浅谈导数在中学数学中的应用论文

1、毕 业 论 文题 目：浅谈导数在中学数学中的应用学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级： 姓 名： 指导教师：（讲师） 完成时间：2012年4月5日浅谈导数在中学数学中的应用 摘要：导数的应用将随着新课程的改革而显得越来越重要，它渗透到中学数学的各个领域。导数可以用极限概念定义。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的分支学科，导数相关的一些微积分知识，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识研究函数的性质，解决几何、切线、函数的单调区间、数列极限有关的问题，同时解决实际问题也有重要的应用。导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加

2、紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。关键词：导数、函数、方程、切线、数列Abstract ：The application of the derivative of the new curriculum reform will be with and become more and more important, it through to the middle school mathematics every field of the derivative can use limit concept definition of differential calculus is resear

3、ch function integration and related concepts and applications of the branch, derivative relevant some calculus knowledge, is to solve practical problems powerful mathematical tool, using derivatives knowledge about the study of the nature of the function, solve the monotony of tangent function geome

4、try sequence limit of the interval and, at the same time, solving actual problems also has important application of derivative is our middle school mathematics study of a powerful tool, it make the content of the chapters of the contact more closely, can help us to the middle school mathematics furt

5、her studyKeywords: derivative function equation tangent sequence.1.利用导数求不定式的极限（，）型不定式的定值。导数对于极限问题，尤其是（，）型不定式的题目即无穷小之比等于相应的导数之比（洛必达法则）。例：（1） 分析：首先我们一下极限的分子（）和分母（）都趋于零，即：，因此极限为（）型。所以我们对分子分母进行求导。解：原试=1例：（2）分析：首先我们一下极限的分子（）和分母（）都趋于无穷，即：，因此极限为（）型。无穷大之比等于相应的导数之比，所以我们对分子分母进行求导。 解：原试=02.导数在函数中的应用2.1利用导数图形分析

6、函数的图像。例：设是的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）。分析：我们首先来看的图象在或的区域上，那么在或的定义域上是增函数；在上函数是减函数；那么我们看选项只有：O12xy O12xyxyyO12yO12xO12xABCD2.2求函数的单调区间例：设，求函数的单调区间。分析：要求函数的单调区间，我们可以用求导的方法，令函数的导数为增函数，求出的解为增区间，令为减函数，求出的解为减区间。 解： 当时为增函数 即： 解得：或为增区间。 当时为减函数。 同理可得：为减区间。 2.3求函数的极值和最值问题 极值和最值问题是中学数学的重点、难点，它涉及到中学数学知识的各个方面，处理次类问题往往

7、需要较高的思维能力和技能，而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化。例：求函数的极值。 分析：要求一个函数的极值，我们先求出函数的驻点，在对驻点进行比较，就可以知道极值。解： 令 解得：（驻点） 又在驻点处的二阶导数值分别为：，所以：，原函数在处取得极大值 ，原函数在处取得极小值例：已知函数，是的极值点，求在 1，a上的最大值。解： 由函数导可得 是的极值点， 所以有，得所以 令，解得（舍去）， 则x1(1,3)3(3,4)40+-6-18-12所以在1，4上的最大值为。2.4利用导数求参数取值范围含参数的导数问题是函数的重点和难点，此类问题通常涉及到最值和恒成立的问题，要求我们在求解中

8、，分类讨论、数形结合、分离参数等基本思想的灵活应用含参数的导数问题往往涉及对参数的讨论。我们例题来分析。例：已知函数（a为常数），若存在，使成立，则实数a的取值范围是 分析：参数a可以比较方便的用含x的函数来表示，因此想到分离参数，转化为存在性问题，进而转化为最值问题需意识到在恒成立；在对的讨论中，需对其部分分子进行在区间的值域分析，得出在恒成立从而得出在恒成立解：，则：，令 ，则，在单调递增，即在恒成立故存在，使令 ，即，下求在的最小值令 ，则，故是函数的极小值点，也是最小值点，即在恒成立故在恒成立在单调递增.以函数为主体,以导数作为解题思路,以函数的性质和导数应用为目标,是函数与导数交汇试

9、题的显著特点.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过分离参数、分类讨论等思维方法进行求解而求解策略的恰当选择，取决于求解视角是否准确3导数在不等式恒等问题中的应用例：当时，证明不等式成立。分析：证明可以构造函数如果，则在上是减函数，同时若由减函数的定义可知，时，有即证明了。证明：设又 在内单调递减且 故当时，成立。4.利用导数研究方程的根.利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。例：关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（）

10、A、（-，-1 B、（-1，5） C、（1，5） D、（-，15，+）分析：首先设求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数的范围解：原方程化为：，设 令，解得：或。 ，解得：）在取极大值4，在时取极小值-2根据的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，-24解得a的取值范围是-15故选B5导数思想在解析几何中的一个简单应用例：过点作抛物线的切线，求切线方程解：设切点 由得，抛物线在点处的切线斜率为故所求切线方程为 即点在切线上 ，所求切线方程为， 。求二次曲线切线问题的常规方法是

11、点斜式设直线方程，与抛物线联立，求出斜率，写出直线方程。而通过上述例题可以看到，使用常规方法会非常麻烦。而采用求导的方法就简捷很多。当然，导数在解析几何中的应用不仅于此。笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用，欢迎其他同仁批评指正。6.导数在数列中的应用例：已知 ，求的前n项和。分析：我们的通常会想到等比数列、错位相减求，但是增加了计算的难度，我们主要仔细观察字母的系数和指数相差1，幂的导数刚好就是这样的形式，所以我们把看成幂（）的前n项的和的导数 解：令 7导数在实际问题中的应用正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问

12、题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题.7.1成本问题。例：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设BCD，则BC，CD，（0），AC50 甲 设总的水管费用为，依题意有： 河 A C D

13、乙 B令，解得：根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时，所以：AC504020（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.7.2制作容器。例：在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？分析：设箱底边长为 cm，则箱高为cm，得箱子容积是箱底边长的函数，从而求得，令，求出一个值，这个值就是使容器的容积达到最大。解：设此时底边的边长是，则高 ， （）则 令：，解得：所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大，最大容积是16000cm这是一道实际生活中的优

14、化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. 通过上述的例子，我们可以看到导数在中学数学的联系非常密切，它把各章的内容联系起来，合理的构造导数应用，可以使我们在做题时事半功倍，让我们彻底了解导数的意义和作用，是我们辅助分析和解决问题必不可少的工具。 .参考文献：1马德炎. 常见的代数不等式的证明J.高等数学研究,2009。2刘玉莲. 数学分析讲义上册M. 第四版.北京： 高等教育出版社.20043. 邵士敏. 高等数学基础M.第二版.北京： 科学出版社.2000. 4. 赵春明. 几个重要不等式的应用技巧J 无锡教育学院学报，20