高中数学课件第二章第6节指数函数

1、1.了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指理解有理指数幂的含义，了解实数指 数幂的意义，掌握幂的运算数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的理解指数函数的概念，理解指数函数的 单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型知道指数函数是一类重要的函数模型. 根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根xnan1且且nn*当当n为奇数时，正数的为奇数时，正数的n次次方根是一个方根是一个 ，负数，负数的的n次

2、方根是一个次方根是一个正数正数负数负数零的零的n次方根是零次方根是零1.根式根式(1)根式的概念根式的概念.根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注当当n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n次方根有次方根有 ，它们互为它们互为负数没有偶次方根负数没有偶次方根两个两个相反数相反数(2)两个重要公式两个重要公式. .2.有理数指数幂有理数指数幂(1)幂的有关概念幂的有关概念 零指数幂：零指数幂：a0 (a0)； 负整数指数幂：负整数指数幂：ap (a0，pn*)； 正分数指数幂：正分数指数幂：a (a0，m、nn*，且，且n1)； 负分数指数幂：负分数指数幂：a (a0，m、 nn*，且，且n1

3、). 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂的负分数指数幂 .无意义无意义10思考探究思考探究1分数指数幂与根式有何关系？分数指数幂与根式有何关系？(2)有理数指数幂的性质有理数指数幂的性质 aras (a0，r、sq)； (ar)s (a0，r、sq)； (ab)r (a0，b0，rq).arsarsarbr提示：提示：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算幂进行根式的运算.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质r(0，)(0,1)y1y10y10y1增函数增函数减函数减函数思考探究思考探究2如图是指数函

4、数如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，如何确定底数的图象，如何确定底数a，b，c，d与与1之间的大小关系之间的大小关系.提示：在图中作出直线提示：在图中作出直线x1，与它们图象交点的纵坐标，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即即为它们各自底数的值，即cd1ab，所以无论在，所以无论在y轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大. 1.若若x416，则，则x的值为的值为 () a.4b.4 c.2 d.2 解析：解析：x416x24x2.答案：答案：d2.化简化简(2)6 (1)0的结果为的结果为 ()

5、a.9 b.7 c.10 d.9 解析：解析：(2)6 (1)0(26) 1817. 答案：答案：b3.函数函数f(x)ax(a0且且a1)对于任意的实数对于任意的实数x，y都有都有 () a.f(xy)f(x)f(y) b.f(xy)f(x)f(y) c.f(xy)f(x)f(y) d.f(xy)f(x)f(y)解析：解析：f(x)f(y)axayaxyf(xy).答案：答案：c4.已知已知a (a0)，则，则log a.解析：解析：a ，a ，a ，log alog 3.答案：答案：35.函数函数y( )1x的值域是的值域是.解析：解析：函数的定义域为函数的定义域为r，令，令u1xr，y(

6、 )u0.答案：答案：(0，) 指数幂的化简与求值的原则及结果要求指数幂的化简与求值的原则及结果要求1.化简原则化简原则(1)化负指数为正指数；化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序.2.结果要求结果要求（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指 数幂表示；数幂表示；（3）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也

7、不能既有 分母又有负指数幂分母又有负指数幂. 已知已知a，b是方程是方程9x282x90的两根，且的两根，且ab，求，求(1) ；(2) ；(3)(ab)(a b )(ab)(a b ).思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记a，b是方程的两根，是方程的两根，解解9x282x90，解得解得x1 ，x29，且，且ab，故，故a ，b9.(1)原式原式a ，原式原式3.原式原式2(ab) 2.从而原式从而原式2. 画指数函数画指数函数yax的图象，应抓住三个关键点的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，(1， )，熟记指数函数，熟记指数函数y10 x，y2x，y( )x，y( )x在同一坐标系中

8、图象的相对位置，由此掌握指数函在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系数图象的位置与底数大小的关系. 已知函数已知函数y( )|x1|.(1)作出图象；作出图象；(2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当由图象指出当x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. 思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)由已知可得由已知可得其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是：y( )x(x0) y( )x1(x1)；另一部分是：另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1).图象如图所示：图象如图所示：(2)由图象知函数在由图象知函数在(

