一类分数阶微分方程解的存在性

1、一类分数阶微分方程解的存在性（数学与统计学院 09级数学与应用数学1班） 指导教师：陈攀峰引言 就历史背景而言，分数阶的微分方程与整数阶的微分方程在发展时间上大致相同.分数阶微分方程追溯到16世纪末，那时整数阶微积分还处于发展阶段，数学家们在书信来往时，彼此探讨过分数阶微分方程的相关问题.但由于当时理论基础的限制问题，有关的问题并未有人给出真正的解答.在之后的两个世纪中，经过许多数学家们的努力，终于做出了几种主要的分数阶微分方程的定义.但是在理论形成的初期，由于还没有得到物理、力学等方面理论的支持，所以发展得非常缓慢.这种窘况一直持续到20世纪80年代初，有些数学家发现大自然中和诸多的科学技术

2、中存在着许许多多的分数维的事实.由于分形几何和分形动力的研究要以此为基础，因此分数阶微分方程理论和应用等方面的研究才得以有迅速发展的情况. 近几十年来，分数阶微分方程更多的被用来描述光学和热学方面，控制技术和机器人及其他应用领域中的问题，特别是从实际问题中抽象出来的一类分数阶微分方程解的存在性更是成为很多国内外数学工作者的研究的热点方面. 本文对一类分数阶微分方程的初、边值问题讨论解的存在性的方法进行分类、整理、比较，分析归纳使用不同方法证明方程解的存在性，并给出在对应的方法下一类分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件. 利用分数阶导数所得到的微分方程不但十分简洁，而且利用它所得到

3、的结果更接近实际情况，对解决一些实际模型中出现的问题提供了很大的帮助，在研究实际问题中起到的作用是非常巨大的.1预备知识定义1.1（Schauder不动点定理）设是Banach空间的有界的闭子集，若为连续映射，则中存在不动点，也就是说满足的点是存在的.定义1.2（Lipschitz条件）设为距离空间，是从到的映射，若存在一个常数，使得对任意的,那么就称是满足Lipschitz条件，是的Lipschitz常数.特别的，若，那么叫做压缩映射.定义1.3（Banach压缩映像原理）设为距离空间，为压缩映射，那么在中恰有一个不动点.设这个不动点为，那么对于任何的初始点，进行逐次迭代后，收敛于，且关于收

4、敛速度有下面的估计式：其中是的Lipschitz常数.定义1.4（引理） 集合列紧的充分必要条件是为一致有界的等度连续集.定义1.5 函数的阶的Riemann-Liouville积分是指，其中是函数.定义1.6 函数的阶的Riemann-Liouville微分是指，其中是函数，(其中表示小于的最大的整数).定义1.7 如果, 则分数阶微分方程，存在唯一解为（其中为大于或等于的最小整数）.那么可知如果，, ,则，其中为大于或等于的最小整数.应用定义1.6得出下面的引理 若，且，分数阶微分方程（）的解可表示成，其中表示上述分数阶边值问题的函数证明 由定义1.7及定义1.4可知因为是大于或等于的最小

5、整数，所以.那么， .由，所以，故 . 推广 若对边值问题 .存在唯一解，其中，（其中且）.注：为了使符号简化，本文把非整数阶阶导数简写成.2 一类分数阶微分方程解的存在性 在证明常微分方程解的存在唯一性定理中，我们将常微分方程转化为等价积分形式，再构造皮卡迭代序列证明方程解的存在唯一性定理.由此联想到应用类似方法证明一类分数阶微分方程解的存在性.2.1 化微分方程为等价积分方程证明一般形式的分数阶微分方程解的存在唯一性定理考虑如下形式的微分方程： （1） （2）其中，的定义域为平面上的一个子区域，且存在上的子区域满足： （3） 又知为上的连续实值函数，且在上关于满足Lipschitz条件，即

6、 （4）从而，对任意且，那么，方程在区域有唯一的连续解.证明 第一步 化微分方程为等价的积分方程对方程（1）按进行逐次分部积分可得： . （5）第二步 证明上述等价积分方程解的存在性；构造函数序列， ， （6） . （7）首先，我们可以证明对任意的及任意的有. ， （8）进一步，根据数学归纳法，对任意的有下式成立：. （9）在（9）式中令可得： . （10）假设当时，（9）式成立，也即下式成立:. （11）那么，当时有：， （12）从而由数学归纳法可知，对任意的，（9）式成立.进而，由的收敛性可知，函数序列收敛.可令，易证明是等价积分方程（5）的解，也就是原微分方程（1）的解. 第三步 证明上

