnnn)(2/12/2, 2 , 1 , 021nnEnnnEE1210E xHeNxnxnn22212/12/1!2nNnn2.5 一维谐振子u 厄米多项式的讨论别名母系(母函数)仇家(正交性)2.5 一维谐振子u 厄米多项式的讨论兄弟姊妹(递推关系)对称性节点2.5 一维谐振子u 最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数2.5 一维谐振子p 产生湮灭算符2.5 一维谐振子 思考题:半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)2.5 一维谐振子 思考题:对称性 动量表象2.5 一维谐振子 思考题:n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(eleme

11、ntary exitation) 集合产生湮灭算符2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并2.6 一维薛定谔方程的普遍性质2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态波函数可取为实数2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态本征函数的图象(图见后)2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态本征函数的图象2.6 一维薛定谔方程的普遍性质一维束缚态本征函数的图象2.6 一维薛定谔方程的普遍性质能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例2.6 一维薛定谔方程的普遍性质能量本征谱性质 振荡解,连续谱,二度简并,散射态 指数衰减解 振荡解 本征谱连续,无简并,非束缚态解2.6 一维

12、薛定谔方程的普遍性质 两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无简并2.6 一维薛定谔方程的普遍性质节点数: 基态无节点,第n个激发态有n个节点对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称正交归一性2.6 一维薛定谔方程的普遍性质上述结论均可用 的性质证明一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的Wronskian行列式有关2.7 势垒贯穿 经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走 势阱有无穿透? 什么条件下全透射无反射? 势垒高度和宽度的影响?2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿2.7 势垒贯穿在非相对论情况下,粒子不可

13、能穿透无限高位垒2.7 势垒贯穿如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换2.7 势垒贯穿共振透射的条件和共振能量2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)辏力 普遍性质若U(r)处处有界=波函数处处有界若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场的极小值能量算符的本征值比大于势场的极小值若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零的能谱必定是分立谱,对应束缚态2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)普遍性质Landau fall2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)Landau falls2: r趋于零,吸引力为主;r趋于无穷,斥力为主 Landau falls=2: 决定于c和alpha的数值 alpha

14、_critical=barh2/8m2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)角度部分的解2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)勒让德多项式的性质别名2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)母系兄弟姊妹2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)仇家对称性2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)几个最低阶的勒让德多项式如下2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)综上所述,球对称场中薛定谔方程角度部分的解2.8

15、 三维薛定谔方程(辏力场情况)最低的几个球谐函数是2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)最低的几个球谐函数是2.9 氢原子二体问题质心运动相对运动相当于自由粒子运动M=m1+m2相当于一个质量为折合质量m的粒子的运动m=m1*m2/(m1+m2)Et=Ec+E2.9 氢原子库仑场中的径向方程2.9 氢原子 2.9 氢原子 2.9 氢原子 2.9 氢原子作代换得到令2.9 氢原子2.9 氢原子为切断无穷级数,取由得到2.9 氢原子2.9 氢原子由此,氢原子的镜像波函数是最低阶的几个径向波函数最低阶的几个径向波函数2.9 氢原子 讨论简并度 2.9 氢原子 讨论能级 对一般有心力场,能级与角动量量子数l 与磁量子数m有关径向分布函数与半径的关系径向分布函数与半径的关系(a)径向分布函数与半径的关系径向分布函数与半径的关系(b)径向分布函数与半径的关系径向分布函数与半径的关系(c)2.9 氢原子 讨论径向分布函数: 节点数 2.9 氢原子 讨论角分布 特点:对z轴旋转对称(因为是Lz的本征态) 波函数角分布的图象波函数角分布的图象(a)波函数角分布的图象波函数角分布的图象