2021届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题13空间几何体课件文

1、专题13空间几何体真题再研析真题再研析提升审题力提升审题力考向一空间几何体的表面积考向一空间几何体的表面积【典例【典例】(2020(2020全国全国卷卷) )如图为某几何体的三视图如图为某几何体的三视图, ,则该几何体的表面积是则该几何体的表面积是( () )a.6+4 a.6+4 b.4+4 b.4+4 c.6+2 c.6+2 d.4+2d.4+2 2323c c根据三视图特征根据三视图特征, ,在正方体中截取出符合题意的立体图形在正方体中截取出符合题意的立体图形, ,根据立体图形可得根据立体图形可得:s:sabcabc=s=sadcadc=s=scdbcdb= = 2 22=2,2=2,根

2、据勾股定理可得根据勾股定理可得:ab=ad=db=2 ,:ab=ad=db=2 ,所以所以adbadb是边长为是边长为2 2 的等边三角形的等边三角形, ,根据三角形面积公式可得根据三角形面积公式可得:s:sadbadb= ab= abadadsinsin 60 60= = =2 , =2 ,所以该几何体的表面积是所以该几何体的表面积是:3:32+2 =6+2 .2+2 =6+2 .233212212122(2 2)33考向二空间几何体中的数学文化考向二空间几何体中的数学文化【典例【典例】(2019(2019全国全国卷卷) )中国有悠久的金石文化中国有悠久的金石文化, ,印信是金石文化的代表之

3、一印信是金石文化的代表之一. .印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体, ,但南北朝时期的官员独孤信的印信形但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是状是“半正多面体半正多面体”( (图图1).1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体多面体. .半正多面体体现了数学的对称美半正多面体体现了数学的对称美. .图图2 2是一个棱数为是一个棱数为4848的半正多面体的半正多面体, ,它它的所有顶点都在同一个正方体的表面上的所有顶点都在同一个正方体的表面上, ,且此正方体的棱长为且此正方体的棱长为1.1.则该半正多

4、面体则该半正多面体共有共有_个面个面, ,其棱长为其棱长为_._.【解析【解析】上下各一个面上下各一个面, ,中间三层每层中间三层每层8 8个面个面, ,共共2626个面个面. .最中间全是正方形的八最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形个面的上沿构成正八边形, ,如图如图: ,: ,则有则有8=3608=360, ,解得解得=45=45, ,即设棱长为即设棱长为x,x,可得可得2 +x=1,2 +x=1,解得解得x= -1.x= -1.答案答案: :2626 -1-12x()222【考前必备【考前必备】1.1.由平面图形绕某一条直线旋转得到的旋转体常见类型由平面图形绕某一条直线旋转得到的

5、旋转体常见类型(1)(1)矩形以一条边为轴旋转得到圆柱体矩形以一条边为轴旋转得到圆柱体. .(2)(2)直角三角形绕一条直角边旋转得到圆锥体直角三角形绕一条直角边旋转得到圆锥体. .(3)(3)直角三角形绕斜边旋转得到两个同底的圆锥体直角三角形绕斜边旋转得到两个同底的圆锥体. .(4)(4)直角三角形绕经过一个锐角的顶点且平行于直角边的直线旋转得到圆柱体减直角三角形绕经过一个锐角的顶点且平行于直角边的直线旋转得到圆柱体减去一个圆锥体去一个圆锥体. .(5)(5)直角梯形绕直角腰旋转得到圆台直角梯形绕直角腰旋转得到圆台. .2.2.体积问题的解题策略体积问题的解题策略(1)(1)割补法割补法:

6、:求一些不规则几何体的体积时求一些不规则几何体的体积时, ,常用割补法转化成已知体积公式的几常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决何体进行解决. .(2)(2)等积法等积法: :等积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到等积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到, ,利用等积法可利用等积法可以用来求解几何体的高以用来求解几何体的高. .【考场秘技【考场秘技】1.1.计算旋转体侧面积的方法计算旋转体侧面积的方法(1)(1)计算旋转体的侧面积时计算旋转体的侧面积时, ,将侧面展开化为平面图形将侧面展开化为平面图形,“,“化曲为直化曲为直”来解决来解决. .(2)(2)熟悉常见旋转体的