7、述等价积分方程解的唯一性：假设也是等价积分方程（5）的解，那么令，则有：， （13）因为是连续的，则存在一常数，使得对任意的有.利用（13）式有： （14）把该过程重复次得： （15）又所以，也即.上面过程将微分转化积分法证明分数阶微分方程解的存在性和唯一性，下面将应用广义的Lipschitz条件和Banach压缩映射原理及不动点定理研究解的存在性.2.2 应用不动点定理与压缩映像原理 如下考虑非线性分数阶微分方程边值问题 （1）解的存在性，满足条件，,是标准的Riemann-Liouville导数.如果假设是上的连续函数，且存在非负函数与，满足 ,为上的连续函数； .那么边值问题（1）至少存

8、在一个解.分析 存在一正实数，使得可取，其中是非负函数.可令，.定义算子,令则分数阶微分方程边值问题（1）有解等价于方程有不动点.证明 可取，对中时，便有，取，因此，所以有，所以对，得,.下面证明为连续算子对，并且时，有 .，所以为连续算子.下面再证明，对于，由条件，得 因此，.最后再证明为全连续的. 令 ，因为均是上一致连续的函数，因此为等度连续，又因为,所以是一致有界的.所以有为全连续. 因此，应用Schaulder不动点定理有，边值问题(1)至少存在一个解.2.3 解存在的几个充分条件 在实际的应用中，对于解决多点边值问题的求解问题.常常用不动点的理论和压缩映像原理来处理一类分数阶微分方

9、程点边值问题解的存在性的问题，将方程的求解问题转化为映射的不动点进行处理，从而可以得到该分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件.下面利用不动点定理讨论非线性分数阶微分方程的边值问题 （1）解的存在性，其中，为连续的函数.定理2.3.1 设是Banach空间，映射是一个全连续映射，集合是有界集，则映射中存在不动点.定理2.3.2 设是Banach空间，为非空闭集，为全连续映射，如果，则映射在中存在不动点.充分条件1 设是Banach空间，为非空闭集，且内满足Lipschitz条件，即对任意的，有,则映射在中存在唯一的不动点.令 ，则当映射存在不动点，则边值问题（1）就有解.充分条件2

10、 若存在一个正数满足，那么分数阶边值问题（1）至少存在一个解.证明 先证明映射为全连续映射.易知映射的连续性是和函数的连续性有关的.设是有界的，对得，又由预备知识1.6的推广，则：，故.则对得，故在上是等度连续的，由引理知，映射是全连续的.对于集合.下面将证明是有界集合.对有.有所以.即.所以为有界的集合.再由定理2.3.1可知，映射在上至少存在一个不动点.所以分数阶边值问题（1）至少有一个解.充分条件3 若，那么分数阶边值问题（1）至少存在一个解.证明：由得，对,得，其中，并且 .设，如果，那么.由充分条件2的证明知为全连续映射. .所以由定理2.3.2知，映射至少存在一个不动点.所以分数阶

11、边值问题（1）至少有一个解3 分数阶微分方程的应用 在近三百年中，数学工作者们对分数阶微积分一些理论的研究主要是在数学的纯理论的范围内进行的研究，似乎只有数学家们才运用到它们.而在最近三十年中，分数阶微分方程更多的被用来描述控制和机器人、热学系统和光学、信号处理和系统识别、力学系统和流变学及一些其他应用领域中的问题，下面给出一些具体例子说明分数阶微分方程在实际中的应用：3.1 粘弹性材料的模型 在力学中，弹性形变与理想弹性材料的弹力满足胡克定律，用公式表示也即，然而应变与理想状态下牛顿流体的应力则服从下面的方程粘弹性材料力学中既不是理想流体，同时也不是理想固体，它是处在理想流体与理想固体之间的

