初中二次函数知识点及经典题型,推荐文档

1、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1） 一般一般式： y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a 0)（2） 两根当抛物线 y = ax 2 + bx + c 与x轴有交点时，即对应二次好方程ax 2 + bx + c = 0 有实根 x1 和 x2 存在时，根据二次三项式的分解因式ax 2 + bx + c = a(x - x )(x - x ) ，二次函数 y = ax 2 + bx + c 可转化为两根式12y = a(x - x1 )(x - x2 ) 。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3） 顶点式： y = a(x -

2、 h)2 + k (a, h, k是常数，a 0)知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数2，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） 时 ，即当 x = - by=2a最值4ac - b。4a如果自变量的取值范围是 x1 x x2，那么，首先要看- b 是否在自变量取值范2a围 x x x 内，若在此范围内，则当x= - b 时， y= 4ac - b 2 ；若不在此范围122a最值4a内，则需要考虑函数在 x1 x x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 x = x 时， y= ax 2 + bx + c ，当 x = x 时， y= ax 2 + bx

3、 + c ；如2最大221最小11果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 x = x 时， y= ax 2 + bx + c ，当 x = x1最大112时， y最小 = ax 2 + bx + c 。22知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质函数y=ax2+bx+二次函数c(a, b, c是常数，a0)图像a0a0y0xy0x性质（1） 抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2） 对称轴是x= - b ，顶点坐标是（ - b， 4ac - b 22a2a ）；4a（3） 在对称轴的左侧，即当x - b 时，y随x的增大而增大，简记左2a减右增；（4） 抛物线有最低点，当x= - b 时，y有

4、最4ac - b22a小值， y=最小值4a（1） 抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2） 对称轴是x= - b ，顶点坐标是（2a- b ， 4ac - b 2 ）；2a4a（3） 在对称轴的左侧，即当x - b 时，y随x的增大而减小，2a简记左增右减；（4） 抛物线有最高点，当x= - b 时，y有4ac - b2 2a最大值， y=最大值4a2、二次函数 y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a 0) 中， a、b、c 的含义：a 表示开口方向： a 0时，抛物线开口向上a 0时，图像与x轴有两个交点；当d =0时，图像与x轴有一个交点； 当d 0)【(k0)【(

5、h0)【( h0)【( k0)【( h0)【(k0)【 |k|【y=a(x-h)2+k函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）(必须理解记忆)说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， x轴对称y相反, y轴对称,x前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于x 轴对称y = ax2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx - c ；

6、y = a (x - h)2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 - k ；关于 y 轴对称y = ax2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ； y = a (x - h)2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h)2 + k ；关于原点对称y = ax2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ； y = a (x - h)2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h)2 - k关于顶点对称y =

7、ax2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c - b2 ；2ay = a (x - h)2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 + k 关于点(m ， n)对称y = a (x - h)2 + k 关于点(m ， n)对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m)2 + 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶

8、点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式1. 二次函数，二次项系数是，一次项系数是 ，常数项是。2. 函数y= x2的图象叫线，它开口向，对称轴是 ，顶点坐标为.3.把二次函数配方成的形式为 ，它的图象是，开口向，顶点坐标是 ，对称轴是。4.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（）.a. b. c. d.5. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么 的值是 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程的解为 7已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限8.二次函数，当时， 。此抛物线与x轴有个

9、交点。9 抛物线 的顶点坐标是 （）a. （0，1）b.（0，-1）c.（1,0）d.（-1,0）10. 二次函数与x轴的交点个数是（）a0b1c2d311. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）12. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若m=a+b-c，n=4a- 2b+c，p=2a-b则m，n，p中，值小于0的数有（）d0个c1个b2个a3个（2013漳州）二次函数y=ax2 +bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论正确的是（aa0bb2 -4ac0c当-1x3时，y0d对称轴等于1）dcba（2013张家界）若正比例函数y=mx（m0），y随x的增大而

10、减小，则它和二次函数y=m x2 +m的图象大致是（）（2013岳阳）二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，对于下列结论：a0；b0a1个b2个c3个d4个；c0；b+2a=0；a+b+c0其中正确的个数是（）（2013乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m-k+1=2k+n=1，则代数式2k2 - 8k+6的最小值为（）d2.5b0c2a-2（2013黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2 +bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2 -4ac0；（2）c1；（3）2a-b0；（4）a+b+c0，其中错误的有（）d4个b2个c3个a1个（2013茂名）下列二次函数

11、的图象，不能通过函数y=3x2 的图象平移得到的是（）dy=2x2by=3（x-1）2cy=3（x-1）2 +2ay=3x2 +2（2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1 x2 经过平移得到抛物线y=21 x222x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）a2b4c8d16dacb（2013呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=- mx2 +2x+2（m是常数，m0）的图象可能是（）（2013达州）二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，反比例函数yb/x与一次函数y= cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）abdc（2013包头）已知二次函

