2021届高考数学二轮考前复习第三篇直击压轴大题搏高分必须攻克的6个热点专题专题4导数与函数的单调性极值与最值课件文

1、专题4导数与函数的单调性、极值与最值真题再研析真题再研析提升审题力提升审题力【典例【典例】(12(12分分)(2019)(2019全国全国卷卷) )已知函数已知函数f(xf(x)=2x)=2x3 3-ax-ax2 2+b.+b.(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性. .(2)(2)是否存在是否存在a,ba,b, ,使得使得f(xf(x) )在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为-1-1且最大值为且最大值为1?1?若存在若存在, ,求求出出a,ba,b的所有值的所有值; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .【审题【审题逆向思维逆向思维】(1)(1)对对f(x

2、f(x) )求导分求导分a0,a=0,aa0,a=0,a00,a0,则当则当x(-,0) x(-,0) 时时,f(x,f(x)0;x )0;x 时时,f(x,f(x)0.)0.故故f(xf(x) )在在(-,0), (-,0), 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减; ;3 3分分若若a=0,a=0,则则f(xf(x) )在在(-,+)(-,+)上单调递增上单调递增; ; 4 4分分若若a0,a0;)0;a3a,3a03，a,3a03，a3， fx fx当当x x 时时,f(x,f(x)0.)0.5 5分分故故f(xf(x) )在在 ,(0,+),(0,+)上单调递增上单调递增

3、, ,在在 上单调递减上单调递减. .6 6分分a03，a3，a03，(2)(2)满足题设条件的满足题设条件的a,ba,b存在存在. .理由如下理由如下当当a0a0时时, ,由由(1)(1)知知,f(x,f(x) )在在0,10,1上单调递增上单调递增, ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间0,10,1上的最小上的最小值为值为f(0)=b=-1,f(0)=b=-1,最大值为最大值为f(1)=2-a+b=1.f(1)=2-a+b=1.解得解得a=0,b=-1,a=0,b=-1, 7 7分分此时此时a,ba,b满足条件满足条件. .当当a3a3时时, ,由由(1)(1)知知,f(x,f(x)

4、)在在0,10,1上单调递减上单调递减, ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间0,10,1上的最大上的最大值为值为f(0)=b=1,f(0)=b=1,最小值为最小值为f(1)=2-a+b=-1.f(1)=2-a+b=-1.解得解得a=4,b=1,a=4,b=1,此时此时a,ba,b满足条件满足条件. .9 9分分当当0a30a3时时, ,由由(1)(1)知知,f(x,f(x) )在在0,10,1上的最小值为上的最小值为 , ,最大值为最大值为b b或或2-a+b.2-a+b. 若若 =-1,b=1,=-1,b=1,则则a= ,a= ,与与0a30a3矛盾矛盾. .若若 =-1,2-a+b=

5、1,=-1,2-a+b=1,则则a= a= 或或a=- a=- 或或a=0,a=0,与与0a30a0)0时时,x-1,x1;x1;当当f(xf(x)0)0时时,-1x1.,-1x1.随随x x的变化的变化,f(x),f(x,f(x),f(x) )的变化如表所示的变化如表所示: :x（- - ，-1-1 ）-1(-1,1)1（ 1,+1,+ ） f(xf(x) )+0-0+f(xf(x) ) 单调递增单调递增极大值极大值2单调递减单调递减极小极小值值-2单调递增单调递增因此因此, ,当当x=-1x=-1时时, , f(xf(x) )有极大值有极大值, ,且极大值为且极大值为2;2;当当x=1x=

6、1时时, , f(xf(x) )有极小值有极小值, ,且极小值为且极小值为-2.-2.(2)g(x)= (2)g(x)= 因为因为g g（x x）在）在1,+)1,+)上是单调增函数上是单调增函数, ,所以所以g(x)0g(x)0在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,即不等式即不等式2x- 02x- 0在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,也即也即a -2xa -2x2 2在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立. .设设h(xh(x)= -2x)= -2x2 2, ,则则h(xh(x)=- -4x.)=- -4x.当当x1,+)x1,+)时时,h(x,h(x)0)0)0或或f(xf(x)

7、0.)0,)0,右侧右侧f(xf(x)0,)0,则则f(xf(x0 0) )为函数为函数f(xf(x) )的极大值的极大值; ;若在若在x x0 0附近左侧附近左侧f(xf(x)0,)0,)0,则则f(xf(x0 0) )为函数为函数f(xf(x) )的极小值的极小值. .(2)(2)设函数设函数y=f(xy=f(x) )在在a,ba,b 上连续上连续, ,在在(a,b(a,b) )内可导内可导, ,则则f(xf(x) )在在a,ba,b 上必有最大值上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得和最小值且在极值点或端点处取得. .【万能模板【万能模板】利用导数研究函数最值的步骤利用导数研究函数最