12、材料，所以，粘弹性材料符合的数学模型有如下表示：3.2 控制模型 在经典的控制器输出方程中，无论是微分还是积分均为整数阶的，随着这些年来分数阶微积分的发展，对微分的阶数和积分的次数的要求可以是分数，更广泛的说可以为任意的实数它的传输函数是：输出函数为：如果，则为经典的控制器；如果为一般控制器，如果为控制器 分数阶条件下的控制相比整数阶条件的控制具有许多的良好性能，而且使得控制变得更加的精确，它能更加容易的消除静态误差，抵抗高频的噪音等等分数阶微分方程的控制在应用领域包括：机器人的控制、液态动作器柔性的机械臂活动等许多运动方面的控制问题3.3 变分原理 在保守力学系统的研究中，所用到的一个非常重

13、要的方法便是变分原理，然而应用变分原理推导出来的微分方程是整数阶的对于非保守系统，如考虑摩擦力或者具有其他能量消耗的运动过程中，它就不成立了如果我们把Lagrange函数应用到分数阶导数中，变分原理便可以很直接的被应用于非保守系统分数阶微积分的广泛应用，使得Hamilton力学，Lagrange力学等在同一框架下可以得到完整地描述3.4 扩散波动方程 Nigmatullin一维扩散波动方程是：由此可知，若，它是经典扩散方程也是抛物型方程；若，它是经典的波动方程也是双曲型方程，所以Mainardi把上面方程称作扩散波动方程 从以上的诸多例子能够总结出，有诸多的问题若单纯的应用整数阶导数，可能使得

14、出的微分方程不一定是合适的，也许还可能使得到的微分方程是非常复杂的方程，不利于计算且所得到的计算结果与实际情形不一定吻合然而分数阶导数的应用，使得所得到的微分方程不但非常简洁，便于计算而且所得到的结果更加符合实际情况因此，当人们在考虑一个难题时，会把它想象的非常的复杂，其实这并不是因为难题本身有多么的复杂，而是因为我们没有找到解决问题的合适方法上述介绍的分数阶微分方程就是这样一种解决难题，将复杂问题简单化的重要工具当然，在分数阶微积分的研究过程中，还存在这许多的问题值得我们去探究其中存在的一个问题便是，整数阶导数的研究有很清晰的物理和几何意义，但分数阶微积分的研究，科学家们至今也未能发现合适的

15、物理和几何的解释然而毋庸置疑的是分数阶微积分在研究实际应用问题中的作用是不可或缺的结束语分数阶微分方程在数学的实际应用研究中越来越广泛，且占有很大的比重在物理力学及控制等科学技术领域通常应用分数阶微分方程来描述其中的问题实际上，在处理分数阶微分方程解的存在的同时，我们自然的想到证明常微分方程解的存在唯一性定理的方法，把这种方法拓展到一般的分数阶微分方程上同样适用另外对于非线性分数阶微分方程，可应用Banach压缩映射原理及Schauder不动点定理证明其解的存在性并给出在对应的方法下一类分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件对分数阶微分方程研究过程中针对方程数值解方面，现有分数阶数

16、值算法还不成熟对解的理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也可以说只是经典微分方程理论的一个延拓然而它在解决实际应用问题中，分数阶微分方程是对复杂系统进行数学建模的有力工具，它对复杂系统的描述具有建模简单、描述准确等诸多的优点，因而成为研究复杂力学和物理过程进行数学建模的重要工具之一参考文献1 程其襄,张奠宙,魏国强等. 实变函数与泛函分析基础M . 北京:高等教育出版社, 2010.2 张恭庆,林源渠. 泛函分析讲义M. 北京:北京大学出版社, 1987.3 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程M. 北京:高等教育出版社,2006.4 周文学. 分数阶微分方程边值问题

17、解的存在性J. 应用泛函分析学报, 2011,13(4):1009-1327.5 张萌,孙书荣,赵以阁等. 一类分数阶微分方程边值问题解的存在性J. 济南大学学报, 2010,24(2):1671-3559.6 GAN SIQING. Dissipativity of methods for nonliner volterra deay-integro-differential equationsJ. J Comput Appl Math,2007,206(2):898907.7 杨军,马俊驰,赵硕. 分数阶微分方程多点分数阶边值问题J. 数学的实践与认识, 2011,41(4):1789-3522.8 苏新卫,刘兰冬. 分数阶微分方程解的存在性J. 山西大学学报,2007,32( 4):144-148.9 王福兴,周激流,蒲亦非. 分数微积分方程的应用研究M. 北京:科学出版社,2010. 10 张慧慧. 一类分数阶微分方程m点