12、数y=ax2 +bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；4a+2b+c0；a-b+c0；（a+c）2 b2 其中正确的结论是（）abcd（2013松北区三模）已知抛物线的解析式为为y=（x- 2）2 +1，则当x2时，y随x增大的变化规律是（）ax=0bx=1cx=2dx=3（2013浦东新区一模）如果抛物线y=ax2 +bx+c经过点（- 1，0）和（3，0），那么对称轴是直线（）（2013德州）下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是（）ay=-x+1by=x2 -1cy=1/xdy=-x2 +1a增大b减小c先增大再 d先减小再增大减小（2012兰州）二次函数y=ax2 +b

13、x+c（a0） 的图象如图所示，若|ax2 +bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（dk3ck3bk-3ak-3）分析：先根据题意画出y=|ax2 +bx+c|的图象，即可得出|ax2 +bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围解答：解：当ax2 +bx+c0，y=ax2 +bx+c（a0）的图象在x轴上方，此时y=|ax2 +bx+c|=ax2 +bx+c，此时y=|ax2 +bx+c|的图象是函数y=ax2 +bx+c（a0）在x轴上方部分的图象，当ax2 +bx+c0时，y=ax2 +bx+c（a0）的图象在x轴下方，此时y=|ax2 +bx+c

14、|=-（ax2 +bx+c）此时y=|ax2 +bx+c|的图象是函数y=ax2 +bx+c（a0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，y=ax2 +bx+c（a0）的顶点纵坐标是-3，函数y=ax2 +bx+c（a0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，y=|ax2 +bx+c|的图象如右图，观察图象可得当k0时，函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，若|ax2 +bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在y=3的上边，故k3， 故选d（2013镇江

15、）如图，抛物线y=ax2 +bx（a0）经过原点o和点a（2，0）（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1x21，比较y1，y2的大小；（3）点b（-1，2）在该抛物线上，点c与点b关于抛物线的对称轴对称，求直线ac的函数关系式分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2） 根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；（3） 根据已知条件可以求得点c的坐标是（3，2），所以根据点a、c的坐标来求直线ac 的函数关系式解答：解：（1）根据图示，由抛物线的对称

16、性可知，抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1，0）；（2） 抛物线的对称轴是直线x=1根据图示知，当x1时，y随x的增大而减小， 所以，当x1x21时，y1y2；（3） 对称轴是x=1，点b（-1，2）在该抛物线上，点c与点b关于抛物线的对称轴对称，点c的坐标是（3，2） 设直线ac的关系式为y=kx+b（k0）02k+b23k+b 解得k2 b4直线ac的函数关系式是：y=2x-4（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2 +bx+c的图象与x轴交于a、b两点，a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，- 3） 点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点（1） 求

17、这个二次函数的表达式（2） 连接po、pc，并把poc沿co翻折，得到四边形popc，那么是否存在点p，使四边形popc为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由（3） 当点p运动到什么位置时，四边形abpc的面积最大？求出此时p点的坐标和四边形a bpc的最大面积分析：（1）将b、c的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2） 由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形popc为菱形，那么p点必在oc的垂直平分线上，据此可求出p点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出p点的坐标；（3） 由于abc的面积为定值，当四边形abpc的面积最大时，bpc的面积最大；过p作y轴的

18、平行线，交直线bc于q，交x轴于f，易求得直线bc的解析式，可设出p点的横坐标，然后根据抛物线和直线bc的解析式求出q、p的纵坐标，即可得到pq的长，以pq为底， b点横坐标的绝对值为高即可求得bpc的面积，由此可得到关于四边形acpb的面积与p 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形abpc的最大面积及对应的p点坐标（2010通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=- 2x+240设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1） 求y与x的关系式；（2） 当x取

19、何值时，y的值最大？（3） 如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？分析：（1）因为y=（x-50）w，w=-2x+240 故y与x的关系式为y=-2x2 +340x-12000（2） 用配方法化简函数式求出y的最大值即可（3） 令y=2250时，求出x的解即可解答：解：（1）y=（x-50）w=（x-50）（-2x+240）=-2x2 +340x-12000，y与x的关系式为：y=-2x2 +340x-12000 （3分）（2）y=-2x2 +340x-12000=-2（x-85）2 +2450当x=85时，

20、y的值最大（6分）（3）当y=2250时，可得方程-2（x-85）2 +2450=2250解这个方程，得x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元 （10分）（2010青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出5 00千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1） 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2） 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，

21、再求其最值解答：解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6 000（4分） 解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5（6分）（2）设涨价x元时总利润为y， 则y=（10+x）（500-20x）=-20x2 +300x+5 000=-20（x2 -15x）+5000=-20（x2 -15x+225/4-225/4）+5000=-20（x-7.5）2 +6125当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125（8分）答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场

22、获利最多（10分）（2010锦州）如图，抛物线与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点c（0，4），其中x1，x2是方程x2 -2x-8=0的两个根（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 点p是线段ab上的动点，过点p作peac，交bc于点e，连接cp，当cpe的面积最大时，求点p的坐标；（3） 探究：若点q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点q，使qbc成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）先通过解方程求出a，b两点的坐标，然后根据a，b，c三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式（2） 本题要通过求cpe