9、，1上是增函数，在上是增函数，在(1，) 上是减函数上是减函数.(3)由图象可知当由图象可知当x1时，函数时，函数y( )|x1|取最大值取最大值1， 无最小值无最小值. 解：解：(1)图象如图图象如图.(2)函数在函数在(，1上是增函数，上是增函数，在在(1，)上是减函数上是减函数.(3)当当x1时函数时函数y( )|x1|有最大值有最大值1，无最小值，无最小值若将本例中的函数改为若将本例中的函数改为y( )|x1|，答案又如何？，答案又如何？1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数函数yaf(x)的定义域与的定义域与yf(x)的

10、定义域相同；的定义域相同；(2)先确定先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性、值域，可的值域，再根据指数函数的单调性、值域，可 确定确定yaf(x)的值域的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间求出复合函数的单调区间(注意注意“同增异减同增异减”). (1)讨论函数讨论函数f(x)( ) 的单调性，并的单调性，并求值域求值域.

11、(2)已知已知2 ( )x2，求函数，求函数y2x2x的值域的值域.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记函数函数f(x)的定义域为的定义域为r，令，令ux22x，y( )u.ux22x(x1)21在在(，1上是减函数，上是减函数，ux22x(x1)21在在(1，)上是增函数，上是增函数，y( )u在其定义域内是减函数，在其定义域内是减函数，函数函数f(x)在在(，1内为增函数内为增函数.f(x)在在(1，)上是减函数上是减函数.x22x(x1)211,0 1，0( ) ( )13.函数函数f(x)的值域为的值域为(0,3.(2)2 x22(x2)，x2x42x，即即x23x40，得，得4x1.又又

12、y2x2x在在4,1上为增函数，上为增函数，2424y221.故所求函数故所求函数y的值域是的值域是 . 指数函数为每年高考的必考内容，其中指数函数图指数函数为每年高考的必考内容，其中指数函数图象以及指数函数与对数函数的关系为高考的常考内容，象以及指数函数与对数函数的关系为高考的常考内容，09年江苏高考将指数函数的图象和性质与不等式、比较年江苏高考将指数函数的图象和性质与不等式、比较大小等问题结合考查，成为高考命题的新方向大小等问题结合考查，成为高考命题的新方向. 考题印证考题印证 (2009江苏高考江苏高考)已知已知a ，函数，函数f(x)ax，若实，若实数数m、n满足满足f(m)f(n)，

13、则，则m、n的大小关系为的大小关系为.【解析解析】a (0,1)，故，故amanmn.【答案答案】mn 自主体验自主体验 若若x1,1时，时，22x1ax1恒成立，则实数恒成立，则实数a的取的取值范围为值范围为 () a.( ，)b.( ，) c.(2，) d.( ，)解析：解析：由由22x1ax1(2x1)lg2(x1)lgaxlg lg(2a)0，设设f(x)xlg lg(2a)，由当，由当x1,1时，时，f(x)0恒成立，恒成立，得得 a 为所求的范围为所求的范围. 答案：答案：a1.函数函数y2 的值域是的值域是 ( ) a.0，)b.1，) c.(，) d. ，)解析：解析：由于由于

14、y2 中中 0，所以，所以y2 201，即函数的，即函数的值域为值域为1，).答案：答案：b2.函数函数f(x)axb 的图象如图所示，其中的图象如图所示，其中a、b为常数，则下为常数，则下 列结论正确的是列结论正确的是 () a.a1，b0 b.a1，b0 c.0a1，b0 d.0a1，b0解析：解析：所给图象是由所给图象是由f(x)ax的图象左移得到，故的图象左移得到，故b0，又，又由递减性知，由递减性知，0a1.答案：答案：d3.(2010利辛模拟利辛模拟)已知函数已知函数f(x) 满足对任意的满足对任意的x1x2都有都有 0成立，则成立，则a的的 取值范围是取值范围是 () a.(0，

15、 b.(0,1) c. ,1) d.(0,3) 解析：解析： 0，f(x)为减函数，为减函数，0a1，且，且4a1，即即0a .答案：答案：a4.函数函数f(x)ax(0a1)，x1,2的最大值比最小值的最大值比最小值 大大 ，则，则a的值为的值为.解析：解析：由已知可得由已知可得 aa2(0a1)，解得，解得a .答案：答案：5.若若x0，则，则 . 解析：解析： 答案：答案：236.已知函数已知函数f(x)a|x| (其中其中a0且且a1，a为实常数为实常数). (1)若若f(x)2，求，求x的值的值(用用a表示表示)； (2)若若a1，且，且atf(2t)mf(t)0对于对于t1,2恒成立，求实恒成立