7、侧面展开图的形状及平面图形面积的求法熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. .2.2.空间几何体求表面积应注意的问题空间几何体求表面积应注意的问题(1)(1)求组合体的表面积求组合体的表面积, ,要减去接触面面积要减去接触面面积; ;(2)(2)求规则几何体切割得到的几何体的表面积求规则几何体切割得到的几何体的表面积, ,在原几何体表面积减去切去面积在原几何体表面积减去切去面积的基础上加上切割面的面积的基础上加上切割面的面积. .(3)(3)求规则几何体的表面积时求规则几何体的表面积时, ,重点是利用每个面中的垂直关系求各面面积重点是利用每个面中的垂直关系求各面面积, ,或者或

8、者是用正弦定理求解是用正弦定理求解. .【命题陷阱【命题陷阱】1.1.混淆三视图中实线与虚线混淆三视图中实线与虚线, ,从而画不出正确的几何体从而画不出正确的几何体. .【案例【案例】t5t5根据题意根据题意, ,半圆柱挖去一个半圆锥半圆柱挖去一个半圆锥, ,虚线为半圆锥的三视图虚线为半圆锥的三视图. .2.2.求组合体的表面积求组合体的表面积, ,容易将接触面的面积忽略容易将接触面的面积忽略. .【案例【案例】t6t6该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体. .注意不要忽注意不要忽略相接部分的面积略相接部分的面积. .3.3.不能通过

9、三视图还原出空间几何体的直观图不能通过三视图还原出空间几何体的直观图, ,从而导致错误从而导致错误. .【案例【案例】t8t8由于缺乏空间想象力由于缺乏空间想象力, ,不能还原出空间几何体不能还原出空间几何体, ,从而无法正常作答从而无法正常作答. . 1.1.若圆锥的侧面展开图为一个半径为若圆锥的侧面展开图为一个半径为2 2的半圆的半圆, ,则圆锥的体积是则圆锥的体积是( () )高考演兵场高考演兵场检验考试力检验考试力2324abcd3333设圆锥底面圆的半径为设圆锥底面圆的半径为r,r,高为高为h,h,如图所示如图所示: :由题知由题知:2r= :2r= 222,2,解得解得r=1.r=

10、1.所以所以h= .h= .故圆锥的体积故圆锥的体积v= v= 1 12 2 = . = .1222213133332.2.若某正四棱台的上、下底面边长分别为若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,3,9,侧棱长是侧棱长是6,6,则它的表面积为则它的表面积为( () )a.90+72 a.90+72 b.90+27 b.90+27 c.90+72 c.90+72 d.90+27 d.90+27 5335a a由题意可得由题意可得, ,上底面的面积为上底面的面积为9,9,下底面的面积为下底面的面积为81,81,侧面的高为侧面的高为 , ,所以该正四棱台的表面积为所以该正四棱台的表面积为9+81

11、+49+81+4 =90+72 . =90+72 .22633 3(39) 3 3233.3.九章算术九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著是我国古代内容极为丰富的数学名著, ,书中提到了一种名为书中提到了一种名为“刍刍甍甍(ch mng(ch mng)”)”的五面体的五面体( (如图如图),),四边形四边形abcdabcd为矩形为矩形, ,棱棱efab.efab.若此几何体若此几何体中中,ab=6,ef=2,ab=6,ef=2,adeade和和bcfbcf都是边长为都是边长为4 4的等边三角形的等边三角形, ,则此几何体的体积为则此几何体的体积为( () ) 32 244 3ab3356

12、264 3cd33c c过过f f作作fofo平面平面abcd,abcd,垂足为垂足为o,o,取取bcbc的中点的中点p,p,连接连接pf,pf,过过f f作作fqab,fqab,垂足为垂足为q,q,连接连接oq,oq,延长延长qoqo交交cdcd于点于点g,g,连接连接fg.fg.因为因为adeade和和bcfbcf都是边长为都是边长为2 2的等边三角形的等边三角形, ,所以所以op= (ab-ef)=2,pf=2 ,oq= bc=2,op= (ab-ef)=2,pf=2 ,oq= bc=2,因为因为fofo平面平面abcd,opabcd,op平面平面abcd,abcd,所以所以foop,f

13、oop,所以所以 , ,123122222ofpfop(2 3)22 2如图如图, ,把此把此“刍甍刍甍”分为两侧各一个四棱锥分为两侧各一个四棱锥, ,中间一个三棱柱中间一个三棱柱. .因为因为fqab,foab,fq,fofqab,foab,fq,fo平面平面fgq,fqfo=f,fgq,fqfo=f,所以所以abab平面平面fgq,fgq,因为因为gqgq平面平面fgq,fgq,所以所以abgq,abgq,所以四边形所以四边形bcgqbcgq是矩形是矩形. .v= .v= .1156 224 2 2 24 2 22323 4.4.在日常生活中在日常生活中, ,石子是我们经常见到的材料石子是