8、值的步骤第一步求导数第一步求导数: :利用运算法则求导利用运算法则求导, ,要注意函数的定义域要注意函数的定义域; ;第二步定区间第二步定区间: :根据单调性解不等式根据单调性解不等式, ,确定单调区间确定单调区间, ,注意书写格式注意书写格式; ;第三步求极值第三步求极值: :利用单调性确定极值利用单调性确定极值; ;第四步求端点值第四步求端点值: :代入函数式求函数值代入函数式求函数值; ;第五步得结论第五步得结论: :对所求结果进行比较对所求结果进行比较, ,得出结论得出结论. .【阅卷点评【阅卷点评】1.1.步骤分步骤分: :第第(2)(2)问中的综上所述是步骤分问中的综上所述是步骤分

9、. .2.2.关键分关键分: :函数求导函数求导, ,写出方程两根写出方程两根. .3.3.计算分计算分: :计算准确是根本保证计算准确是根本保证. .4.4.求函数的极值、最值问题求函数的极值、最值问题, ,一般需要求导一般需要求导, ,借助函数的单调性借助函数的单调性, ,转化为方程或不转化为方程或不等式问题来解决等式问题来解决, ,有正向思维有正向思维直接求函数的极值或最值直接求函数的极值或最值; ;也有逆向思维也有逆向思维已知函数的极值或最值已知函数的极值或最值, ,求参数的值或范围求参数的值或范围, ,常常用到分类讨论、数形结合的思常常用到分类讨论、数形结合的思想想. . 高考演兵场

10、高考演兵场检验考试力检验考试力1.(1.(极值问题极值问题) )设设f(xf(x) ) =2x=2x3 3+ax+ax2 2+bx+1+bx+1的导数为的导数为 , ,若函数若函数y= y= 的图象关于的图象关于直线直线x=- x=- 对称对称, ,且且 =0.=0.(1)(1)求实数求实数a,ba,b的值的值; ;(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的极值的极值. . fx fx12f 1 （ ）【解析【解析】(1)(1)因为因为f(xf(x) ) =2x=2x3 3+ax+ax2 2+bx+1,+bx+1,故故 =6x=6x2 2+2ax+b,+2ax+b,从而从而 即即 y= y=

11、 关于直线关于直线x=- x=- 对称对称, ,从而由条件可知从而由条件可知- =- ,- =- ,解得解得a=3,a=3,又由于又由于 =0,=0,即即6+2a+b=0,6+2a+b=0,解得解得b=-12.b=-12.(2)(2)由由(1)(1)知知f(xf(x) ) =2x=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1, =6x-12x+1, =6x2 2+6x-12=6 .+6x-12=6 .令令 =0,=0,得得x=1x=1或或x=-2,x=-2,当当x x 上是增函数上是增函数, ,当当x x 上是减函数上是减函数, ,当当x x 上是增函数上是增函数, ,从而从而f(xf(x) )在

12、在x=-2x=-2处取到极大值处取到极大值f =21,f =21,在在x=1x=1处取到极小值处取到极小值f =-6.f =-6. fx 2afx6 x62ab6 fxa6a612 f 1 fxx1x2 fx ,2,fx0,f x,2时在 2,1,fx0,f x2,1时在 1,fx0,f x1,时在2 12.(2.(最值问题最值问题) )已知函数已知函数f(xf(x) = x) = x2 2-2x,xr.-2x,xr.(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )在在 处的切线方程处的切线方程; ;(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )在区间在区间-3,2-3,2上的最大值和最小值上的最大值和

13、最小值. .311x32 1,f 1【解析【解析】(1)x=1(1)x=1时时, , 所以切点为所以切点为 , =x, =x2 2+x-2,+x-2,所以斜率为所以斜率为k= =0,k= =0,所以切线方程为所以切线方程为 即即y=- .y=- . 117f 12326 ，71,6 fx f 17y0 x 16 ，76(2) =x(2) =x2 2+x-2= ,x-3,2,+x-2= ,x-3,2,令令 =0=0 x=-2x=-2或或1.1.x-3,-2)-2 1(1,2 +0-0+ f(xf(x) ) 增增极大极大减减极小极小增增 fxx2x1 fx fx21 ， 所以最大值为所以最大值为

14、, ,最小值为最小值为- .- . 31072f3f2f 1f 22363， ，103763.(3.(极值点问题极值点问题) )已知函数已知函数f(xf(x) =e) =ex x-cos x,x-cos x,x , ,证明证明: :(1) f(x(1) f(x) )存在唯一的极小值点存在唯一的极小值点; ;(2) f(x(2) f(x) )的极小值点为的极小值点为x x0 0, ,则则-1 0.-1 0.0.当当x x 时时, e, e0 0+cos x=1+cos x0,+cos x=1+cos x0,综上所述综上所述, ,当当x x 时时, 0, 0恒成立恒成立, ,故故 上单调递增上单调

