求数列的通项公式课件

1、怎样求数列的 通项公式 复习等差数列和等比数列的通项公式：复习等差数列和等比数列的通项公式：. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： a n = a 1 q n 1 . 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： a n = a 1 + ( n 1 ) d . 1. 观察法观察法求数列的通项公式：求数列的通项公式： 有些数列，通过观察各项的变化规律，就可以写出有些数列，通过观察各项的变化规律，就可以写出通项公式通项公式 . 例例 1 写出下列各数列的一个通项公式：写出下列各数列的一个通项公式： （1） - -

2、1，4，- -9，16，- -25，36， ；;,)(3271658341213（2） 2， 3， 5， 9， 17， 33， ； 解：解： a n = (- -1) n n2 . ( 如果数列是正负相间的如果数列是正负相间的, 把把相应的关于相应的关于 n 的式子乘以的式子乘以 (- -1)n 或或 (- -1)n+1 就可以了就可以了).解：解：an = 2n- - 1 + 1 .nnna223解：解：;,)(30292019121165214.,)(121331091857631413235.)()(111nnnnan解：解： 注：如果数列的各项是分数，则可以把分子和注：如果数列的各项是

3、分数，则可以把分子和分母分别考察，看它们各有什么样的变化规律，以分母分别考察，看它们各有什么样的变化规律，以上两个小题都可以这样考虑上两个小题都可以这样考虑. 解：数列中分子不易观察出通项公式，由于各项解：数列中分子不易观察出通项公式，由于各项都是假分数，我们把它们都变成带分数，都是假分数，我们把它们都变成带分数， 12111 1019 817 615 413 211,.nnan2112式为：式为：由此便可看出其通项公由此便可看出其通项公 2. 叠加法叠加法 (逐差法逐差法)：例例2：已知数列已知数列an满足：满足：a11， anan1 (n2)， 求数列求数列an的通项公式的通项公式) 1(

4、1nn.)(111111kkkkaakk解：由递推式得解：由递推式得令令 k = 1 ，2 ，3 ， ，n 1 ，得，得,4131,3121,2111342312aaaaaa.1111nnaann 当当 n = 1 时，时，a1 = a 亦适合上式亦适合上式 ，.11naan所以数列的通项公式为 注：这种方法实质上是利用了公式注：这种方法实质上是利用了公式 an - -a1= (a2 - -a1) + (a3 - -a2) + (a4- -a3) + + (an- - a n- -1) 因而称为逐差法因而称为逐差法 .以上以上n-1条式的左右两边分别相加，得条式的左右两边分别相加，得.11,

5、)2(111naannaann 3. 利用数列前利用数列前 n 项和项和 S n 求通项公式：求通项公式： 数列前数列前 n 项和项和 Sn 与与 an 之间有如下关系：之间有如下关系：.,)(nnnnnaSnSSaSa求求由此即可由由此即可由2111例例 3 ： 已知已知 Sn = 2 n2 + n 1 ，求数列的通项公式，求数列的通项公式 an .解：解：an = Sn - - Sn- -1 = ( 2 n2 + n 1 ) - - 2 (n- - 1)2 + (n 1) - - 1 = 4 n 1 ( n 2 ) .a1 = S1 = 2 12 + 1 1 = 2 .)(21421nna

6、an数数列列通通项项公公式式为为 有时，所给数列的通项有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的正好是另外某一数列的前前 n 项和，只要求得此和，即可求得项和，只要求得此和，即可求得 an . 有时，所给数列的通项有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的正好是另外某一数列的前前 n 项和，只要求得此和，即可求得项和，只要求得此和，即可求得 an .例例4：求数列：求数列：1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，.，1+2+3+4+.+n的通项公式。的通项公式。解：解：.2) 1( nna，nn数列的通项公式为项和公式可得由等差数列的前 例例4 求下列数列的通项公式：求下列数列的通

7、项公式： （1）2，22，222，2222， （逐项依次多数字（逐项依次多数字2） （2）0.23，0.2323，0.232323， （逐项依次多数字（逐项依次多数字23）. 位位个个）解解：（nnna0200200202222212. ),()()(1021109210110121qannn项项和和，这这是是等等比比数数列列的的前前 （2）解法同上，此小题留给同学们完成，其答案）解法同上，此小题留给同学们完成，其答案为：为：. )(nna210119923 4. 借助于等差、等比数列求通项公式：借助于等差、等比数列求通项公式： 例例 5 设数列设数列 a n 的前的前 n 项和项和 Sn 与

8、与 an 的关系的关系是，是，Sn = k an + 1 ( 其中其中 k 是与是与 n 无关的实数，且无关的实数，且 k 0， k 1)，求这个数列通项公式，求这个数列通项公式.解：解：an+1 = Sn+1 Sn = ( k an+1 + 1 ) - - ( k an + 1 ) an+1 = k an+1 - - k an .,nnakkak111由题设，由题设，S1 = k a1 + 1，即，即 a1 = k a1 + 1 (S1 = a1)，.ka111 a1 0 且且 an 0 (注意注意k 0) .11kkaann所以数列所以数列 a n 为等比数列为等比数列 .)(nnnnkk

9、kkka111111 例例 6 在数列在数列 a n 中，中，a1 = 1，且，且 n a n+1 = (n+1) an + 2n(n+1) (n = 1，2，3， ) ， 求数列的通项公式求数列的通项公式 . ),(321211nnanann解：由题设条件，得解：由题设条件，得.,21nnnnbbbna则则令令.,21111公公差差为为为为等等差差数数列列，首首项项abbn bn = 1 + 2 ( n 1 ) = 2n - -1 .12 nnan数列的通项公式为数列的通项公式为 an = n ( 2n 1 ) . 5. 分类法：分类法： 若把数列的项分为奇数项、偶数项两类，且奇若把数列的项

10、分为奇数项、偶数项两类，且奇数项和偶数项与其项数的关系容易求出，不妨设数数项和偶数项与其项数的关系容易求出，不妨设数列列 an 的通项为的通项为.)()()()()()()(ngnfngnfanngnnfannn2121则则数数列列的的通通项项公公式式为为为为偶偶数数，当当为为奇奇数数，当当 例例 7 求下列数列的通项公式：求下列数列的通项公式： 2，0，2，0，2，0， ( 2，0 交替出现交替出现 ) .为为偶偶数数，当当为为奇奇数数，当当解解：显显然然nnan02.)()()()(11102210221nnna 6. 归纳法（只作介绍即可）：归纳法（只作介绍即可）：.*)(，求求数数列列

11、的的通通项项公公式式，且且中中，若若在在数数列列例例Nnaaaaannnn11811.21111111121aaaa，解解：由由题题设设条条件件，得得,31211211223aaa,41311311334aaa,51411411445aaa.nan1可以猜想可以猜想 下面用数学归纳法证明上面的结论：下面用数学归纳法证明上面的结论： 当当 n = 1 时，公式显然成立时，公式显然成立 .kaknk1时时公公式式成成立立，即即假假设设当当.11111111kkkaaaknkkk时时，当当所以当所以当 n = k + 1 时公式也成立时公式也成立 .由由、可知，公式对任何正整数可知，公式对任何正整数 n 都成立都成立 .nan1数数列列的的