数列求和专题

1、数列求和专题张明选张明选1.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq2.2.分组求和法分组求和法：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前n n项和项和 则则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc nc nbbscs na2.2.分组求和法分组求和法：例例1.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和 111112,4,6,24

2、8162nn解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn 练练.求数列求数列 的前的前n项和项和 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征23n1+2,2+2 ,3+2n+2， ，3、倒序相加法、倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末两项等与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），（都相等，为定值），可采用把正可采用把正着写和

3、与倒着写和的两个和式相加，着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法的方法称为倒序相加法. . 类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=例例2 2、已知、已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . . + +l lg g( (x x y y ) )+ +l lg gy y, ,( (x x 0 0, , y y 0 0) )求求S S3.3.倒序相加法倒序相加法n

4、nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+ +l lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )S S = = n n( (n n + +1 1) )解：解：、错位相减法：、

5、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用项乘积组成，此时求和可采用错位相减法错位相减法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比例、求和例、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解：解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-(1+n)xn+nxn+11-x= Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-x

6、n1-x=- nxn错位相减法、错位相减法、错位相减法练习练习1+23+332+433+n3n-1=？通项通项、裂项相消法：、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是在求和时一些正负项相互抵消，于是前前n n项的和变成首尾若干少数项之和，项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法这一求和方法称为裂项相消法. .（见见到分式型的要往这种方法联想到分式型的要往这种方法联想） 例、例、Sn= + +1131351(2n-1)(2n+1)分析分析：观察数列的

7、通项：观察数列的通项：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和两项再求和裂项相裂项相消法消法例、例、Sn= + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （ - + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而或多

8、项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。达到求和的目的。先求通项先求通项再处理通再处理通项项练 习 求 和：1 11 11 11 1+ + + +. . . . . . + +1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n1123nan解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa6.奇偶并项法奇偶并项法数列求和的一般步骤：数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用等差、等比数列直接应用公式法公式法求和。求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法想设法转化为等差、等比数列，常用方法有有分组求和法