15、递增. .又又 -1e-10,-1=0, =10, xxxfxesin xg xfxesin xg xecos x ，设，则，x,0cos x0,1 ,e0,12时， g x0, g x,2 g x fxg x2在 ，2fe2 f0由零点存在性定理可知由零点存在性定理可知, ,函数函数 在区间在区间 上存在唯一的零点上存在唯一的零点x x0 0,x,x0 0 , , 结合单调性可得结合单调性可得f(xf(x) )在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增, ,所以函数所以函数f(xf(x) )存在唯一的极小值点存在唯一的极小值点x x0 0. .,2 fx,020,x20 x

16、,(2)(2)由由(1)(1)知知,x,x0 0 -1e -1e e1 12,2,所以所以 =e=e0 0+0=10,+0=10,故极小值点故极小值点x x0 0 , ,且且 = +sin x= +sin x0 0=0,=0,即即 =-sin x=-sin x0 0. ,. ,由由 式式, ,得得 = = 2,0fe22，1122422211fee422e，而 1122211f0f024e ，即，,040fx0 xe0 xe0 x0000f xecos xsin xcos x *002sin x.x,044由， *得得x x0 0+ + 即即-1 0.-1 0.00,2sin x1,0444，

17、所以，0f x4.(4.(单调性问题单调性问题) )已知已知x=1x=1是是f(x)=2x+ +ln x(brf(x)=2x+ +ln x(br) )的一个极值点的一个极值点. .(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的单调递减区间的单调递减区间. .(2)(2)设函数设函数g(x)=f(x)- (arg(x)=f(x)- (ar),),若函数若函数g(xg(x) )在区间在区间1,21,2内单调递增内单调递增, ,求求a a的取值范围的取值范围. .bx3ax【解析【解析】(1)f(x)=2x+ +ln(1)f(x)=2x+ +ln x, x,定义域为定义域为(0,+).(0,+).所以

18、所以f(xf(x)=2- )=2- 因为因为x=1x=1是是f(x)=2x+ +lnf(x)=2x+ +ln x x的一个极值点的一个极值点, ,所以所以f(1)=0,f(1)=0,即即2-b+1=0.2-b+1=0.解得解得b=3,b=3,经检验经检验, ,适合题意适合题意, ,所以所以b=3.b=3.所以所以f(xf(x)= )= 令令f(xf(x)0,)0,得得0 x1.0 x0),)- =2x+ln x- (x0),g(xg(x)=2+ (x0).)=2+ (x0).因为函数因为函数g(xg(x) )在在1,21,2上单调递增上单调递增, ,所以所以g(x)0g(x)0在在1,21,2

19、上恒成立上恒成立, ,即即2+ 02+ 0在在1,21,2上恒成立上恒成立, ,所以所以a-2xa-2x2 2-x-x在在1,21,2上恒成立上恒成立, ,所以所以a(-2xa(-2x2 2-x)-x)maxmax,x1,2.,x1,2.因为在因为在1,21,2上上,(-2x,(-2x2 2-x)-x)maxmax=-3,=-3,所以所以a-3.a-3.所以所以a a的取值范围是的取值范围是-3,+).-3,+).3axax21axx21axx5.(5.(极值与最值极值与最值) )已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax3 3+bx+c+bx+c在在x=2x=2处取得极值处取得极值c-16

20、.c-16.(1)(1)求求a,ba,b的值的值; ;(2)(2)若若f(xf(x) )有极大值有极大值28,28,求求f(xf(x) )在在-3,3-3,3上的最大值上的最大值. .【解析【解析】(1)(1)因为因为f(xf(x)=ax)=ax3 3+bx+c,+bx+c,故故f(xf(x)=3ax)=3ax2 2+b,+b,由于由于f(xf(x) )在点在点x=2x=2处取得极值处取得极值, ,故有故有 即即 化简得化简得 解得解得 f20,f 2c 16, 12ab0,8a2bcc 16,12ab0,4ab8,a1,b12.(2)(2)由由(1)(1)知知f(xf(x)=x)=x3 3-

21、12x+c,f(x)=3x-12x+c,f(x)=3x2 2-12,-12,令令f(xf(x)=0,)=0,得得x x1 1=-2,x=-2,x2 2=2,=2,当当x(-,-2)x(-,-2)时时,f(x,f(x)0,)0,故故f(xf(x) )在在(-,-2)(-,-2)上为增函数上为增函数; ;当当x(-2,2)x(-2,2)时时,f(x,f(x)0,)0,)0,故故f(xf(x) )在在(2,+)(2,+)上为增函数上为增函数. .由此可知由此可知f(xf(x) )在在x x1 1=-2=-2处取得极大值处取得极大值f(-2)=16+c,f(-2)=16+c,f(xf(x) )在在x