14、我们经常见到的材料. .现有一棱长均为现有一棱长均为3 3的正四棱锥的正四棱锥s-s-abcdabcd石料的顶角和底面一个角损坏石料的顶角和底面一个角损坏, ,某雕刻师计划用一平行于底面某雕刻师计划用一平行于底面abcdabcd的截面截的截面截四棱锥分别交四棱锥分别交sa,sb,sc,sdsa,sb,sc,sd于点于点e,f,g,h,e,f,g,h,做出一个体积最大的新的四棱锥做出一个体积最大的新的四棱锥o-o-efgh,oefgh,o为底面为底面abcdabcd的中心的中心, ,则新四棱锥则新四棱锥o-efgho-efgh的表面积为的表面积为( () )99 313a 42 6bcd 42

15、344a a因为平面因为平面efghefgh与平面与平面abcdabcd平行平行, ,所以四边形所以四边形efghefgh与四边形与四边形abcdabcd相似相似, ,所以四边形所以四边形efghefgh为正方形为正方形, ,设设 =x(0 x1),=x(0 x1),所以所以 =x=x2 2, ,易知四棱锥易知四棱锥o-efgho-efgh与四棱锥与四棱锥s-abcds-abcd的高的比为的高的比为(1-x)1,(1-x)1,v vo-efgho-efgh=x=x2 2(1-x)(1-x)v vs-abcds-abcd, ,设设f(xf(x)=x)=x2 2(1-x),(0 x1),f(x)=

16、2x-3x(1-x),(0 x1),f(x)=2x-3x2 2, ,则当则当0 x 0 x0,)0,当当 x1x1时时,f(x,f(x)0,)0,所以所以x= x= 时时,f(x,f(x) )取得最大值取得最大值. .此时此时ef=2,og= ,ef=2,og= ,所以四棱锥所以四棱锥o-efgho-efgh的表面积为的表面积为2 22+42+4 2 2 =4+2 . =4+2 .sesaefghabcdss正方形正方形232323102126265.5.如图是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后得到的几何体的三视如图是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后得到的几何体的三视图图,

17、,则该几何体的体积为则该几何体的体积为( () ) a6b32c35d6.c c根据题意根据题意, ,半圆柱挖去一个半圆锥半圆柱挖去一个半圆锥, ,半圆柱的体积为半圆柱的体积为 2=,2=,半圆锥的体积为半圆锥的体积为 2= ,2= ,所以该几何体的体积为所以该几何体的体积为- = .- = .1213323236.6.某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,若该几何体的体积为若该几何体的体积为3+2,3+2,则它的表面积是则它的表面积是( () ) 3 13a (3)22223 133b ()2224213c22213d224a a由三视图可知由三视图可知, ,该几何体是由四分

18、之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体, ,其中其中: :v v圆锥圆锥= = aa2 23= a3= a2 2,v,v三棱锥三棱锥= a= a2 23 3 = a = a2 2, ,由题意由题意: a: a2 2+ a+ a2 2=3+2,=3+2,所以所以a=2,a=2,据此可知据此可知: :s s底底=2=22 2 + + 2 22=3+2,s2=3+2,s圆锥侧圆锥侧= = 2= ,2= ,s s棱锥侧棱锥侧= = 2 2 = , = ,它的表面积是它的表面积是 + +2.+ +2.1334341213123412341234133 13212

19、211223 13(3)2227.“7.“王莽方斗王莽方斗”铸造于王莽始建国元年铸造于王莽始建国元年( (公元公元9 9年年),),有短柄有短柄, ,上下边缘刻有篆书铭上下边缘刻有篆书铭文文, ,外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹, ,如图如图1 1所示所示. .因其少见因其少见, ,故为研究西汉量器的故为研究西汉量器的重要物证重要物证. .图图2 2是是“王莽方斗王莽方斗”模型的三视图模型的三视图, ,则该模型的容积为则该模型的容积为 ( () )a.213a.213b.162b.162c.178c.178d.193d.193b b由三视图知由三视图知, ,该几何体容积

20、部分为长方体该几何体容积部分为长方体, ,且长且长, ,宽宽, ,高分别为高分别为:6,6,4.5,:6,6,4.5,所以所以其容积为其容积为4.54.56 66=162.6=162.8.8.已知一个几何体的三视图如图所示已知一个几何体的三视图如图所示, ,其中俯视图是一个边长为其中俯视图是一个边长为2 2的正方形的正方形, ,则该则该几何体的表面积为几何体的表面积为( () )a. a. b.20b.20c.20+ c.20+ d.20+ d.20+ 223106c c还原几何体得还原几何体得, ,如图如图, ,几何体的表面积为几何体的表面积为3 3(2(22)+22)+2 + + 2 22

