第七章玻耳兹曼统计

1、第七章 玻耳兹曼统计习题7.1根据公式证明对于非相对论粒子：，=0，1，2，有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证： 其中 ; (对同一,)习题7.2试根据公式证明对于极端相对论粒子：，=0，1，2，有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证： ，对极端相对论粒子 类似得 习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为，以表示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别。证： 配分函数 以内能U为例，对Z1: 对Z1*: 习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中是总粒子处于量子态的

2、概率，,对粒子的所有量子态求和。证法一：出现某状态几率为Ps 设S1,S2,Sk状态对应的能级； 设Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级； 类似；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ；显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，。于是代表处于S状态下的粒子数。例如，对于能级个粒子在上的K个微观状态的概率为： 类似写出：等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。一微观状态数 ，（基于等概率原理）将带入；习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为其中N是总原子数，x是A原子的百分比，（1-x ）是B原子的百分比。注意x1，上式给出的熵为正值

3、。证： 显然 S=-N=；由于 1， 故；原题得证。习题7.6晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O所示。当原子离开正常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷叫做弗伦克缺陷。(1) 假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于；(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为n(设nN)证： (1)=(2)略，参见ex7.7习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N

4、表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时n(设nN )其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。证： ,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量；,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数 ;利用利用自由能判据 ； 。习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为 证： 设能级这样构成：同一中，相同，而与在变化，于是有： ()参照教材玻耳兹曼分布证明；有 -,其中 由(1)知: 将代入 并配方得: =其中 对比page238式（7.2.4）得： 整个体积内，分布在 内分子数

5、为：由条件（3）知 计算得 = =代入得出分布： 其中 ,习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率，最概然速率和方均根速率。 解： 对于二维情形， （准）连续能量下的简并度： 面积玻耳兹曼分布： ； 利用进而推出速率分布： 习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。解：两分子的相对速度在内的几率同理可求得分量为和引进，速度分布变为利用球极坐标系可求得速率分布为：相对速率平均值习题7.12试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为解：； （略

6、） 习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分子数为：证： 在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为: 对于 时间碰撞到面积上的分子数（） = 得到：若只计算介于分子数则为：（只对积分） 习题7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解： ； 变量代换 习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：其中是常数，求粒子的平均能量。 解： 习题7.16气柱的高度为，截面为，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。解： 配分函数 设 ； 习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。解： 振动配分函数 代入式（7.6.1） 代入熵计算式。习题7.18对于双原子分子，常温下远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。解：由式（7.5.14）转动配分函数 其中习题7.19气体分子具有固有电偶极矩，在电场下转动能量的经典表达式为：，证明在经典近似下转动配分函数：解：经典近似下，视为准连续能量配分函数 利