23、的面积与p点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求c pe的面积的最大值以及对应的p的坐标cpe的面积无法直接表示出，可用cpb和bep的面积差来求，设出p点的坐标，即可表示出bp的长，可通过相似三角形bep和ba c求出bep中bp边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出cep的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值（3） 本题要分三种情况进行讨论：qc=bc，那么q点的纵坐标就是c点的纵坐标减去或加上bc的长由此可得出q点的坐标qb=bc，此时q，c关于x轴对称，据此可求出q点的坐标qb=qc，q点在bc的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出qc的长，进而求出q点的坐标（200

24、9天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2 +bx+c（a0）的图象的顶点为d点，与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点，a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），ob=oc，tanaco=1/3（1） 求这个二次函数的表达式（2） 经过c、d两点的直线，与x轴交于点e，在该抛物线上是否存在这样的点f，使以点a、c、e、f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点f的坐标；若不存在，请说明理由（3） 若平行于x轴的直线与该抛物线交于m、n两点，且以mn为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4） 如图，若点g（2，y）是该抛物线上一点，点p是直线ag下方的抛物线上一动点， 当点p运

25、动到什么位置时，apg的面积最大？求出此时p点的坐标和apg的最大面积考点：二次函数综合题 专题：压轴题分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出a、b、c三点坐标已知b点坐标，且ob=oc，可知c（0，3），tanaco=13，则a坐标为（-1，0）将a，b，c三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式（2） 假设存在这样的点f（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点d坐标，今儿求出直线cd，e是直线与x轴交点，可得e点坐标四边形aecf为平行四边形，则ceaf，则两直线斜率相等，可列等式（1），ce=af，可列等式（2），f在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在（3）

26、 分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则n的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值当圆在x轴的下方时，方法同上，只是n的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解（4） g在抛物线上，代入解析式求出g点坐标，设点p的坐标为（x，y），即（x，x2 -2x-3）已知点a、g坐标，可求出线段ag的长度，以及直线ag的解析式，再根据点到直线的距离求出p到直线的距离，即为三角形agp的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值（2009青海）矩形oabc在平面直角坐标系中位置如图所示，a、c两点的坐标分别为a（6

27、，0），c（0，-3），直线y=-3/4 x与bc边相交于d点（1） 求点d的坐标；（2） 若抛物线y=ax2 -9/4x经过点a，试确定此抛物线的表达式；（3） 设（2）中的抛物线的对称轴与直线od交于点m，点p为对称轴上一动点，以p、o、m为顶点的三角形与ocd相似，求符合条件的点p的坐标分析：前两问由抛物线性质，用待定系数求出点d的坐标和抛物线的表达式；最后一问找三角形相似，作辅助线过点o作od的垂线交抛物线的对称轴于点p2，再根据相似三角形比例关系求出p点坐标（2009临沂）如图，抛物线经过a（4，0），b（1，0），c（0，-2）三点（1） 求出抛物线的解析式；（2） p是抛物线上一

28、动点，过p作pmx轴，垂足为m，是否存在p点，使得以a，p，m为顶点的三角形与oac相似？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 在直线ac上方的抛物线上有一点d，使得dca的面积最大，求出点d的坐标分析：（1）已知抛物线经过a（4，0），b（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把c（0，-2）代入即可；（2） oac是直角三角形，以a，p，m为顶点的三角形与其相似，由于点p可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（3） 过d作y轴的平行线交ac于e，将dca分割成两个三角形cde，ade，它们的底相同，为de，高的和为4，就可以表示它们的面积和，

29、即dca的面积，运用代数式的变形求最大值（2009江苏）如图，已知二次函数y=x2 -2x-1的图象的顶点为a二次函数y=ax2 +bx的图象与x轴交于原点o及另一点c，它的顶点b在函数y=x2 -2x-1的图象的对称轴上（1） 求点a与点c的坐标；（2）当四边形aobc为菱形时，求函数y=ax2 +bx的关系式 分析：（1）二次函数y=ax2 +bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴 y=x2 -2x-1=（x-1）2 -2，所以顶点a的坐标为（1，-2）对称轴为x=1，所以二次函数y=ax2 +bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分

30、别是原点和c点， 所以点c和点o关于直线l对称，所以点c的坐标为（2，0）；（2） 因为四边形aobc是菱形，根据菱形性质，可以得出点o和点c关于直线ab对称，点b 和点a关于直线oc对称，因此，可求出点b的坐标，点b的坐标为（1，2），二次函数y=ax2 +bx的图象经过点b（1，2），c（2，0），将b，c代入解析式，可得，a+b2解得4a+2b0a2 b4所以二次函数y=ax2 +bx的关系式为y=-2x2 +4x（2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）设每件商品的售价上涨

31、x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1） 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2） 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3） 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？分析：（1）根据题意可知y与x的函数关系式（2）根据题意可知y=-10-（x-5.5）2 +2402.5，当x=5.5时y有最大值（3）设y=2200，解得x的值然后分情况讨论解解答：解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2 +110x+2100（0

32、x15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2 +2402.5a=-100，当x=5.5时，y有最大值2402.50x15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元（3）当y=2200时，-10x2 +110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元 当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个