21、+ 2+ 2 2 =20+ .=20+ .1(12) 22121252269.9.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代, ,其中沙漏就是古代利用机械原理其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置设计的一种计时装置, ,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成, ,开始时细沙全部在上部容器中开始时细沙全部在上部容器中, ,细沙通过连接管道流到下部容器细沙通过连接管道流到下部容器, ,如图如图, ,某沙漏由某沙漏由上、下两个圆锥容器组成上、下两个圆锥容器组成, ,圆锥的底面圆的直径和高均为圆锥的

22、底面圆的直径和高均为8 cm,8 cm,细沙全部在上部细沙全部在上部时时, ,其高度为圆锥高度的其高度为圆锥高度的 ( (细管长度忽略不计细管长度忽略不计).).若细沙全部漏入下部后若细沙全部漏入下部后, ,恰好恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆, ,则此圆锥形沙堆的高为则此圆锥形沙堆的高为( () ) a.2 cm a.2 cm b. cmb. cmc. cm c. cm d. cmd. cm83436427d d由题意可知由题意可知, ,开始时开始时, ,沙漏上部分圆锥中的细沙的高沙漏上部分圆锥中的细沙的高h= h= 8= ,8= ,底面圆的半径底面圆的半

23、径r= r= 4= ,4= ,故细沙的体积故细沙的体积v= rv= r2 2h= h= = . = .当细沙漏入下部后当细沙漏入下部后, ,圆锥形沙堆的底面半径为圆锥形沙堆的底面半径为4,4,设高为设高为h,h,则则 4 42 2h= ,h= ,得得h= .h= .故此锥形沙堆的高为故此锥形沙堆的高为 cm.cm.163232383131328( )3102481163136427102481642710.10.北方的冬天户外冰天雪地北方的冬天户外冰天雪地, ,若水管裸露在外若水管裸露在外, ,则管内的水就会结冰从而冻裂水则管内的水就会结冰从而冻裂水管管, ,给用户生活带来不便给用户生活带来不

24、便. .每年冬天来临前每年冬天来临前, ,工作人员就会给裸露在外的水管工作人员就会给裸露在外的水管“保保暖暖”: :在水管外面包裹保温带在水管外面包裹保温带, ,用一条保温带盘旋而上一次包裹到位用一条保温带盘旋而上一次包裹到位. .某工作人员某工作人员采用四层包裹法采用四层包裹法( (除水管两端外包裹水管的保温带都是四层除水管两端外包裹水管的保温带都是四层).).如图如图1 1所示是相邻所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线四层保温带的下边缘轮廓线, ,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一. .设水管设水管的直径与保温带的宽度都为的直径与保温带的宽度都为4 cm

25、.4 cm.在图在图2 2水管的侧面展开图中水管的侧面展开图中, ,此保温带的轮廓线此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是与水管母线所成的角的余弦值是( (保温带厚度忽略不计保温带厚度忽略不计) ) ( () ) 222 211a. b.44141 16c. d.141 16 d d过点过点a a作作aedb,aedb,垂足为垂足为e,e,其展开图如图所示其展开图如图所示, ,由水管直径为由水管直径为4 cm,4 cm,所以水管的周长为所以水管的周长为ae=4 cm,ae=4 cm,设设abe=,abe=,又又be= be= 4=1(cm),ab= ,4=1(cm),ab= ,所以所以c

26、oscos= .= .2221(4 )1 16=14222b e11 16ab1 161 16=11.11.已知四面体各棱的长均为已知四面体各棱的长均为1,1,则这个四面体的表面积为则这个四面体的表面积为_._.【解析【解析】由题意知四面体的表面积为由题意知四面体的表面积为s=4s=4 1 12 2sin 60sin 60= .= .答案答案: : 312312.12.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示, ,两容器内所盛液体的两容器内所盛液体的体积正好相等体积正好相等, ,且液面高度且液面高度h h也相等也相等, ,则则 等于等于_._.ha【解析【解析】由题意知由题意知, , hh2 2h=h= h,h,所以所以 = .= .答案答案: : 3213ha2a( )23213.13.如图如图, ,在三棱柱在三棱柱a a1 1b b1 1c c1 1