第2节 对坐标曲线积分

1、2oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .ABFW 方法方法 niiWW13求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(iiiiiMMFW1 .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 n

2、MiM1 iM2M1M),(iiF ix iy .)()(jyixMMiiii1近似近似niiiixP10),(lim niiiiyQ10),(lim 4二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyx

3、MyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义5.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L62.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyx

4、P3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF7:变力在曲线上的作功变力在曲线上的作功4LdyyxQdxyxPW),(),(:问问题题?),(其其物物理理意意义义dxyxPL:闭曲线的积分表示闭曲线的积分表示5记记是是封封闭闭曲曲线线若若,LLdyyxQdxyxP),(),(86.6.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzz

5、yxR 97.7.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(10三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿

6、的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理基本思想：基本思想：.,积分限由起点到终点积分限由起点到终点化为定积分化为定积分统一变量统一变量11dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .)

7、,()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则12.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 13例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B14的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2y

8、x ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B15例例2).,(),(),(,)(;),(),()(;),(),()(,110100311002110012222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 103

9、4dxx. 1 16) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式17,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B.,:但但积积分分值值相相同同虽虽然然路路径径不不同同由由此

10、此知知:问问题题?积分值是否都相同积分值是否都相同起点和终点相同的曲线起点和终点相同的曲线18.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例3解解,sincos:)1( ayaxL，变变到到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 19)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 由此知由此知：被积函数相同，起点和终点也相同

11、，：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果也可以不同但路径不同，积分结果也可以不同. 03a)(cos)cos1(2 d :结论结论.,而且与路径有关而且与路径有关不但与起止点有关不但与起止点有关对坐标的曲线积分值对坐标的曲线积分值20如图如图其中其中LdyxydxL,2BCABL弧弧BCLAB弧弧BC方程为 xy 2BCdyxydx2dxxx01212)()(6112201dxxx)(弧弧ABdyxydx2dxxxx)(22211322211dxx67611322)(Ldyxydx4例例:解解21B) 0 , 0 ,(RA例例5. 设在力场zxyF, 作用下, 质点由沿移动到

12、, 其中为)2,0,(kRB)0,0,(RAAB:)(2解解:(1)dsFWzdzxdyydxtdtkR 2022)(2) 设 的参数方程为 kttzyRx200:,dsFWABzdzxdyydxktdt 20试求力场对质点所作的功. 201:,sin,cos:)(ttkztRytRx)(222Rk 222k 22ozyx例例6. 求zdyxydzxdxyzI)()()(其中,2122zyxyx从 z 轴正向看去为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx):(sincos022 tttz 20Itttcos)sincos(22tdtttt )sin)(cossin(costd

13、t)cos(22041 )sin)(cos(tt2 223三三. 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数以弧长为参数 的参数方程为)()(, )(lssyysxx0.cos,cossdydsdxd 则两类曲线积分有如下联系LdyyxQdxyxP),(),(sdsdydyxQsdxdyxPL),(),(LsdyxQyxP cos),(cos),(的的关关系系与与由由弧弧微微分分dydxds,ds24类似地 , 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是dzRdyQdxPsdRQP coscoscos令,RQPA ,cos,cos,costzdyddxds,dsAsd

14、tA向向余余弦弦沿沿弧弧向向的的切切线线向向量量的的方方上上点点为为有有向向弧弧其其中中),(cos,cos,coszyx AB257例例) 1 , 1 ()0 , 0(:,),(),(2BOxyLdyyxQdxyxPL到从点沿其中化为对弧长的曲线积分把:解解)(),(向向沿沿处处切切向向量量中中任任一一点点OByxL,xT212xyxx方向余弦方向余弦,cos2411x .cos2412xx LLdsxyxxQyxPdyyxQdxyxP2412),(),(),(),(?:反反向向若若思思考考L26例例8. 设,max22QPMs 是曲线段 L 的长度 , ),(,),(yxQyxP在 L 上

15、连续, 证明sMQdyPdxL证证:LQdyPdxsdQPL coscossdQPL22sdQPL coscos sincosQPsdQPL)sin( 22sM sincos222222QPQQPPQP27四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系28200211P习题8 , 7, 4),7)(5)(3)(1 (329思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常

16、数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？30思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0时时，L取取顺顺时时针针方方向向.31一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP)

17、,(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题32二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdy

18、yxdxyx22)()(, ,L其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D为为顶顶点点的的正正方方形形正正向向边边界界线线 . .33三、三、 设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致, ,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作时重力所作的功的功. .四、四、 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对弧长的积分对弧长的积分, , L其其中中为为: :1 1、 在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、 沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1