2021届高考数学二轮复习专题能力训练16椭圆双曲线抛物线文含解析

1、专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知椭圆c:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则c的离心率为()a.13b.12c.22d.2232.已知f是双曲线c:x2-y23=1的右焦点,p是c上一点,且pf与x轴垂直,点a的坐标是(1,3),则apf的面积为()a.13b.12c.23d.323.已知f是抛物线c:y2=2px(p0)的焦点,过点r(2,1)的直线l与抛物线c相交于a,b两点,r为线段ab的中点.若|fa|+|fb|=5,则直线l的斜率为()a.3b.1c.2d.124.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为f,点a在双曲线的渐近线上

2、,oaf是边长为2的等边三角形(o为原点),则双曲线的方程为()a.x24-y212=1b.x212-y24=1c.x23-y2=1d.x2-y23=15.已知f1,f2是椭圆c的两个焦点,p是c上的一点,若pf1pf2,且pf2f1=60,则c的离心率为()a.1-32b.2-3c.3-12d.3-16.已知f是双曲线c:x24-y25=1的一个焦点,点p在c上,o为坐标原点.若|op|=|of|,则opf的面积为()a.32b.52c.72d.927.(2020全国,文14)设双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为y=2x,则c的离心率为.8.已知直线l1:x-y+5

3、=0和l2:x+4=0,抛物线c:y2=16x,p是c上一动点,则点p到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线c1:y=14x2,圆c2:x2+(y-1)2=1,过点p(t,0)(t0)作不过原点o的直线pa,pb分别与抛物线c1和圆c2相切,a,b为切点.(1)求点a,b的坐标;(2)求pab的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点m与两定点a(-1,0),b(1,0)构成mab,且直线ma,mb的斜率之积为4,设动点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交

4、于点p,与轨迹c相交于点q,r,且|pq|3)的右焦点为f,右顶点为a.已知1|of|+1|oa|=3e|fa|,其中o为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点m,与y轴交于点h.若bfhf,且moa=mao,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.已知点f1,f2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点f1的直线l与双曲线的左支交于点a,与右支交于点b.若|af1|=2a,f1af2=23,则saf1f2sabf2=()a.1b.12c.13d.2313.已知椭圆c的焦点为f1(-1,0)

5、,f2(1,0),过f2的直线与c交于a,b两点.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,则c的方程为()a.x22+y2=1b.x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=114.已知抛物线x2=16y的焦点为f,双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为点f1,f2,点p是双曲线右支上一点,则|pf|+|pf1|的最小值为.15.在平面直角坐标系xoy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为f的抛物线x2=2py(p0)交于a,b两点,若|af|+|bf|=4|of|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆c:(x+1)2+y2=20,点b(1

6、,0),点a是圆c上的动点,线段ab的垂直平分线与线段ac交于点p.(1)求动点p的轨迹c1的方程;(2)设m0,15,n为抛物线c2:y=x2上的一动点,过点n作抛物线c2的切线交曲线c1于p,q两点,求mpq面积的最大值.17.已知动点c是椭圆:x2a+y2=1(a1)上的任意一点,ab是圆g:x2+(y-2)2=94的一条直径(a,b是端点),cacb的最大值是314.(1)求椭圆的方程.(2)已知椭圆的左、右焦点分别为点f1,f2,过点f2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于p,q两点.在线段of2上是否存在点m(m,0),使得以mp,mq为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围

7、;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.c解析:因为椭圆c的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆c的离心率e=ca=22.2.d解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点f的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以pf=3.又点a的坐标是(1,3),故apf的面积为123(2-1)=32,故选d.3.b解析:设a(x1,y1),b(x2,y2).因为r(2,1)为线段ab的中点,所以x1+x2=22=4.根据抛物线的定义可知|fa|+|fb|=x1+x2+p=22

8、+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1,即直线l的斜率为1,故选b.4.d解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为f(c,0),点a在双曲线的渐近线上,且oaf是边长为2的等边三角形,不妨设点a在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.双曲线的方程为x2-y23=1.故选d.5.d解析:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,则|pf1|+|pf2|=2a.f2pf1=90,pf2

9、f1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.b解析:设点p(x0,y0),则x024-y025=1.又|op|=|of|=4+5=3,x02+y02=9.由得,y02=259,即|y0|=53.sopf=12|of|y0|=12353=52.故选b.7.3解析:由题意得ba=2,即b=2a.c2=a2+b2=3a2,即c=3a,e=ca=3.8.922解析:在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线c如图.p是c上任意一点,由抛物线的定义知,|pf|=d2,d1+d2=d1+|pf|,显然当pfl1,即d1+d2=|fm|时,

10、距离之和取到最小值.|fm|=922,所求最小值为922.9.解(1)由题意知直线pa的斜率存在,故可设直线pa的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线pa与抛物线相切,得k=t.因此,点a的坐标为(2t,t2).设圆c2的圆心为d(0,1),点b的坐标为(x0,y0),由题意知:点b,o关于直线pd对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点b的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|ap|=t1+t2和直线pa的方程tx-y-t2=0.点b到直线pa

11、的距离是d=t21+t2.设pab的面积为s(t),所以s(t)=12|ap|d=t32.10.解(1)设m的坐标为(x,y),当x=-1时,直线ma的斜率不存在;当x=1时,直线mb的斜率不存在.于是x1,且x-1.此时,ma的斜率为yx+1,mb的斜率为yx-1.由题意,有yx+1yx-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点m的轨迹c的方程为4x2-y2-4=0(x1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.对于方程,其判别式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而当1或-1为方程的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可

12、知,m0,且m1.设q,r的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),则xq,xr为方程的两根,因为|pq|pr|,所以|xq|1,且1+3m22,所以11+221+3m2-13,且1+221+3m2-153,所以1|pr|pq|=xrxq2=|bc|,所以动点p的轨迹c1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点p的轨迹c1的方程为x25+y24=1.(2)设n(t,t2),则pq的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)0,x1+x2=20

13、t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|pq|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,点m到pq的高为h=15+t21+4t2,由smpq=12|pq|h代入化简,得smpq=510-(t2-10)2+104510104=1305,当且仅当t2=10时,smpq可取最大值1305.17.解(1)设点c的坐标为(x,y),则x2a+y2=1.连接cg,由ca=cg+ga,cb=cg+gb=cg-ga,又g(0,2),cg=(-x,2-y),可得cacb=cg2-ga2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因为a1,所以当y=42(1-a)-1,即1-1,即a3时,cacb的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由条件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆的方程是x25+y2=1.(2)设点p(x1,y1),q(x2,y2),pq的中点坐标为(x0,y0),则满足x125+y12=1,x225+y22=1,两式相减,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,从而直线pq的方程为y-y0=-x05y0(x-x0