一轮2.10导数的概念与运算

1、210导数的概念与运算考纲概览1导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景通过函数图象直观理解导数的几何意义2导数的运算能根据导数定义，求具体函数（为常数），的导数能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数知识梳理1导数概念（1)平均变化率与瞬时变化率 函数从到的平均变化率 ： 函数在处的瞬时变化率： =（2） 导数的定义如果当x0时，有极限，我们就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数，记作或即 （3）函数在区间内可导 如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内可导这时对

2、于开区间（a,b）内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作,即=，导函数也简称导数（4）用定义求函数的导数的步骤： a求函数的变化量y； b求平均变化率c取极限，得导数（x0）注：导数的正负体现单调性；导数绝对值的大小体现变化的快慢2导数的几何意义曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是曲线在该点（x0，y0）处的切线的斜率3几种基本初等函数的导数(为常数)； , ()； ； 4导数的四则运算法则：法则1 法则2 法则3 5复合函数求导法则 复合函数的导数和函数的导数之间的关系是，即对的导

3、数等于对u的导数与u对的导数的乘积基础自测1函数的导数是 （ ） A B C D答案：C2已知函数在处的导数为3，则的解析式可（ ）A BC D答案：A3曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为 （ ）A BC D答案：B4若抛物线上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则的值为_解析：y=2x1，y|x=2=5又P（2，6+c），=5c=4答案：4考点讲练考点1导数的概念例1设为可导函数，且满足，则过曲线上点(1，)处的切线斜率为()A2B1C1D2答案：B考点小结利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式，注意:用导数的定

4、义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致变式训练若，则_答案：2A考点2 导数的运算例2求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）解：(1)；（2） ； (3)设，则 ；(4) 设，则 ；(5) ；(6) (7) 法一：；法二： (8) (9)(10)考点小结熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分拆，能化简的先化简，再求导数变式训练1求下列函数的导数（1）（2）ln（x）;（3）; （4）解:（1）（2）=（x）=（1）=（3）=（4）=变式训练2已知是定义在R上的奇函数，且是的导函数，当时总有成立，则不等式的解集为（

5、 ）ABC D答案：B 点拨：依据含导的不等关系构造原函数式（求导前函数），通过研究原函数和导数的关系解决问题考点3导数的几何意义例3已知函数（1）求函数在点（1,1）处的切线方程（2）求过点（1,1）且与该曲线相切的切线方程解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）设切点，由切线过点（1,1）知，切线方程为，又，整理得，解得或所以切线方程为或考点小结求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数值，得到切线斜率，再写出切线方程求曲线过某点处的切线方程，应先设出切点坐标，求导得切线斜率，再写出切线方程利用切点在切线上切点也在曲线上，列方程组求出切点坐标，得到切线方程变式训练1已知

6、函数，设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程解：设点，由过原点知，的方程为，因此，即，整理得，解得或所以的方程为或已变式训练2知函数，求曲线在点处的切线方程解：求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即变式训练3函数在点处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由 解析：的图象如图所示，显然在点处曲线的切线不存在，故在处导数不存在考点4利用导数研究函数的图象例4如右图：的导函数的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）A B C D答案：D考点小结导数和实质是函数的变化率，导数绝对值的大小体现变化的快慢；导数的正负体现单调性变式训练1若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在

7、区间上的图象可能是( )ababaoxoxybaoxyoxybA B C D答案A归纳总结1理解导数的概念，掌握函数在一点处导数的定义和导数的几何意义2熟记基本函数的导数，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解一类复合函数的求导法则3利用公式求导时要注意公式的应用范围和符号4利用导数求曲线的切线方程分清楚是“过点的”还是“在点的”课堂小测1已知直线与曲线相切，则的值为( ) A BC D答案：2若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ） A B或 C或 D或答案：A解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选3设曲线在点（

8、1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A B C D1 答案:B解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B4设是可导函数，且则（ ）AB1C0D2答案：B5如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= A2 B6C3D答案：A解析：观察图形,设,过P点的切线方程为它与重合,比较系数知:故=2注：切点的“两重性质”：切点既在切线方程上，又在曲线方程上既满足切线的方程，又满足曲线的方程6若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_答案： 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以课时作业210导数的概念与运算一、选择题：如图，一个

9、正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为答案：A2已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是A0,) B C D答案：D 解析：因为，即tan a-1,所以(文)点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A BC D答案：D 3函数在处的导数值为( )A0 B C200 D100! 答案：D 4函数在R上可导，且，若则（）A B C D答案：D5若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 A64 B32 C16 D8 答案：A 解析：，切线方程是，令，令，三角形的面积是

10、，解得故选A6已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD答案：B7已知二次函数的导数为，对于任意实数x，有，则的最小值为（ ）A3BC2D答案：C已知是定义在R上的奇函数，是的导函数，当时总有成立，若则的大小关系为（ ）A B C D 答案：D 二、填空题： 9若曲线在点处的切线平行于轴,则_答案： 10点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围_答案：解：tan=3x21，tan1，+）当tan0，+）时，0，）；当tan1，0）时，）11函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为 答案：12已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，则_， _答案：，解析：的图象过点，a8，f

11、(x)6x28的图象过点P(2,0)，4bc0又g(x)2bx，g(2)4bf (2)16，b4，c16，综上可知，三、解答题：13求函数的导数：；解：（1）（2）；（3）令，；（4），14设函数(1)证明：当且时，；(2)点（）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式（用表示）解：（1），两边平方得：即：，（2）当时，曲线在点处的切线方程为：，即：切线与与轴，轴正向的交点为所求三角形的面积为15已知曲线，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程解题思路：在点时：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出

12、来，然后解方程解析：（1）上，且在点处的切线的斜率k=4;曲线在点处的切线方程为,即（1） 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，切线方程为，即点在切线上，即，解得或故所求的切线方程为或（3）设切点为则切线的斜率为, 切点为，切线方程为和即和16（08新课标）设函数，曲线在点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：（），于是解得或因，故（）证明：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形（）证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为