22、x2 2=2=2处取得极小值处取得极小值f(2)=c-16,f(2)=c-16,由题设条件知由题设条件知16+c=2816+c=28得得c=12,c=12,此时此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,f(2)=c-16=-4,因此因此f(xf(x) )在在-3,3-3,3上的最大值为上的最大值为f(-2)=28.f(-2)=28.6.(6.(最值与单调性最值与单调性) )已知函数已知函数f(x)=x-ln x+a-1,g (x) = +ax-xlnf(x)=x-ln x+a-1,g (x) = +ax-x

23、ln x, x,其中其中a0.a0.(1)(1)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间; ;(2)(2)当当x1x1时时,g ,g 的最小值大于的最小值大于 -ln-ln a, a,求求a a的取值范围的取值范围. .2x2 x32【解析【解析】(1)(1)函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0,+).(0,+).f(xf(x)=1- )=1- 当当0 x10 x1时时,f(x,f(x)0;)1x1时时,f(x,f(x)0.)0.所以函数所以函数f(xf(x) )的单调递减区间是的单调递减区间是(0,1),(0,1),单调递增区间单调递增区间是是(1,+).(1,+).(2)(

24、2)易知易知g(x)=x-ln x+a-1=f(xg(x)=x-ln x+a-1=f(x).).由由(1)(1)知知,f(x)f(1)=a0,f(x)f(1)=a0,所以当所以当x1x1时时,g(x)g(1)=a0.,g(x)g(1)=a0.从而从而g(xg(x) )在在1,+)1,+)上单调递增上单调递增, ,1x 1.xx所以所以g(xg(x) )的最小值为的最小值为g =a+ .g =a+ .依题意得依题意得a+ -lna+ -ln a, a,即即a+lna+ln a-10. a-10.令令h =lnh =ln a+a-1 , a+a-1 ,所以所以h = +10h = +10在在 上恒

25、成立上恒成立, ,所以所以h h 在在 上单调递增上单调递增. .所以所以h h =0,h h =0,所以所以a a的取值范围是的取值范围是 . . 1121232 a1a a0 ， a0 ， a 11 ，7.(7.(极值与单调性极值与单调性) )已知函数已知函数f(x)=lnf(x)=ln x+ +ax, x+ +ax,其中其中x0,ar.x0,ar.(1)(1)若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间1,+)1,+)上不单调上不单调, ,求求a a的取值范围的取值范围; ;(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间1,+)1,+)上有极大值上有极大值 , ,求求a a的值的值

26、. .1x2e【解析【解析】(1)(1)因为因为f(xf(x) ) =ln=ln x+ +ax, x+ +ax,且且f(xf(x) )在区间在区间1,+)1,+)上不单调上不单调, ,所以所以 上有解上有解, ,所以所以a= a= 上有解上有解. .设设 所以函数所以函数g g 在在 上是减函数上是减函数, ,在在 上是增函数上是增函数, , 若若a=0,f = ,a=0,f = ,1x 22211axx 1fxa01,xxx在2x11,x在 222443xx1 2xx1x2xx2g x,g x,xxxx 则 x2x1x1,22, min1g xg 2,x,g x0,g 10,4 x因为因为x

27、1,x1,所以所以f 0,f(x)f 0,f(x)在在1,+)1,+)上单调递增上单调递增. .若若a=- ,a=- ,则则f = 0,f(x)f = 0,f(x)在在1,+)1,+)上单调递减上单调递减. .所以所以- a0,- a0,即即a a的取值范围为的取值范围为 . . x14 x221x24x141,04(2)(2)当当a0a0时时, ,函数函数f f 在在 上单调递增上单调递增, ,所以所以f f 在在 上无极值上无极值. .当当a- a- 时时, ,函数函数f f 在在 上单调递减上单调递减, ,所以所以f f 在在 上无极值上无极值. .当当- a0- a0,+x-10,则则

28、x.x0 xx114a114a11,22a2a2a x1, , 212f,lna* .ee 得又又aa2 2+-1=0,+-1=0,所以所以aa= -1,= -1,代入代入 设函数设函数h =lnh =ln x+ x+ 所以函数所以函数h h 在在 上单调递增上单调递增. .而而h =0,h =0,所以所以=e,=e,则则a= a= 故当故当a= a= 时时, ,函数函数f f 在在 上有极大值上有极大值 . .1 22*ln1.e，得 x 222212x21x2h x0 xexxx ，则， x2, e2211e.e21ee x1,2e8.(8.(探索问题探索问题) )已知函数已知函数f(x)=alnf(x)=aln x-ax-3(ar,a0). x-ax-3(ar,a0).(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间; ;(2)(2